さあ、今日も１日がんばろう★☆
前スレ
分からない問題はここに書いてね452
http://2chb.net/r/math/1555080760/
(使用済です: 478)
前スレ
分からない問題はここに書いてね452
http://2chb.net/r/math/1555080760/
(使用済です: 478)
表が出る確率p(0<p<1)の区別のつかない2枚のコインがある。
（1）この2枚のコインを1枚ずつ投げる。両方とも裏が出る確率を求めよ。
（2）この2枚のコインの片方にペンでAと書き、もう一方にBと書く。そのうえでこの2枚のコインを1枚ずつ投げるとき、両方とも裏が出る確率を求めよ。
（3）コインを1枚ずつではなく、2枚同時に投げる場合、（1）（2）の確率は変化するか。
（1）この2枚のコインを1枚ずつ投げる。両方とも裏が出る確率を求めよ。
（2）この2枚のコインの片方にペンでAと書き、もう一方にBと書く。そのうえでこの2枚のコインを1枚ずつ投げるとき、両方とも裏が出る確率を求めよ。
（3）コインを1枚ずつではなく、2枚同時に投げる場合、（1）（2）の確率は変化するか。
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かつて世界一の計算速度を誇った日本のスーパーコンピューター
「京」を超える性能を持つ後継機の製造がことし3月から
始まっていて、14日、主要な部品が公開されました
「京」の後継機となる新しいスーパーコンピューターの開発は、
国のプロジェクトとして理化学研究所と富士通が進めていて、
ことし3月からハードウェアなどの製造が始まっています
14日は、演算を行うコンピューターの頭脳とも言える
ＣＰＵ＝中央演算処理装置と、計算速度を上げるため
ＣＰＵを複数つなぎ、冷却も行うシステムボードと
呼ばれる装置1台が都内で報道陣に公開されました
「京」を超える性能を持つ後継機の製造がことし3月から
始まっていて、14日、主要な部品が公開されました
「京」の後継機となる新しいスーパーコンピューターの開発は、
国のプロジェクトとして理化学研究所と富士通が進めていて、
ことし3月からハードウェアなどの製造が始まっています
14日は、演算を行うコンピューターの頭脳とも言える
ＣＰＵ＝中央演算処理装置と、計算速度を上げるため
ＣＰＵを複数つなぎ、冷却も行うシステムボードと
呼ばれる装置1台が都内で報道陣に公開されました
埋まってしまったので再度
{1/n:n∈N}∪{0}が閉集合であることを収束列用いて証明するにはどうすればいいんですか？
{1/n:n∈N}∪{0}が閉集合であることを収束列用いて証明するにはどうすればいいんですか？
〔問題〕
nは2以上の自然数とする。
nに対して、k<n<2kを満たす自然数k全体からなる集合 S_n を考える。
二項係数の和 C[n,k] + C[2k,n] を最小にするような S_n の要素を1つとり、kをnで表せ。
[前スレ.013, 020]
nは2以上の自然数とする。
nに対して、k<n<2kを満たす自然数k全体からなる集合 S_n を考える。
二項係数の和 C[n,k] + C[2k,n] を最小にするような S_n の要素を1つとり、kをnで表せ。
[前スレ.013, 020]
まづ、C[n,k] と C[2k,n] をkに対してプロットする。
片対数目盛でプロットすると上に凸である。
C[n,k] ≒ C[2k,n] となるｋの辺りで最小になるであろうと予想する。
スターリングの近似式を使うと
0 = log（C[2k,n]) - log（C[n,k])
≒ (2k+1/2)log(2k) + (k+1/2)log(k) + (n-k+1/2)log(n-k) - (2k-n+1/2)log(2k-n) -(2n+1)log(n),
n,k >>1 のときは k/n = x とおいて
2x･log(2x) + x･log(x) + (1-x)log(1-x) - (2x-1)log(2x-1) = 0,
x = 0.63477252011487296
このあと、どうするか････
片対数目盛でプロットすると上に凸である。
C[n,k] ≒ C[2k,n] となるｋの辺りで最小になるであろうと予想する。
スターリングの近似式を使うと
0 = log（C[2k,n]) - log（C[n,k])
≒ (2k+1/2)log(2k) + (k+1/2)log(k) + (n-k+1/2)log(n-k) - (2k-n+1/2)log(2k-n) -(2n+1)log(n),
n,k >>1 のときは k/n = x とおいて
2x･log(2x) + x･log(x) + (1-x)log(1-x) - (2x-1)log(2x-1) = 0,
x = 0.63477252011487296
このあと、どうするか････
>>6
> 埋まってしまったので再度
> {1/n:n∈N}∪{0}が閉集合であることを収束列用いて証明するにはどうすればいいんですか？
S= {1/n:n∈N}∪{0}の点列anがx>0に収束するならxの近傍(x/2,2x)に属するanの部分列bnが取れる。
しかしS∩ {1/n:n∈N}∪{0}は有限集合ゆえ閉集合であるから、bnの極限はまたS∩ {1/n:n∈N}∪{0}の元。
∴x = lim bn ∈S。
> 埋まってしまったので再度
> {1/n:n∈N}∪{0}が閉集合であることを収束列用いて証明するにはどうすればいいんですか？
S= {1/n:n∈N}∪{0}の点列anがx>0に収束するならxの近傍(x/2,2x)に属するanの部分列bnが取れる。
しかしS∩ {1/n:n∈N}∪{0}は有限集合ゆえ閉集合であるから、bnの極限はまたS∩ {1/n:n∈N}∪{0}の元。
∴x = lim bn ∈S。
▼￣＞―-＜￣▼
Ｙ● _ ●Ｙ ＿
（＠ ▽ ＠) ／／
∩ ∩ ／／
｜ |／／
｜ /／
.. |_/￣|_／
Ｙ● _ ●Ｙ ＿
（＠ ▽ ＠) ／／
∩ ∩ ／／
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>>7
nが小さいときの k と k/n
n k k/n
-----------------
9 5 0.556
12 7 0.583
15 9 0.600
18 11 0.611
21 13 0.619
24 15 0.625
27 16 0.593
30 19 0.625
40 25 0.625
50 31 0.620
60 37 0.617
80 50 0.625
100 63 0.630
200 126 0.630
500 317 0.634
∞ ∞ 0.63477252
-----------------
nが小さいときの k と k/n
n k k/n
-----------------
9 5 0.556
12 7 0.583
15 9 0.600
18 11 0.611
21 13 0.619
24 15 0.625
27 16 0.593
30 19 0.625
40 25 0.625
50 31 0.620
60 37 0.617
80 50 0.625
100 63 0.630
200 126 0.630
500 317 0.634
∞ ∞ 0.63477252
-----------------
〔問題〕
10 - 7/48 < 6ζ(2) < (√2 + √3)^2 を示せ。
ただし ζ(2) = 1 + 1/4 + 1/9 + ････ = Σ[k=1,∞] 1/kk
10 - 7/48 < 6ζ(2) < (√2 + √3)^2 を示せ。
ただし ζ(2) = 1 + 1/4 + 1/9 + ････ = Σ[k=1,∞] 1/kk
右
ζ(2) = 1 + 1/4 + 1/9 + Σ[k=4,∞] 1/kk
< 49/36 + Σ[k=4,∞] 1/(kk-1/4)
= 49/36 + Σ[k=4,∞] {1/(k-1/2) - 1/(k+1/2)}
= 5/6 + 19/36 + 2/7
= (1/6)(5 + 205/42),
∴ 6ζ(2) < 5 + 205/42 < 5 + 44/9 < 5 + 2√6 = (√2 + √3)^2,
6 - (22/9)^2 = 2/81 > 0 より √6 > 22/9,
左
ζ(2) = Σ[k=1,∞] 1/kk
= 2 - Σ[k=1,∞] {2/(2k-1) -2/(2k+1) -1/kk}
= 2 - Σ[k=1,∞] {4/(4kk-1) - 1/kk}
= 2 - Σ[k=1,∞] 1/{(4kk-1)kk}
= 2 - 1/3 - 1/60 - 1/315 - Σ[k=4,∞] 1/{(4kk-1)kk}
> 2 - 89/252 - (1/63)Σ[k=4,∞] 1/kk
= 2 - 89/252 - (1/63){ζ(2) - 49/36},
∴ 6ζ(2) > 10 - 7/48 = 9.854167
〔系〕
3.139134 < √{6ζ(2)} < √2 + √3 = 3.146264
ζ(2) = 1 + 1/4 + 1/9 + Σ[k=4,∞] 1/kk
< 49/36 + Σ[k=4,∞] 1/(kk-1/4)
= 49/36 + Σ[k=4,∞] {1/(k-1/2) - 1/(k+1/2)}
= 5/6 + 19/36 + 2/7
= (1/6)(5 + 205/42),
∴ 6ζ(2) < 5 + 205/42 < 5 + 44/9 < 5 + 2√6 = (√2 + √3)^2,
6 - (22/9)^2 = 2/81 > 0 より √6 > 22/9,
左
ζ(2) = Σ[k=1,∞] 1/kk
= 2 - Σ[k=1,∞] {2/(2k-1) -2/(2k+1) -1/kk}
= 2 - Σ[k=1,∞] {4/(4kk-1) - 1/kk}
= 2 - Σ[k=1,∞] 1/{(4kk-1)kk}
= 2 - 1/3 - 1/60 - 1/315 - Σ[k=4,∞] 1/{(4kk-1)kk}
> 2 - 89/252 - (1/63)Σ[k=4,∞] 1/kk
= 2 - 89/252 - (1/63){ζ(2) - 49/36},
∴ 6ζ(2) > 10 - 7/48 = 9.854167
〔系〕
3.139134 < √{6ζ(2)} < √2 + √3 = 3.146264
問題
区別の出来ない２枚のコインを振って「裏」「裏」が出る確率と
区別の出来るコインを２回振って「裏」「裏」が出る確率は
同じか？ それとも異なるか？
注）
・「不可弁別性」とは素粒子が区別できないこと
・「自己同一性をもたない」とは素粒子が区別できないこと
区別の出来ない２枚のコインを振って「裏」「裏」が出る確率と
区別の出来るコインを２回振って「裏」「裏」が出る確率は
同じか？ それとも異なるか？
注）
・「不可弁別性」とは素粒子が区別できないこと
・「自己同一性をもたない」とは素粒子が区別できないこと
2nCk (ｎは自然数、kは0から2nの自然数）
のうち一番大きい数が2nCnであることはパスカルの三角形を既知としない場合どのようにしてわかりますか？
のうち一番大きい数が2nCnであることはパスカルの三角形を既知としない場合どのようにしてわかりますか？
a[k] = C[2n,k+1] - C[2n,k]
= (2n)!/{(k+1)!(2n-k-1)!} - (2n)!/{k!(2n-k)!}
= (2n-2k-1)(2n)!/{(k+1)!(2n-k)!},
より
1 = C[2n,0] < C[2n,1] < ････ < C[2n,n-1] < C[2n,n] > C[2n,n+1] > ････ > C[2n,2n-1] > C[2n,2n] = 1
パスカル△を使う方が面倒かも？
= (2n)!/{(k+1)!(2n-k-1)!} - (2n)!/{k!(2n-k)!}
= (2n-2k-1)(2n)!/{(k+1)!(2n-k)!},
より
1 = C[2n,0] < C[2n,1] < ････ < C[2n,n-1] < C[2n,n] > C[2n,n+1] > ････ > C[2n,2n-1] > C[2n,2n] = 1
パスカル△を使う方が面倒かも？
△ABCの辺BCの中点をMとすると、
∠A=2∠MACとなった。
∠B、∠Cをθで表せ。
∠A=2∠MACとなった。
∠B、∠Cをθで表せ。
これはひどい
【類題】
たかしくんは、家から歩いて2時間かかる学校へ、自転車に乗って出掛け、20分後に自転車が壊れたので、そこから歩き始めました。
壊れた自転車のハンドルの角度をθを使って表せ。
たかしくんは、家から歩いて2時間かかる学校へ、自転車に乗って出掛け、20分後に自転車が壊れたので、そこから歩き始めました。
壊れた自転車のハンドルの角度をθを使って表せ。
>>21
Ｔ字ハンドルにしたらいいのに。
θ=90°と推定する。
自転車で徒歩の(120/20)=6倍で走れれば学校着く瞬間まで乗れる。
Ｔ字ハンドルなら可能。
∴θ=90°
Ｔ字ハンドルにしたらいいのに。
θ=90°と推定する。
自転車で徒歩の(120/20)=6倍で走れれば学校着く瞬間まで乗れる。
Ｔ字ハンドルなら可能。
∴θ=90°
彡彡_△_彡
彡（^o^))
彡っξ`ヾ
（^.^))γ）
υ┳υヾJ
彡┣━υ◎ﾞ
__◎ﾞイメージフラッシュ――｡前>>22雨降ってきた!
彡（^o^))
彡っξ`ヾ
（^.^))γ）
υ┳υヾJ
彡┣━υ◎ﾞ
__◎ﾞイメージフラッシュ――｡前>>22雨降ってきた!
3の100乗を19で割ったあまりは？
数列 1,4/3,7/9,10/27,13/81,…の第n項までの和
一般項を求めるまでは分かるんですがシグマ計算が分かりません
一般項を求めるまでは分かるんですがシグマ計算が分かりません
3S_n-S_n
△ABCの辺BCの中点をMとすると、
∠B=2∠MACとなった。
∠A、∠Cをθで表せ。
∠B=2∠MACとなった。
∠A、∠Cをθで表せ。
Table[3^(1-n)(3n-2),{n,1,15}]
{1, 4/3, 7/9, 10/27, 13/81, 16/243, 19/729, 22/2187, 25/6561,
28/19683, 31/59049, 34/177147, 37/531441, 40/1594323, 43/4782969}
{1, 4/3, 7/9, 10/27, 13/81, 16/243, 19/729, 22/2187, 25/6561,
28/19683, 31/59049, 34/177147, 37/531441, 40/1594323, 43/4782969}
「閉曲線はある正方形の4頂点を線上に含む」って成り立ちそうだなと思ったんですけど高校数学で示せますか？
中間値の定理をうまく使ったらできそうだけど思いつかない。。
中間値の定理をうまく使ったらできそうだけど思いつかない。。
「平面上の３つの格子点を結んで正三角形を作ることはできるのか？」
直観的に、できないように思うのですが、証明ができません。
いかがでしょうか？
直観的に、できないように思うのですが、証明ができません。
いかがでしょうか？
>>32
正三角形の1頂点が原点Oにあると設定して差し支えない
格子点A(m,n)を3頂点の1つとし、複素平面の回転を使ってOAを60°回転させる。
Aの移動先をBとし、Bが格子点なら△OABが正三角形と言える。
B(x,y)として
x+yi=(cos60°+isin60°)(m+ni)
=[ {(1/2)m-(√3/2)n} + {(√3/2)m+(1/2)n}*i ]
m,nは整数だから(√3/2)mと(√3/2)nが0にならないとxもyも無理数になってしまう
したがってm=n=0。しかしこれではOとAが一致してOABは三角形にならない。
よって3頂点が同時に格子点になることはない
正三角形の1頂点が原点Oにあると設定して差し支えない
格子点A(m,n)を3頂点の1つとし、複素平面の回転を使ってOAを60°回転させる。
Aの移動先をBとし、Bが格子点なら△OABが正三角形と言える。
B(x,y)として
x+yi=(cos60°+isin60°)(m+ni)
=[ {(1/2)m-(√3/2)n} + {(√3/2)m+(1/2)n}*i ]
m,nは整数だから(√3/2)mと(√3/2)nが0にならないとxもyも無理数になってしまう
したがってm=n=0。しかしこれではOとAが一致してOABは三角形にならない。
よって3頂点が同時に格子点になることはない
>>14問題
＞区別の出来ない２枚のコインを振って「裏」「裏」が出る確率と
＞区別の出来るコインを２回振って「裏」「裏」が出る確率は
＞同じか？ それとも異なるか？
区別の出来ない２枚のコインを振って
最初に裏がでる確率は１／２で
最初に表が出る確率も１／２で
「裏が出る確率１／２」＋「表が出る確率１／２」＝「裏か表が出る確率＝１／１「
ここまでは別に不思議なことは何もない
問題はここからで
最初にコインの裏が決定したあとに
残ったコインが裏になる確率はいくらか
ってことだ
＞区別の出来ない２枚のコインを振って「裏」「裏」が出る確率と
＞区別の出来るコインを２回振って「裏」「裏」が出る確率は
＞同じか？ それとも異なるか？
区別の出来ない２枚のコインを振って
最初に裏がでる確率は１／２で
最初に表が出る確率も１／２で
「裏が出る確率１／２」＋「表が出る確率１／２」＝「裏か表が出る確率＝１／１「
ここまでは別に不思議なことは何もない
問題はここからで
最初にコインの裏が決定したあとに
残ったコインが裏になる確率はいくらか
ってことだ
>>37
区別の出来る２枚のコインを振った場合は
最初に１枚のコインが裏に決定しても
最初に１枚のコインが表に決定しても
次のコインの確率は裏と表が同確率で１／２となる
区別の出来る２枚のコインを振った場合は
最初に１枚のコインが裏に決定しても
最初に１枚のコインが表に決定しても
次のコインの確率は裏と表が同確率で１／２となる
区別出来るかどうかは関係が無く、コインが2枚あるとかコインを2回投げるということに意味がある
>>38
ところが区別の出来ない２枚のコインの場合は
最初に１枚のコインが裏に決定した後に
「次のコインが裏になる確率」と「次のコインが表になる確率」が異なる
当然の事だが
最初に１枚のコインが表に決定した後に
「次のコインが表になる確率」と「次のコインが裏になる確率」も異なる
ところが区別の出来ない２枚のコインの場合は
最初に１枚のコインが裏に決定した後に
「次のコインが裏になる確率」と「次のコインが表になる確率」が異なる
当然の事だが
最初に１枚のコインが表に決定した後に
「次のコインが表になる確率」と「次のコインが裏になる確率」も異なる
>>39区別出来るかどうかは関係が無く
同値律が成立するかどうかは
確率に大きな影響を与えるが
注）
同値律が成立する場合は
区別が出来なければ同一で１個
区別の出来ない物が２個あるという場合は
同値律が成立してない
同値律が成立するかどうかは
確率に大きな影響を与えるが
注）
同値律が成立する場合は
区別が出来なければ同一で１個
区別の出来ない物が２個あるという場合は
同値律が成立してない
じゃあ、まあそう思ってりゃいいじゃん
区別出来なくても別物であるという事実は変わらん
区別出来なくても別物であるという事実は変わらん
命題「対象がフェルミ統計に従う⇒対象が区別できない」
を仮に認めたとして、だからといって
命題「対象が区別できない⇒対象がフェルミ統計に従う」
とはならないのだが、物理屋さんはこの二つをよく混同する
を仮に認めたとして、だからといって
命題「対象が区別できない⇒対象がフェルミ統計に従う」
とはならないのだが、物理屋さんはこの二つをよく混同する
なんか驚くほど低レベルな確率の議論が展開されてるけど。
いくらなんでもこんなおかしなミスしてる人間物理学科にいるわけない。
知ったかの高校生じゃないの？
いくらなんでもこんなおかしなミスしてる人間物理学科にいるわけない。
知ったかの高校生じゃないの？
>>42区別出来なくても別物であるという事実は変わらん
「区別できない」ということは「自己同一性をもたない」とも表現される
「自己同一性」とは
自分は自分だし自分以外は自分以外で
自分と他が区別できる状態
「自己同一性」を持たないという状態は
自分と他とが区別出来ない状態
ということで「別物である」ということが成立しない状態だが
「区別できない」ということは「自己同一性をもたない」とも表現される
「自己同一性」とは
自分は自分だし自分以外は自分以外で
自分と他が区別できる状態
「自己同一性」を持たないという状態は
自分と他とが区別出来ない状態
ということで「別物である」ということが成立しない状態だが
>>46座標が違えば衝突しない限り区別できるんじゃないの？
物理の「不可分別性」というのは
位置を含めてあらゆる物理量は区別できないという状態だが
ということで
座標（位置）を含めて区別ができない
物理の「不可分別性」というのは
位置を含めてあらゆる物理量は区別できないという状態だが
ということで
座標（位置）を含めて区別ができない
>>46座標が違えば衝突しない限り区別できるんじゃないの？
リンゴの場合は座標(位置）が異なるので
区別が出来る
電子の場合は座標（位置）を含めて
あらゆる物理量が区別できない
そこで確率統計がリンゴと電子で異なってくる
リンゴの場合は座標(位置）が異なるので
区別が出来る
電子の場合は座標（位置）を含めて
あらゆる物理量が区別できない
そこで確率統計がリンゴと電子で異なってくる
>>46
リンゴの場合は
座標１にあるリンゴ１と
座標２にあるリンゴ２という区別が付けられる
だが電子の場合は位置も含めて全ての物理量で区別が付けられないので
電子１とか電子２とかの識別名を付ける事は不可能
リンゴの場合は
座標１にあるリンゴ１と
座標２にあるリンゴ２という区別が付けられる
だが電子の場合は位置も含めて全ての物理量で区別が付けられないので
電子１とか電子２とかの識別名を付ける事は不可能
>>46座標が違えば
２個の電子は
位置も含めて全ての物理量が区別できないし
電子の持っている物理的性質も区別できない
観測される確率も物理的性質の１つだが
これも２個の電子の間で区別できない
リンゴの場合は観測される確率は
リンゴ１とリンゴ２で区別されて
それぞれが独立して観測される確率を持っている
ところが電子の場合は
観測される確率という物理的な性質が
２個の電子で区別できない
（情報不可弁別性）
ようするに
電子１が観測される確率とか
電子２が観測される確率とか
電子を区別して確率を論ずる事ができない
１個１個の電子の確率を分けて論ずることが出来ないので
電子２個が観測される確率という感じで
確率が論じられる
２個の電子は
位置も含めて全ての物理量が区別できないし
電子の持っている物理的性質も区別できない
観測される確率も物理的性質の１つだが
これも２個の電子の間で区別できない
リンゴの場合は観測される確率は
リンゴ１とリンゴ２で区別されて
それぞれが独立して観測される確率を持っている
ところが電子の場合は
観測される確率という物理的な性質が
２個の電子で区別できない
（情報不可弁別性）
ようするに
電子１が観測される確率とか
電子２が観測される確率とか
電子を区別して確率を論ずる事ができない
１個１個の電子の確率を分けて論ずることが出来ないので
電子２個が観測される確率という感じで
確率が論じられる
コインじゃなかったのかよ
観測出来るかどうかなんて関係ないし
観測出来るかどうかなんて関係ないし
>>52コインじゃなかったのかよ
区別できないコインと
区別できるコインの
裏と表という物理量の観測確率で
別に問題はない
区別できないコインと
区別できるコインの
裏と表という物理量の観測確率で
別に問題はない
よくブルーバックスの高校生向きの面白話で出てくる話だけど一知半解で正しく理解できてない。
>>53
区別のできないコインの場合は
コイン１の裏の出る確率とか
コイン２の裏の出る確率とか
２枚のコインを
コイン１・コイン２というように識別する事はできない
ようするに２枚のコインが「裏・裏」となる確率
というように２枚のコインを識別しない表記が必要になる
区別のできないコインの場合は
コイン１の裏の出る確率とか
コイン２の裏の出る確率とか
２枚のコインを
コイン１・コイン２というように識別する事はできない
ようするに２枚のコインが「裏・裏」となる確率
というように２枚のコインを識別しない表記が必要になる
>>54よくブルーバックスの高校生向きの面白話で出てくる話だけど一知半解で正しく理解できてない。
数学屋でも数理物理系なら正しく把握してるが
数学屋でも数理物理系なら正しく把握してるが
>>55
区別できるコインの場合は
・コイン１が裏のでる確率
・コイン１が表のでる確率
・コイン２が表の出る確率
・コイン２が裏の出る確率
という表記になる
区別のできない２枚のコインの場合はコイン１・コイン２とかの識別は出来ないので
・２枚のコインが「裏・裏」になる確率
・２枚のコインが「表・表」になる確率
・２枚のコインが「裏・表」になる確率
という表記になる
区別できるコインの場合は
・コイン１が裏のでる確率
・コイン１が表のでる確率
・コイン２が表の出る確率
・コイン２が裏の出る確率
という表記になる
区別のできない２枚のコインの場合はコイン１・コイン２とかの識別は出来ないので
・２枚のコインが「裏・裏」になる確率
・２枚のコインが「表・表」になる確率
・２枚のコインが「裏・表」になる確率
という表記になる
観測出来るかどうかで区別出来るかどうかを言うなら表裏以外の情報を観測しなきゃいいだけじゃねえか
しかし同じことをやっているところを表裏の情報だけを観測していて２枚の区別がつかないやつと他の情報も観測して２枚の区別のつくやつがいたら表裏の出方はどうなるんだよ
見るやつによって出方が違って見えるのか？
しかし同じことをやっているところを表裏の情報だけを観測していて２枚の区別がつかないやつと他の情報も観測して２枚の区別のつくやつがいたら表裏の出方はどうなるんだよ
見るやつによって出方が違って見えるのか？
アリアリアリアリアリアリアリアリアリアリアリ
アリアリアリアリアリアリ
アリーヴェデルチ！ Arrivederci！
アリアリアリアリアリアリ
アリーヴェデルチ！ Arrivederci！
ID:vs1gXaD9は前のスレからいる荒らし
1日に10～20レス程度、中身スッカスカの数学もどきレスを投稿
レスは返してくるがずっと同じことしか書けないため話が噛み合わない
いかにもニワカ丸出しのアホなレスすぎて突っ込みたくなる気持ちは分かるが、マジで時間の無駄だからスルー推奨
1日に10～20レス程度、中身スッカスカの数学もどきレスを投稿
レスは返してくるがずっと同じことしか書けないため話が噛み合わない
いかにもニワカ丸出しのアホなレスすぎて突っ込みたくなる気持ちは分かるが、マジで時間の無駄だからスルー推奨
ID:vs1gXaD9が劣等感ってよばれていた人？
>>58
区別の出来ないコインは
区別に出来ない電子をたとえてるのだが
箱の中の２個の電子が
箱の右側の観測装置で観測される事をコインの裏が観測されたとたとえ
箱の左側の観測装置で観測される事をコインの表が観測されたとたとえてる
区別の出来ないコインは
区別に出来ない電子をたとえてるのだが
箱の中の２個の電子が
箱の右側の観測装置で観測される事をコインの裏が観測されたとたとえ
箱の左側の観測装置で観測される事をコインの表が観測されたとたとえてる
質問ができない事をどうやって示せますか？でその解答が上がってて、からの「いやできる」はなかなか。
数学科なんだけど京大大学院の過去問クソ難しいんだけどどっから勉強すればいい？
>>58
＞観測出来るかどうかで区別出来るかどうかを言うなら表裏以外の情報を観測しなきゃいいだけじゃねえか
箱の中に区別のできないコインが２枚ある
（箱の右側と左側に観測装置がある）
ケース１ 右・右と観測される確率
ケース２ 左・左と観測される確率
ケース３ 左右で１枚づつ観測される確率
ケース１の場合は右・右で観測されるが
１ その時にコインが裏・裏と観測される確率は・・・
２ その時にコインが表・表と観測される確率は・・・
３ その時にコインが裏・表と観測させる確率は・・・
＞観測出来るかどうかで区別出来るかどうかを言うなら表裏以外の情報を観測しなきゃいいだけじゃねえか
箱の中に区別のできないコインが２枚ある
（箱の右側と左側に観測装置がある）
ケース１ 右・右と観測される確率
ケース２ 左・左と観測される確率
ケース３ 左右で１枚づつ観測される確率
ケース１の場合は右・右で観測されるが
１ その時にコインが裏・裏と観測される確率は・・・
２ その時にコインが表・表と観測される確率は・・・
３ その時にコインが裏・表と観測させる確率は・・・
>>57
＞区別のできない２枚のコインの場合はコイン１・コイン２とかの識別は出来ないので
＞・２枚のコインが「裏・裏」になる確率
＞・２枚のコインが「表・表」になる確率
＞・２枚のコインが「裏・表」になる確率
＞という表記になる
区別のできない２枚のコインがワンセットとなって
「裏・裏」とか「表・表」とか「裏・表」になる確率を持っているということで
個々のコインが独立して「表」とか「裏」とかいう確率を持っているわけではない
ようするに区別のできない２枚のコインは
独立してないのだ
＞区別のできない２枚のコインの場合はコイン１・コイン２とかの識別は出来ないので
＞・２枚のコインが「裏・裏」になる確率
＞・２枚のコインが「表・表」になる確率
＞・２枚のコインが「裏・表」になる確率
＞という表記になる
区別のできない２枚のコインがワンセットとなって
「裏・裏」とか「表・表」とか「裏・表」になる確率を持っているということで
個々のコインが独立して「表」とか「裏」とかいう確率を持っているわけではない
ようするに区別のできない２枚のコインは
独立してないのだ
>>70
区別のできない２枚のコインが独立してないということは
１枚のコインの観測結果が残りの１枚の観測確率に影響を与えるということだ
（因果関係を持つ）
区別のできない２枚のコインが独立してないということは
１枚のコインの観測結果が残りの１枚の観測確率に影響を与えるということだ
（因果関係を持つ）
>>71
２枚の区別のできないコインを振って
最初に１枚のコインの裏表が確定すると
次のコインが裏と表の観測確率が異なってくる
ようするに最初に観測された観測結果が
次に観測される確率に影響を与えてしまう
（因果関係がある）
２枚の区別のできないコインを振って
最初に１枚のコインの裏表が確定すると
次のコインが裏と表の観測確率が異なってくる
ようするに最初に観測された観測結果が
次に観測される確率に影響を与えてしまう
（因果関係がある）
平面上にAB=AC=1,BC=a(0<a≤1)の二等辺三角形ABCがある。
△ABCの外接円をK、BCの中点をMとする。Kの弧を直線AMにより分割し、うち点Bを含む方の弧に点Pをとり、また点Qを直線MPに関して点Aの反対側にとり、△MPQが正三角形となるようにする。
3点A,B,Qが同一直線上にあるとき、APの長さを求めよ。
△ABCの外接円をK、BCの中点をMとする。Kの弧を直線AMにより分割し、うち点Bを含む方の弧に点Pをとり、また点Qを直線MPに関して点Aの反対側にとり、△MPQが正三角形となるようにする。
3点A,B,Qが同一直線上にあるとき、APの長さを求めよ。
>>65
あと、内部か外部かも書いておいて欲しい
専門は詳しく書きたくなければ代数・幾何・解析のいずれかだけ書いてくれれば
あと、内部か外部かも書いておいて欲しい
専門は詳しく書きたくなければ代数・幾何・解析のいずれかだけ書いてくれれば
数学科とのことなので外部だろ
曲線の長さの問題が分かりません。
はさみうちをするくらいは分かるのですが、どの関数で挟めば弧長が計算できるか教えて下さい。
浪人生です。よろしくお願いします。
〔問題〕
正の実数xに対して定義された関数f(x)=sin(1/x)を考える。
aを正の実数とし、xy平面上の曲線C:y=f(x)のa≤x≤a+1の部分の長さをL(a)とするとき、lim[n→∞]L(a)=1を示せ。
はさみうちをするくらいは分かるのですが、どの関数で挟めば弧長が計算できるか教えて下さい。
浪人生です。よろしくお願いします。
〔問題〕
正の実数xに対して定義された関数f(x)=sin(1/x)を考える。
aを正の実数とし、xy平面上の曲線C:y=f(x)のa≤x≤a+1の部分の長さをL(a)とするとき、lim[n→∞]L(a)=1を示せ。
>>77
n→∞ は a→∞ か？
1 ≦ √(1 + (f’)^2) ≦ 1 + (1/x^2) でいけるんじゃね
n→∞ は a→∞ か？
1 ≦ √(1 + (f’)^2) ≦ 1 + (1/x^2) でいけるんじゃね
解析は割とガチで難しい問題が出ることがあります
易しい問題でかっぱぐため、懐を広げていきましょう
比較的解きやすい代数、時に幾何辺り逃げるのも良いですが、口頭できつく突っ込まれると思われます
「なんで解析専攻？？？」
易しい問題でかっぱぐため、懐を広げていきましょう
比較的解きやすい代数、時に幾何辺り逃げるのも良いですが、口頭できつく突っ込まれると思われます
「なんで解析専攻？？？」
次のようなゲームを考える
各チーム１０人いて１０枚の金貨を好きなように分配する（一人０枚以上１０枚以下）
１０人からランダムに一人を選んで対戦相手のチームより金貨の枚数が多いチームを勝ちとする（引分は0.5勝扱い）
可能な分配方法すべてについて一つずつチームが存在して無限回の対戦がランダムに行われるとするとき
勝率が最大にするには金貨の分配をどうするのが一番良いか？
各チーム１０人いて１０枚の金貨を好きなように分配する（一人０枚以上１０枚以下）
１０人からランダムに一人を選んで対戦相手のチームより金貨の枚数が多いチームを勝ちとする（引分は0.5勝扱い）
可能な分配方法すべてについて一つずつチームが存在して無限回の対戦がランダムに行われるとするとき
勝率が最大にするには金貨の分配をどうするのが一番良いか？
>>80
コースを書いて欲しかったけど
まあ先端かrimsならこんな所で質問しないか
基礎科目は出題傾向があるから過去問を解きまくればそのうち解けるようになる
例えば重積分、行列計算、関数列や級数の収束性、留数定理は頻出
専門科目の2問選択だが、解析はだいたい測度論・関数解析・微分方程式が出る
個人的には関数解析は比較的解きやすい問題が多いと思う
ここの選択は専門分野や好みによる
万が一解ける問題が2問無かった時の為に保険でガロア理論を勉強しておく人が非常に多い
ただし専門外の問題を解くことがどれくらい評価されるのかは不明
英語は超簡単、英語でステートメント等を書いたことなくても少し練習すればすぐ慣れると思われる
答えの分からない問題があるときは友達と協力するか、院試問題集で類題を探すといいと思う
基盤じゃない場合は、言うまでもないが希望する指導教員と連絡を取るように
口頭試問では専門分野に関する質問に加えて、(基盤でない場合は)解けてない問題の解き直しをさせられることがあるから、試験本番で解けなかった問題も解いておく方がいい
コースを書いて欲しかったけど
まあ先端かrimsならこんな所で質問しないか
基礎科目は出題傾向があるから過去問を解きまくればそのうち解けるようになる
例えば重積分、行列計算、関数列や級数の収束性、留数定理は頻出
専門科目の2問選択だが、解析はだいたい測度論・関数解析・微分方程式が出る
個人的には関数解析は比較的解きやすい問題が多いと思う
ここの選択は専門分野や好みによる
万が一解ける問題が2問無かった時の為に保険でガロア理論を勉強しておく人が非常に多い
ただし専門外の問題を解くことがどれくらい評価されるのかは不明
英語は超簡単、英語でステートメント等を書いたことなくても少し練習すればすぐ慣れると思われる
答えの分からない問題があるときは友達と協力するか、院試問題集で類題を探すといいと思う
基盤じゃない場合は、言うまでもないが希望する指導教員と連絡を取るように
口頭試問では専門分野に関する質問に加えて、(基盤でない場合は)解けてない問題の解き直しをさせられることがあるから、試験本番で解けなかった問題も解いておく方がいい
y≤2x-3かつy≥0かつy≤-3x+6が表すxy平面上の領域をDとする。
D内でx^2-xy+yを最大にする点の座標を求めよ。
D内でx^2-xy+yを最大にする点の座標を求めよ。
理科大に入って京大院にロンダってできるんですか？
誰か高卒の俺に分数教えてくれ
金融系の本読んでて信用創造とかいう仕組みが出てきたんだけど
ある人が100万円のうち10%分を除いた90万円を貸し出して、その90万円を借りた人は別の人に90万のうち10%分を除いた81万を貸し出して…ってのを繰り返すと最終的に全体として最大900万貸し出せるとのことなんだが（これはなんとかイメージできる）。
90+81+…
よくわからんのはこっち
この計算は100万÷0.1＝1000万
1000万－100万（最初の100万）＝900万
という式で簡単に出せるらしいんだが、この100万÷0.1の意味がわからない
100万を0.1で割るってのは100万のなかに0.1がいくつあるのかってことでしょ？
極端に言えばこの1000万ってどこから来たんだよっていう
上の説明ならまだ理解できるんだけど
金融系の本読んでて信用創造とかいう仕組みが出てきたんだけど
ある人が100万円のうち10%分を除いた90万円を貸し出して、その90万円を借りた人は別の人に90万のうち10%分を除いた81万を貸し出して…ってのを繰り返すと最終的に全体として最大900万貸し出せるとのことなんだが（これはなんとかイメージできる）。
90+81+…
よくわからんのはこっち
この計算は100万÷0.1＝1000万
1000万－100万（最初の100万）＝900万
という式で簡単に出せるらしいんだが、この100万÷0.1の意味がわからない
100万を0.1で割るってのは100万のなかに0.1がいくつあるのかってことでしょ？
極端に言えばこの1000万ってどこから来たんだよっていう
上の説明ならまだ理解できるんだけど
a_0 = 100
a_n = 0.9 × a_{n-1} (n≧1)
で等比級数の和（n≧1での総和）を計算すれば 0.1 で割るという操作は一応出てくる
が>>88に書いてある説明が自然なものなのかどうかはわからん
a_n = 0.9 × a_{n-1} (n≧1)
で等比級数の和（n≧1での総和）を計算すれば 0.1 で割るという操作は一応出てくる
が>>88に書いてある説明が自然なものなのかどうかはわからん
>>89
教えてくれてありがたいんだがその説明だとアホな俺にはよくわからん（アンダーバーの意味もわかってない）
調べてたら確かに等比級数って言葉は出てきた
できたらもう少し砕いて教えてほしい
教えてくれてありがたいんだがその説明だとアホな俺にはよくわからん（アンダーバーの意味もわかってない）
調べてたら確かに等比級数って言葉は出てきた
できたらもう少し砕いて教えてほしい
最初に貸す額が90万で
以降その 90% を次々と貸すわけなので
総額 = 90 × (1/(1-0.9)) = 900 (万円)
この計算に等比級数の和の公式を用いた
以降その 90% を次々と貸すわけなので
総額 = 90 × (1/(1-0.9)) = 900 (万円)
この計算に等比級数の和の公式を用いた
>>58
＞しかし同じことをやっているところを表裏の情報だけを観測していて２枚の区別がつかないやつと他の情報も観測して２枚の区別のつくやつがいたら表裏の出方はどうなるんだよ
＞見るやつによって出方が違って見えるのか？
区別のつかない素粒子という場合は
位置も含めて全ての物理量で区別がつかない
何かの物理量で区別が出来る場合は
それは区別のできない物とはいわないし
確率統計も区別の出来るものとして扱われる
＞しかし同じことをやっているところを表裏の情報だけを観測していて２枚の区別がつかないやつと他の情報も観測して２枚の区別のつくやつがいたら表裏の出方はどうなるんだよ
＞見るやつによって出方が違って見えるのか？
区別のつかない素粒子という場合は
位置も含めて全ての物理量で区別がつかない
何かの物理量で区別が出来る場合は
それは区別のできない物とはいわないし
確率統計も区別の出来るものとして扱われる
>>58
区別の出来ない２個の物とは
同値律が成立する２個の物ということで
ライプニッツの原理の「同一者不可識別の原理」
を満足する２つの物だ
区別の出来ない２個の物とは
同値律が成立する２個の物ということで
ライプニッツの原理の「同一者不可識別の原理」
を満足する２つの物だ
>>95
数学教室(数学系)とRIMS(数理解析系)がある
さらに数学教室の場合は博士課程に進む前提の先端コースと主に修士卒で就職する基盤コースに分かれる
数学教室
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/
RIMS
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/ja/index.html
理学研究科募集要項
http://www.sci.kyoto-u.ac.jp/ja/_upimg/kce/AfM4Rg/files/application_mc20%281%29.pdf
教授もそれぞれ所属が決まってるから注意(募集要項のp14～18)
院試説明会も別々
指導を受けたい先生によってどちらを受けるか決めるといいと思う
基盤コースでない場合は予め連絡を取っておくべき
院試説明会で直接話すのもいい
数学教室(数学系)とRIMS(数理解析系)がある
さらに数学教室の場合は博士課程に進む前提の先端コースと主に修士卒で就職する基盤コースに分かれる
数学教室
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/
RIMS
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/ja/index.html
理学研究科募集要項
http://www.sci.kyoto-u.ac.jp/ja/_upimg/kce/AfM4Rg/files/application_mc20%281%29.pdf
教授もそれぞれ所属が決まってるから注意(募集要項のp14～18)
院試説明会も別々
指導を受けたい先生によってどちらを受けるか決めるといいと思う
基盤コースでない場合は予め連絡を取っておくべき
院試説明会で直接話すのもいい
>>96
ありがとうございます。
数学教室ですね。
調べてみます
やっぱりrimsと比べると入学難易度は下がるのでしょうか？
ありがとうございます。
数学教室ですね。
調べてみます
やっぱりrimsと比べると入学難易度は下がるのでしょうか？
誰かこれを数式に出来ないかな？
以下の基礎値と要素A～Dの組み合わせを判定式に当てはめて答え(Y)が最大になる組み合わせを出したい。ただし幾つか条件あり。
基礎値=30
係数X 1.0
要素A 最小単位1 最大値10
要素B 最小単位3 最大値30
要素C 最小単位10 最大値70
要素D 最小単位-5 最大値-50
判定式
Y=基礎値-(1回目*X)-(2回目*X)-...
条件
①各要素は最小単位の倍数で各回に分割可能、但し各回合計を最大値にしなければいけない。
②要素C,Dが両方使われた段階で係数Xは1.5に変化して戻らなくなる。
③判定式が1回目,2回目,,と続く過程でマイナス値になってはいけないが最後の回のみマイナス値でも良い。
例1
1回目 X=1.0 D=-50
2回目 X=1.0 A=1
3回目 X=1.5 A=9 B=30 C=70
Y=30-(-50)-(1)-(109*1.5)
=-84.5
例2
1回目 X=1.0 C=20 B=9
2回目 X=1.5 D=-50
3回目 X=1.5 A=10 B=21 C=50
Y=30-(29)-(-50*1.5)-(81*1.5)
=-45.5
以下の基礎値と要素A～Dの組み合わせを判定式に当てはめて答え(Y)が最大になる組み合わせを出したい。ただし幾つか条件あり。
基礎値=30
係数X 1.0
要素A 最小単位1 最大値10
要素B 最小単位3 最大値30
要素C 最小単位10 最大値70
要素D 最小単位-5 最大値-50
判定式
Y=基礎値-(1回目*X)-(2回目*X)-...
条件
①各要素は最小単位の倍数で各回に分割可能、但し各回合計を最大値にしなければいけない。
②要素C,Dが両方使われた段階で係数Xは1.5に変化して戻らなくなる。
③判定式が1回目,2回目,,と続く過程でマイナス値になってはいけないが最後の回のみマイナス値でも良い。
例1
1回目 X=1.0 D=-50
2回目 X=1.0 A=1
3回目 X=1.5 A=9 B=30 C=70
Y=30-(-50)-(1)-(109*1.5)
=-84.5
例2
1回目 X=1.0 C=20 B=9
2回目 X=1.5 D=-50
3回目 X=1.5 A=10 B=21 C=50
Y=30-(29)-(-50*1.5)-(81*1.5)
=-45.5
>>97
基盤はかなり下がる
先端とRIMSは多分それほど変わらないと思う
同じ専門分野や指導教員を希望する受験者の存在や教授の気質にも依る
基盤はかなり下がる
先端とRIMSは多分それほど変わらないと思う
同じ専門分野や指導教員を希望する受験者の存在や教授の気質にも依る
>>34
遅くなりましたが、ありがとうございました。
複素平面まで考えなくても、
点BのX座標を計算すると（途中は省略）、
(m-√3n)/2
となり、m,nが整数なので、これは無理数ですよね。
だから点Bは格子点ではありえない。
・・・で、いいですね。
参考になりました。
遅くなりましたが、ありがとうございました。
複素平面まで考えなくても、
点BのX座標を計算すると（途中は省略）、
(m-√3n)/2
となり、m,nが整数なので、これは無理数ですよね。
だから点Bは格子点ではありえない。
・・・で、いいですね。
参考になりました。
>>103
点のX座標が無理数だったら、Y座標が何であれ、
その点は格子点ではあり得ないですよね。
だからX座標が無理数であることを示した時点でQ.E.D.と思うのですが・・・
点のX座標が無理数だったら、Y座標が何であれ、
その点は格子点ではあり得ないですよね。
だからX座標が無理数であることを示した時点でQ.E.D.と思うのですが・・・
前>>105
√3間隔で等間隔に格子を引いたらどうだ？
縦横同じ幅じゃないと格子とは呼ばないのか？
√3間隔で等間隔に格子を引いたらどうだ？
縦横同じ幅じゃないと格子とは呼ばないのか？
格子って帷子に似てる｡~
￣]/＼_________前>>106
__/＼/_△_ ∩∩/|~~~~~
￣＼/彡~-~ﾐっ_))|__~~~
￣|＼_U,~⌒ヽ/ | ＼~
］| ∥￣￣`U~U / )
＿| ∥ □ ∥ / /|
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￣￣￣￣￣￣￣￣￣∥~~
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￣]/＼_________前>>106
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>>106
座標平面上の点で、X座標、Y座標がともに整数のものを「格子点」と呼ぶの
ではないでしょうか？
座標平面上の点で、X座標、Y座標がともに整数のものを「格子点」と呼ぶの
ではないでしょうか？
>>32
平面上の格子点だけでできあがる正三角形があったとして、平行移動、縮小を行うことにより、3頂点を
O(0,0),P(a,b),Q(c,d) a,b,c,dは整数で最大公約数は1
とおいても一般性は失われない。辺長条件から、
a^2+b^2=c^2+d^2=(a-c)^2+(b-d)^2 → a^2+b^2=c^2+d^2=2(ac+bd)
が得られるが、慎重に検討を行うと、a,b,c,dすべてが偶数でないと、矛盾することが確認でき、
最大公約数が1であるような整数解は無いことが判る。
これにより、3頂点が格子点である正三角形は無いと言える。
平面上の格子点だけでできあがる正三角形があったとして、平行移動、縮小を行うことにより、3頂点を
O(0,0),P(a,b),Q(c,d) a,b,c,dは整数で最大公約数は1
とおいても一般性は失われない。辺長条件から、
a^2+b^2=c^2+d^2=(a-c)^2+(b-d)^2 → a^2+b^2=c^2+d^2=2(ac+bd)
が得られるが、慎重に検討を行うと、a,b,c,dすべてが偶数でないと、矛盾することが確認でき、
最大公約数が1であるような整数解は無いことが判る。
これにより、3頂点が格子点である正三角形は無いと言える。
積分をしっかり学べるPDFはあるかね？(´･ω･`)
>>100
回転を捉えるのは座標平面より複素平面の方が格段に楽。計算も暗算で済む
行列知ってるならともかく、こんなレベルの質問する時点でちょっと…な
座標平面にこだわるのがイミフ。勉強し直せ。
回転を捉えるのは座標平面より複素平面の方が格段に楽。計算も暗算で済む
行列知ってるならともかく、こんなレベルの質問する時点でちょっと…な
座標平面にこだわるのがイミフ。勉強し直せ。
>>58
＞しかし同じことをやっているところを表裏の情報だけを観測していて２枚の区別がつかないやつと他の情報も観測して２枚の区別のつくやつがいたら表裏の出方はどうなるんだよ
電子の場合はどんな事をしても区別ができない
ようするに「同一の電子が２個ある」 という状態なんだ
「自己同一性をもたない」ということは
自分と他人を区別することができないということで
自分とか他人とかのラベルを張る事すらできない状態なんだ
自分は何々という観測確率を持っているとか
他人は何々という観測確率を持っているとかの表記もできない状態なんだ
従って
同一の２人は何々という確率を持っているという表記になる
個々が独立して観測確率を持っているのではなく
区別の出来ない同一の２人が何々という確率を持っているということになる
＞しかし同じことをやっているところを表裏の情報だけを観測していて２枚の区別がつかないやつと他の情報も観測して２枚の区別のつくやつがいたら表裏の出方はどうなるんだよ
電子の場合はどんな事をしても区別ができない
ようするに「同一の電子が２個ある」 という状態なんだ
「自己同一性をもたない」ということは
自分と他人を区別することができないということで
自分とか他人とかのラベルを張る事すらできない状態なんだ
自分は何々という観測確率を持っているとか
他人は何々という観測確率を持っているとかの表記もできない状態なんだ
従って
同一の２人は何々という確率を持っているという表記になる
個々が独立して観測確率を持っているのではなく
区別の出来ない同一の２人が何々という確率を持っているということになる
>>112
区別の出来ない２個の物とは
同値律を満たす関係で反射律・対称律・推移律を同時に満たす＝の関係だ
「区別の出来ない２個の物」とは
「同一のものが２個ある」
という状態なのだ
同一のＡが２個有った場合
自然数と対応させて
Ａ１とかＡ２とかの表記は出来ないのだ
ということで
Ａ１が持つ確率とか
Ａ２が持つ確率という表記は出来ない
区別のできない２個のＡが持つ確率
ということになる
区別の出来ない２個の物とは
同値律を満たす関係で反射律・対称律・推移律を同時に満たす＝の関係だ
「区別の出来ない２個の物」とは
「同一のものが２個ある」
という状態なのだ
同一のＡが２個有った場合
自然数と対応させて
Ａ１とかＡ２とかの表記は出来ないのだ
ということで
Ａ１が持つ確率とか
Ａ２が持つ確率という表記は出来ない
区別のできない２個のＡが持つ確率
ということになる
>>58
情報不可弁別性とは
「裏・裏」とか「表・表」とか「裏・表」という情報がセットとなり
「裏」と「表」という単位に分けれない事だ
２枚のコインが区別できる場合は
コイン１が「裏」になるとか「表」になるとか
コイン２が「裏」になるとか「表」になるとか
「裏」と｢表」が単品になってる
２枚のコインが区別できない場合は
コイン１とかコイン２とかのように自然数と対応させた識別は出来ない
ようするに異なるラベルづけは不可能なんだ
ということで２枚の区別できないコインは
「裏・裏」の確率はいくらとか
「表・表」の確率はいくらとか
「裏・表」の確率はいくらとか
裏と表がセットになって分離できない
情報不可弁別性とは
「裏・裏」とか「表・表」とか「裏・表」という情報がセットとなり
「裏」と「表」という単位に分けれない事だ
２枚のコインが区別できる場合は
コイン１が「裏」になるとか「表」になるとか
コイン２が「裏」になるとか「表」になるとか
「裏」と｢表」が単品になってる
２枚のコインが区別できない場合は
コイン１とかコイン２とかのように自然数と対応させた識別は出来ない
ようするに異なるラベルづけは不可能なんだ
ということで２枚の区別できないコインは
「裏・裏」の確率はいくらとか
「表・表」の確率はいくらとか
「裏・表」の確率はいくらとか
裏と表がセットになって分離できない
高専 数学 極方程式の積分
(1)と(2)の解き方が分かりません
解説をお願いします
(1)と(2)の解き方が分かりません
解説をお願いします
>>116
先端コースは院試の際に指導教員を指名しなければならず、10人弱しか通らない
基盤コースは特定の指導教員につくわけではなく、人数も30人以上取る
口頭試問の内容も全く違う(基盤の方が楽)
そういう訳で、先端とRIMSの難易度はそれほど変わらないが、基盤コースは比較的入りやすい
これくらいは調べたらすぐ分かるから少しは調べる癖をつけた方がいい
先端コースは院試の際に指導教員を指名しなければならず、10人弱しか通らない
基盤コースは特定の指導教員につくわけではなく、人数も30人以上取る
口頭試問の内容も全く違う(基盤の方が楽)
そういう訳で、先端とRIMSの難易度はそれほど変わらないが、基盤コースは比較的入りやすい
これくらいは調べたらすぐ分かるから少しは調べる癖をつけた方がいい
>>113
確かにそうですね。
ｎ＝０ つまりＡがＸ軸上にあって、さらにそのＸ座標が偶数の場合は、
ＢのＸ座標も整数になるので、
ＢのＹ座標が無理数であることを示さないとダメですよね。
ばかでした・・・
確かにそうですね。
ｎ＝０ つまりＡがＸ軸上にあって、さらにそのＸ座標が偶数の場合は、
ＢのＸ座標も整数になるので、
ＢのＹ座標が無理数であることを示さないとダメですよね。
ばかでした・・・
半径5の円Kの周上にAB=1となる2点A,Bを、Kの内部に点Cをとり、△ABCが正三角形となるようにする。
またKに内接し、Aを1つの頂点とする正三角形△APQを考える。ただし、PはKの周上にあり、また辺APと辺BCとが交点Mを持つものとする。
△MCQの面積を求めよ。
またKに内接し、Aを1つの頂点とする正三角形△APQを考える。ただし、PはKの周上にあり、また辺APと辺BCとが交点Mを持つものとする。
△MCQの面積を求めよ。
>>109
おもしろそうな発想だということはわかります。
ただ、
> a^2+b^2=c^2+d^2=(a-c)^2+(b-d)^2 → a^2+b^2=c^2+d^2=2(ac+bd)
> が得られるが、慎重に検討を行うと、a,b,c,dすべてが偶数でないと、矛盾することが確認でき、
がわかりません。
できれば、もう少し詳しく教えてください。
おもしろそうな発想だということはわかります。
ただ、
> a^2+b^2=c^2+d^2=(a-c)^2+(b-d)^2 → a^2+b^2=c^2+d^2=2(ac+bd)
> が得られるが、慎重に検討を行うと、a,b,c,dすべてが偶数でないと、矛盾することが確認でき、
がわかりません。
できれば、もう少し詳しく教えてください。
>>124
どうしても分からないなら、めんどくさいけど偶奇について全部の場合を洗えばよくね？
その作業中に、投稿者の意図も分かるでしょ
めんどくさがって他人に投げる前に自分で手を動かせ
どうしても分からないなら、めんどくさいけど偶奇について全部の場合を洗えばよくね？
その作業中に、投稿者の意図も分かるでしょ
めんどくさがって他人に投げる前に自分で手を動かせ
>>14
＞区別の出来ない２枚のコインを振って「裏」「裏」が出る確率と
＞区別の出来るコインを２回振って「裏」「裏」が出る確率は
＞同じか？ それとも異なるか？
異なる
２枚のコインが区別つく場合
コイン１が「裏」の確率 １／２
コイン１が「表」の確率 １／２
コイン２が「裏」の確率 １／２
コイン２が「表」の確率 １／２
２枚のコインが区別つかない場合
コイン２枚が「裏・裏」の確率 １／３
コイン２枚が「表・表」の確率 １／３
コイン２枚が「裏・表」の確率 １／３
＞区別の出来ない２枚のコインを振って「裏」「裏」が出る確率と
＞区別の出来るコインを２回振って「裏」「裏」が出る確率は
＞同じか？ それとも異なるか？
異なる
２枚のコインが区別つく場合
コイン１が「裏」の確率 １／２
コイン１が「表」の確率 １／２
コイン２が「裏」の確率 １／２
コイン２が「表」の確率 １／２
２枚のコインが区別つかない場合
コイン２枚が「裏・裏」の確率 １／３
コイン２枚が「表・表」の確率 １／３
コイン２枚が「裏・表」の確率 １／３
もうこんな不毛な話やめてくれ。
そのコインの話ののってるソースはって終了でいいやろ？
そのコインの話ののってるソースはって終了でいいやろ？
>>123前>>107
A(0,5)
B(3√11/10,49/10)
C((3√11-√3)/20,(99-3√33)/20)
P(5√3/2,5/2)
Q(0,0)のときの、
直線APと直線BCの交点M(x,y)および△MCQが一意に定まると思う。
直線APはy=-x/√3+5
直線BCはy={(3√33-1)/(3√11+√3)}(x-3√11/10)+49/10
yを消去して、
-x/√3+5={(3√33-1)/(3√11+√3)}(x-3√11/10)+49/10
-x/√3+1/10={(3√33-1)/(3√11+√3)}(x-3√11/10)
√3-10x={(3√33-1)/(3√11+√3)}(10x√3-3√33)
√3-10x={(3√33-1)(3√11-√3)/(99-3)}(10x√3-3√33)
√3-10x={(100√3-3√11-9√11)/96}(10x√3-3√33)
√3-10x={(100√3-12√11)/96}(10x√3-3√33)
√3-10x={(25√3-3√11)/24}(10x√3-3√33)
24(√3-10x)=(25√3-3√11)(10x√3-3√33)
24√3+3√33(25√3-3√11)=240x+750x-30x√33
240x+750x-30x√33=24√3+225√11-99√3
990x-30x√33=225√11-75√3
(198-6√33)x=45√11-15√3
2(33-√33)x=5(3√11-√3)x=5(3√11-√3)(33+√33)/2(33^2-33)
=5(96√11)/2112
=5･2^5･3√11/2^6･3･11
=5√11/22
y=5-5√33/66
M(5√11/22,(330-5√33)/66)
つづく――
A(0,5)
B(3√11/10,49/10)
C((3√11-√3)/20,(99-3√33)/20)
P(5√3/2,5/2)
Q(0,0)のときの、
直線APと直線BCの交点M(x,y)および△MCQが一意に定まると思う。
直線APはy=-x/√3+5
直線BCはy={(3√33-1)/(3√11+√3)}(x-3√11/10)+49/10
yを消去して、
-x/√3+5={(3√33-1)/(3√11+√3)}(x-3√11/10)+49/10
-x/√3+1/10={(3√33-1)/(3√11+√3)}(x-3√11/10)
√3-10x={(3√33-1)/(3√11+√3)}(10x√3-3√33)
√3-10x={(3√33-1)(3√11-√3)/(99-3)}(10x√3-3√33)
√3-10x={(100√3-3√11-9√11)/96}(10x√3-3√33)
√3-10x={(100√3-12√11)/96}(10x√3-3√33)
√3-10x={(25√3-3√11)/24}(10x√3-3√33)
24(√3-10x)=(25√3-3√11)(10x√3-3√33)
24√3+3√33(25√3-3√11)=240x+750x-30x√33
240x+750x-30x√33=24√3+225√11-99√3
990x-30x√33=225√11-75√3
(198-6√33)x=45√11-15√3
2(33-√33)x=5(3√11-√3)x=5(3√11-√3)(33+√33)/2(33^2-33)
=5(96√11)/2112
=5･2^5･3√11/2^6･3･11
=5√11/22
y=5-5√33/66
M(5√11/22,(330-5√33)/66)
つづく――
問題
２個の区別の出来ないコインを同時に振った場合
最初に１枚のコインが「裏」になる確率は１／２で
最初に１枚のコインが「表」になる確率は１／２だが
残った１枚のコインが「裏」になる確率は
最初に１枚のコインが「裏」になった場合はいくらか？
残った１枚のコインが「表」になる確率は
最初に１枚のコインが「裏」になった場合はいくらか？
残った１枚のコインが「裏」になる確率は
最初に１枚のコインが「表」になった場合はいくらか？
残った１枚のコインが「表」になる確率は
最初に１枚のコインが「表」になった場合はいくらか？
２個の区別の出来ないコインを同時に振った場合
最初に１枚のコインが「裏」になる確率は１／２で
最初に１枚のコインが「表」になる確率は１／２だが
残った１枚のコインが「裏」になる確率は
最初に１枚のコインが「裏」になった場合はいくらか？
残った１枚のコインが「表」になる確率は
最初に１枚のコインが「裏」になった場合はいくらか？
残った１枚のコインが「裏」になる確率は
最初に１枚のコインが「表」になった場合はいくらか？
残った１枚のコインが「表」になる確率は
最初に１枚のコインが「表」になった場合はいくらか？
>>123前>>128
直線CMは、
y={(3√33-1)/(3√11+√3)}(x-3√11/10)+49/10を簡単にして、
(3√33-1)x-(3√11+√3)y+15√11-5√3=0
直線CMとQ(0,0)との距離は、
(15√11-5√3)/√{(3√33-1)^2+(3√11+√3)^2}
=(15√11-5√3)/√400
=(15√11-5√3)/20
=(3√11-√3)/4――①
C((3√11-√3)/20,(99-3√33)/20)と、
M(5√11/22,(330-5√33)/66)の距離は、
√[{5√11/22-(3√11-√3)/20}^2+{(330-5√33)/66-(99-3√33)/20}^2]
=√[{(25√11-15√11+5√3)/110)^2+{(3300-50√33-99･33+99√33)/660}^2]
=√[{(10√11+5√3)/110)^2+{(33+49√33)/660}^2]
=√{(1100+50√33+75)/110^2+(33･33+66･49√33+49^2･33)/660^2}
=√{(1175+50√33)/12100+(33･33+66･49√33+49^2･33)/36･12100}
=√{(235+10√33)/2420+(33+22･49√33+49^2)/12･1100}
=√{(47+2√33)/484+(2434+22･49√33)/12･1100}
=√{(47+2√33)/484+(1217+11･49√33)/6･1100}
=√{(47+2√33)/484+(1217+539√33)/6600}
=√{(47+2√33)･150+(1217･11+539･11√33)/6600･11}
=√{(47･150+300√33+13387+5929√33)/6600･11}
=√{(7050+300√33+13387+5929√33)/6600･11}
=(1/110)√{(20437+6229√33)/6}――②
∴△MCQ=①･②/2
={(3√11-√3)/880}√{(20437+6229√33)/6}
直線CMは、
y={(3√33-1)/(3√11+√3)}(x-3√11/10)+49/10を簡単にして、
(3√33-1)x-(3√11+√3)y+15√11-5√3=0
直線CMとQ(0,0)との距離は、
(15√11-5√3)/√{(3√33-1)^2+(3√11+√3)^2}
=(15√11-5√3)/√400
=(15√11-5√3)/20
=(3√11-√3)/4――①
C((3√11-√3)/20,(99-3√33)/20)と、
M(5√11/22,(330-5√33)/66)の距離は、
√[{5√11/22-(3√11-√3)/20}^2+{(330-5√33)/66-(99-3√33)/20}^2]
=√[{(25√11-15√11+5√3)/110)^2+{(3300-50√33-99･33+99√33)/660}^2]
=√[{(10√11+5√3)/110)^2+{(33+49√33)/660}^2]
=√{(1100+50√33+75)/110^2+(33･33+66･49√33+49^2･33)/660^2}
=√{(1175+50√33)/12100+(33･33+66･49√33+49^2･33)/36･12100}
=√{(235+10√33)/2420+(33+22･49√33+49^2)/12･1100}
=√{(47+2√33)/484+(2434+22･49√33)/12･1100}
=√{(47+2√33)/484+(1217+11･49√33)/6･1100}
=√{(47+2√33)/484+(1217+539√33)/6600}
=√{(47+2√33)･150+(1217･11+539･11√33)/6600･11}
=√{(47･150+300√33+13387+5929√33)/6600･11}
=√{(7050+300√33+13387+5929√33)/6600･11}
=(1/110)√{(20437+6229√33)/6}――②
∴△MCQ=①･②/2
={(3√11-√3)/880}√{(20437+6229√33)/6}
２枚の区別のできないコインが有った場合
１枚つづコインを振った場合と
２枚のコインを同時に振った場合
裏・裏となる確率は異なるか？
１枚つづコインを振った場合と
２枚のコインを同時に振った場合
裏・裏となる確率は異なるか？
>>127ソースは
「数学の中の物理学」東京大学出版会 大森英樹著
のなかで
「まったく性質の異なる確率統計が共存している奇妙さは
多くの数学者を悩ましてる難問なのであって
何とか物理ではそうなっているという言いわけをしないで
数学的にこの２つを数学論理のなかに共存させることができないもんだろうか
ということは物理に興味をもつ数学者なら皆気にしてる」
とある
「数学の中の物理学」東京大学出版会 大森英樹著
のなかで
「まったく性質の異なる確率統計が共存している奇妙さは
多くの数学者を悩ましてる難問なのであって
何とか物理ではそうなっているという言いわけをしないで
数学的にこの２つを数学論理のなかに共存させることができないもんだろうか
ということは物理に興味をもつ数学者なら皆気にしてる」
とある
>>132まったく性質の異なる確率統計が共存している奇妙さは
奇妙さの原因は
確率統計が物の性質に依存する物理法則のようになってることなのだ
ようするに確率統計が
物の性質に依存しない抽象的な概念になったないのだ
奇妙さの原因は
確率統計が物の性質に依存する物理法則のようになってることなのだ
ようするに確率統計が
物の性質に依存しない抽象的な概念になったないのだ
>>134
IDでNGすりゃいいだけ
延々と自己レスしたり同じ書き込みに何度もレスしたり大量投稿し続けているのは自分でもおかしなことを言っているという自覚がある荒らしってことだよ
IDでNGすりゃいいだけ
延々と自己レスしたり同じ書き込みに何度もレスしたり大量投稿し続けているのは自分でもおかしなことを言っているという自覚がある荒らしってことだよ
>>136自分でもおかしなことを言っているという自覚がある
ボーズ統計とフェルミ統計という２つの統計が両立してるというのは
物理では物理法則とみているので別に問題はないが
数学の場合は確率統計が物の性質を無いものとして
抽象化できてないということで問題にされてるといってることが
「数学の中の物理」で記されてるということを伝えたのだが
ボーズ統計とフェルミ統計という２つの統計が両立してるというのは
物理では物理法則とみているので別に問題はないが
数学の場合は確率統計が物の性質を無いものとして
抽象化できてないということで問題にされてるといってることが
「数学の中の物理」で記されてるということを伝えたのだが
>>131
＞２枚の区別のできないコインが有った場合
＞１枚つづコインを振った場合と
＞２枚のコインを同時に振った場合
＞裏・裏となる確率は異なるか？
問題を間違えたので訂正
２枚の区別のできないコインが有った場合
１枚のコインを２回振った場合と
２枚のコインを同時に振った場合で
確率は異なるか？
＞２枚の区別のできないコインが有った場合
＞１枚つづコインを振った場合と
＞２枚のコインを同時に振った場合
＞裏・裏となる確率は異なるか？
問題を間違えたので訂正
２枚の区別のできないコインが有った場合
１枚のコインを２回振った場合と
２枚のコインを同時に振った場合で
確率は異なるか？
超対称性って知ってる？
いちいちうるせーんだよ(｀・ω・´)
話かけんじゃねーよ(｀・ω・´)
話かけんじゃねーよ(｀・ω・´)
指摘うけて狼狽えるようでは幼稚
斜線部の面積とθの求め方おしえろください
>>84 １０人は多すぎるので４人で計算した確率 （総当たりで平均勝率計算しただけ）
(1111) 76/128
(0112) 71/128
(0022) 66/128
(0013) 60/128
(0004) 47/128
(1111) 76/128
(0112) 71/128
(0022) 66/128
(0013) 60/128
(0004) 47/128
前>>142
>>143なかなかエロいππ図形が描けててよい。
まずおっきい扇形、2×2の四半分のやつ=π･2^2/4
こっから左右の半分ππを引くと、引きすぎだけどひとまず引く。
π･2^2/4-π/2-π/2
まだ引いてない逆さまの白パン部分は、2×2の正方形から半分のππ2個を引いて上下半分にしたやつやで、
(2^2-π･1^2)/2
これも引いて、
π･2^2/4-π/2-π/2-(2^2-π･1^2)/2
あとはこれにさっき引きすぎた右側の縦2の辺と2つの円弧で囲まれた部分を足す。
この縦長のヘラのような部分は2つの円弧の性質(カーブ)が違うから、別々に分けて求めたらどうか。
半径2の扇形の接線が90°なんで、ちょうど右のππの半径になるように引ける。これでヘラを上下に分離した。
正方形を上下に二分するよう直線を引くと、扇形のθを錯角、対頂角、中心角という順に等しい角として書きこめる。
足すべき上の部分の扇形は、
π･1^2(θ/2π)
足すべき下の部分は線対称な四角形から扇形を引いた部分であるが、この四角形は、対頂角θが等しくかつともに直角を有する三角形の部分が合同であるため等積移動でき、一辺2の正方形の下半分の面積だとわかる。
1･2-π2^2(θ/2π)
求める白カット黒パンの面積は、
π･2^2/4-π/2-π/2-(2^2-π･1^2)/2
+π･1^2(θ/2π)
+1･2-π2^2(θ/2π)
=-(4-π)/2+θ/2+2-2θ
=-2+π/2+θ/2+2-2θ
=π/2-3θ/2
=(π-3θ)/2
>>143なかなかエロいππ図形が描けててよい。
まずおっきい扇形、2×2の四半分のやつ=π･2^2/4
こっから左右の半分ππを引くと、引きすぎだけどひとまず引く。
π･2^2/4-π/2-π/2
まだ引いてない逆さまの白パン部分は、2×2の正方形から半分のππ2個を引いて上下半分にしたやつやで、
(2^2-π･1^2)/2
これも引いて、
π･2^2/4-π/2-π/2-(2^2-π･1^2)/2
あとはこれにさっき引きすぎた右側の縦2の辺と2つの円弧で囲まれた部分を足す。
この縦長のヘラのような部分は2つの円弧の性質(カーブ)が違うから、別々に分けて求めたらどうか。
半径2の扇形の接線が90°なんで、ちょうど右のππの半径になるように引ける。これでヘラを上下に分離した。
正方形を上下に二分するよう直線を引くと、扇形のθを錯角、対頂角、中心角という順に等しい角として書きこめる。
足すべき上の部分の扇形は、
π･1^2(θ/2π)
足すべき下の部分は線対称な四角形から扇形を引いた部分であるが、この四角形は、対頂角θが等しくかつともに直角を有する三角形の部分が合同であるため等積移動でき、一辺2の正方形の下半分の面積だとわかる。
1･2-π2^2(θ/2π)
求める白カット黒パンの面積は、
π･2^2/4-π/2-π/2-(2^2-π･1^2)/2
+π･1^2(θ/2π)
+1･2-π2^2(θ/2π)
=-(4-π)/2+θ/2+2-2θ
=-2+π/2+θ/2+2-2θ
=π/2-3θ/2
=(π-3θ)/2
>>143
ゴミみたいな図を書くな
回答者が答えやすいように書き直して点に名前を振れ
それからどこまでが斜線部か細かいところまで明確にしろ
そうしたら答えてやる
ゴミみたいな図を書くな
回答者が答えやすいように書き直して点に名前を振れ
それからどこまでが斜線部か細かいところまで明確にしろ
そうしたら答えてやる
前>>145補足。
cos(θ/2)=2/√5
sin(θ/2)=1/√5
tan(θ/2)=1/2
tan(26.5655°)≒1/2
θ=53.131……
cos(θ/2)=2/√5
sin(θ/2)=1/√5
tan(θ/2)=1/2
tan(26.5655°)≒1/2
θ=53.131……
AB=5,BC=3,∠ABC=60°の△ABCにおいて、CA=［ア］、外接円の半径Rは［イ］である。
また劣弧BC上に△BPCの面積が最大となるように点Pをとると、AP=［ウ］である。
このときBPとRの大小を比較すると
BP［エ］R
であり、同様にBPとCAの大小を比較すると
BP［オ］CA
である。
〔問題〕
［ア］［イ］［ウ］に当てはまる実数を求めよ。
また［エ］［オ］に当てはまるいずれかの記号を以下から選択せよ。
（選択肢） < = >
また劣弧BC上に△BPCの面積が最大となるように点Pをとると、AP=［ウ］である。
このときBPとRの大小を比較すると
BP［エ］R
であり、同様にBPとCAの大小を比較すると
BP［オ］CA
である。
〔問題〕
［ア］［イ］［ウ］に当てはまる実数を求めよ。
また［エ］［オ］に当てはまるいずれかの記号を以下から選択せよ。
（選択肢） < = >
自己解決しました。
r>=0になる範囲で積分すれば出来ますね。
お騒がせしました。
r>=0になる範囲で積分すれば出来ますね。
お騒がせしました。
原点の近傍でC^∞級の関数fをR全体に拡張することは、「C^∞級の関数は相当自由自在にのばせるので、」
簡単であると書いてある本があるのですが、どうやって拡張するのでしょうか？
簡単であると書いてある本があるのですが、どうやって拡張するのでしょうか？
点Oを中心とする円Cの周上に相異なる2点A,B,Cがあり、AB=1、AC=3である。
また直線BOとACは交点Dを持ち、OD=3/2である。
BCの長さを求めよ。ただし∠ACB<90°である。
また直線BOとACは交点Dを持ち、OD=3/2である。
BCの長さを求めよ。ただし∠ACB<90°である。
>>156
その質問の言葉の通りなら無理な反例が作れる。
例えば(-π/2,π/2)で定義されたC^∞級関数
sin(tan(x))
は[-π/2,π/2]に連続に拡張することすらできない。
その質問の言葉の通りなら無理な反例が作れる。
例えば(-π/2,π/2)で定義されたC^∞級関数
sin(tan(x))
は[-π/2,π/2]に連続に拡張することすらできない。
平行四辺形□ABCDにおいて、∠ABC=θ（0<θ≤90°）、AB=3、BC=4である。
この3頂点A,B,Cを通る円Kと点Dの距離が1/2であるという。ただし円Sと点Pの距離とは、Sの周上でPと最も近い点をQとしたときのPQの長さを指す。
sinθの値を求めよ。
この3頂点A,B,Cを通る円Kと点Dの距離が1/2であるという。ただし円Sと点Pの距離とは、Sの周上でPと最も近い点をQとしたときのPQの長さを指す。
sinθの値を求めよ。
自然数a,b,c,dはad-bc=1を満たす。
a,b,c,dのうち少なくとも一組の自然数は互いに素であるか、または等しいことを示せ。
a,b,c,dのうち少なくとも一組の自然数は互いに素であるか、または等しいことを示せ。
ad と bc は互いに素（1以外の公約数をもたない）
∴ (a,b) (a,c) (b,d) (c,d) はどれも互いに素。
∴ (a,b) (a,c) (b,d) (c,d) はどれも互いに素。
>>153
B = 60ﾟ
cos(B) = 1/2,
第二余弦定理から
CA^2 = AB^2 + BC^2 -2･AB･BC･cos(B) = 19,
CA = √19 ････ [ア]
正弦定理から
R = CA/{2sin(B)} = CA/√3 = √(19/3) ････ [イ],
sin(A) = (BC/CA)sin(B) = (3/√19)(√3 /2) = (3√3)/(2√19) = 0.596040
cos(A) = 7/(2√19) = 0.802955
2sin(A/2) = √{2 - 2cos(A)} = √(2 - 7/√19) = 0.627766
2sin(B+A/2) = √(2 + 8/√19) = 1.958399
Pは辺BCからの距離が最大となる点 ⇒ 弧BCの中点
∠AOP/2 = (∠AOC+∠COP)/2 = B + A/2 = 60ﾟ + A/2,
AP = 2Rsin(B+A/2) = √(19/3) √(2 + 8/√19) = √{(38+8√19)/3} ････ [ウ]
BP = 2Rsin(A/2) = R√(2 - 7/√19) = 0.627766･R
BP ＜ R ････ [エ]
CA = √19 = R√3,
BP ＜ CA ････ [オ]
B = 60ﾟ
cos(B) = 1/2,
第二余弦定理から
CA^2 = AB^2 + BC^2 -2･AB･BC･cos(B) = 19,
CA = √19 ････ [ア]
正弦定理から
R = CA/{2sin(B)} = CA/√3 = √(19/3) ････ [イ],
sin(A) = (BC/CA)sin(B) = (3/√19)(√3 /2) = (3√3)/(2√19) = 0.596040
cos(A) = 7/(2√19) = 0.802955
2sin(A/2) = √{2 - 2cos(A)} = √(2 - 7/√19) = 0.627766
2sin(B+A/2) = √(2 + 8/√19) = 1.958399
Pは辺BCからの距離が最大となる点 ⇒ 弧BCの中点
∠AOP/2 = (∠AOC+∠COP)/2 = B + A/2 = 60ﾟ + A/2,
AP = 2Rsin(B+A/2) = √(19/3) √(2 + 8/√19) = √{(38+8√19)/3} ････ [ウ]
BP = 2Rsin(A/2) = R√(2 - 7/√19) = 0.627766･R
BP ＜ R ････ [エ]
CA = √19 = R√3,
BP ＜ CA ････ [オ]
>>171
A (3cosθ, 3sinθ)
B (0, 0)
C (4, 0)
D (4+3cosθ, 3sinθ)
とおく。
Kの中心を O (2, y) とおくと、
y = (3-4cosθ)/(2sinθ),
Kの半径は
R = √(25-24cosθ) / 2sinθ,
K上の点Q~について
Q~D = (OQ~ + Q~D) - R ≧ OD - R,
QD = OD - R
= √{25-24cos(3θ)} / 2sinθ - R,
QD = 1/2 より
θ = 0.0211151976 1.46102566
sinθ = 0.0211136286 0.9939812476
A (3cosθ, 3sinθ)
B (0, 0)
C (4, 0)
D (4+3cosθ, 3sinθ)
とおく。
Kの中心を O (2, y) とおくと、
y = (3-4cosθ)/(2sinθ),
Kの半径は
R = √(25-24cosθ) / 2sinθ,
K上の点Q~について
Q~D = (OQ~ + Q~D) - R ≧ OD - R,
QD = OD - R
= √{25-24cos(3θ)} / 2sinθ - R,
QD = 1/2 より
θ = 0.0211151976 1.46102566
sinθ = 0.0211136286 0.9939812476
前>>148
>>157 BC=√[4r^2-{(2r-3)^2/(2r+3)^2}]
>>161 sinθ=t/r
cosθ=√{1-(t/r)^2}
=(3^2+4^2-4t^2)/2･3･4
=(25-4t^2)/24
(25-4t^2)^2/24^2=1-t^2/r^2
(25-4t^2)^2･r^2=24^2(1-t^2)
r^2=24^2(1-t^2)/(25-4t^2)^2
sinθ=t/√{24^2(1-t^2)/(25-4t^2)^2}
=t(25-4t^2)/24√(1-t^2)
ピタゴラスの定理より、
(3sinθ)^2+(4-3cosθ)^2=4t^2
9sin^2θ+16-24cosθ+9cos^2θ=4t^2
9(1-cos^2θ)+16-24cosθ+9cos^2θ=4t^2
25-24cosθ=4t^2
t^2=25/4-6cosθ
sinθ=t(25-4t^2)/24√(1-t^2)
=cosθ√(25/4-6cosθ)/√(1-25/4+6cosθ)
=cosθ√(25-24cosθ)/√(24cosθ-19)
sin^2θ=cos^2θ(25-24cosθ)/(24cosθ-19)
2sinθcosθ=(cos^2θ-sin^2θ)(25-24cosθ)/(24cosθ-19)
2sinθcosθ(24cosθ-19)=(1-2sin^2θ)(25-24cosθ)
48sinθ(1-sin^2θ)-38sinθcosθ=25-50sin^2θ-24cosθ+48sin^2θcosθ
48sinθ-48sin^3θ-38sinθcosθ=25-50sin^2θ-24cosθ+48sin^2θcosθ
中断
>>157 BC=√[4r^2-{(2r-3)^2/(2r+3)^2}]
>>161 sinθ=t/r
cosθ=√{1-(t/r)^2}
=(3^2+4^2-4t^2)/2･3･4
=(25-4t^2)/24
(25-4t^2)^2/24^2=1-t^2/r^2
(25-4t^2)^2･r^2=24^2(1-t^2)
r^2=24^2(1-t^2)/(25-4t^2)^2
sinθ=t/√{24^2(1-t^2)/(25-4t^2)^2}
=t(25-4t^2)/24√(1-t^2)
ピタゴラスの定理より、
(3sinθ)^2+(4-3cosθ)^2=4t^2
9sin^2θ+16-24cosθ+9cos^2θ=4t^2
9(1-cos^2θ)+16-24cosθ+9cos^2θ=4t^2
25-24cosθ=4t^2
t^2=25/4-6cosθ
sinθ=t(25-4t^2)/24√(1-t^2)
=cosθ√(25/4-6cosθ)/√(1-25/4+6cosθ)
=cosθ√(25-24cosθ)/√(24cosθ-19)
sin^2θ=cos^2θ(25-24cosθ)/(24cosθ-19)
2sinθcosθ=(cos^2θ-sin^2θ)(25-24cosθ)/(24cosθ-19)
2sinθcosθ(24cosθ-19)=(1-2sin^2θ)(25-24cosθ)
48sinθ(1-sin^2θ)-38sinθcosθ=25-50sin^2θ-24cosθ+48sin^2θcosθ
48sinθ-48sin^3θ-38sinθcosθ=25-50sin^2θ-24cosθ+48sin^2θcosθ
中断
高校生です
∫(0→1) 【x/√(1+x^2)】^3 dx
これ計算するのに、√(1+x^2)＝αと置換すると
dα/dx=x/α→ dx=α/x dα
となって、∫(1→√2) (x^3/α^3) * (α/x) dα となり、すぐ計算できますが、
ここで形式上でもα/xが出てくるのが気持ち悪い(x=0になるので)のですが、
これは答案にかくときどう説明したらよいでしょうか？
あるいは分母がゼロになるような場合はそもそもこの変形は誤りでしょうか？
∫(0→1) 【x/√(1+x^2)】^3 dx
これ計算するのに、√(1+x^2)＝αと置換すると
dα/dx=x/α→ dx=α/x dα
となって、∫(1→√2) (x^3/α^3) * (α/x) dα となり、すぐ計算できますが、
ここで形式上でもα/xが出てくるのが気持ち悪い(x=0になるので)のですが、
これは答案にかくときどう説明したらよいでしょうか？
あるいは分母がゼロになるような場合はそもそもこの変形は誤りでしょうか？
>>167
まぁ高校の教科書に公式として載ってるものだけを使うとどうしてもそうなるね。
その気持ち悪さは大学一年で習う微分係数、もしくは広義積分使えるようになると解消される。
もちろんそんなもん使わなくても高校の教科書の範囲内でもできなくないだろうけどそんなの出題者は求めてないだろうし。
受験の解答ならそれで許してもらえるし、自分の気持ち悪さ解消したいだけなら大学の教養の教科書先読みする方がいいと思う。
まぁ高校の教科書に公式として載ってるものだけを使うとどうしてもそうなるね。
その気持ち悪さは大学一年で習う微分係数、もしくは広義積分使えるようになると解消される。
もちろんそんなもん使わなくても高校の教科書の範囲内でもできなくないだろうけどそんなの出題者は求めてないだろうし。
受験の解答ならそれで許してもらえるし、自分の気持ち悪さ解消したいだけなら大学の教養の教科書先読みする方がいいと思う。
もちろん誤りだ。
x=tanθなどと置くか、開始をa≠0からにし後からa→0とすべきだろう。
x=tanθなどと置くか、開始をa≠0からにし後からa→0とすべきだろう。
2x + x2 + x3 + 6x4 = -2
x + 2x2 + x3 + x4 =1
x + x2 + 2x3 + x4 =1
x + x2 + x3 + 2x4 = a
行列の問題です。
x + 2x2 + x3 + x4 =1
x + x2 + 2x3 + x4 =1
x + x2 + x3 + 2x4 = a
行列の問題です。
次の連立方程式が買いを持つように、定数aを定めて、解を求めよ。
(x1,x2,x3,x4)=c(-4,1,1,1)+(-2,1,1,0) a=0
(x1,x2,x3,x4)=c(-4,1,1,1)+(-2,1,1,0) a=0
1～3行目をたすと
4(x + x2 + x3 + 2x4) = -2 +1 +1 = 0
となるから
a = 0,
(x, x2, x3, x4) = ( 2-4t, t, t, t-1) tは任意
4(x + x2 + x3 + 2x4) = -2 +1 +1 = 0
となるから
a = 0,
(x, x2, x3, x4) = ( 2-4t, t, t, t-1) tは任意
>>167
(x dx) を１つの塊と思えばよい。いまの場合は、xは【 】の中から出てくる。
あるいは、1 + x^2 = y とおけば 2x dx = dy だから 1/x は出てこない。
∫(0→1) {x/√(1+x^2)}^3 dx = ∫(1→2) (y-1)/[2y^(3/2)] dy
(x dx) を１つの塊と思えばよい。いまの場合は、xは【 】の中から出てくる。
あるいは、1 + x^2 = y とおけば 2x dx = dy だから 1/x は出てこない。
∫(0→1) {x/√(1+x^2)}^3 dx = ∫(1→2) (y-1)/[2y^(3/2)] dy
大学数学、統計学についての質問です。
十分統計量、フィッシャー・ネイマンの分解定理について、以下の例は正しいでしょうか？
ある実験Ａの成功確率はｐとする。実験は３回成功するまで
行われる。
x_kはk回目に実験が成功したら1、実験が成功しなかったら0の値をとる。
x＝(x_1,x_2,・・・,x_n)とする。nは実験が３回目に成功した時の実験回数である。
統計量Ｔ(Ｘ)を３回目に実験が成功した時の実験回数とする。
この時、Ｔ(Ｘ)が十分統計量であることを調べる。
Ｐ(Ｘ＝ｘ｜Ｔ(ｘ)＝ｎ；ｐ)
＝1/{(n－1)Ｃ2}
よりｐの値によらないので、Ｔ(Ｘ)は十分統計量と呼べる。
これをフィッシャー・ネイマンの分解定理でも調べる
Ｐ(Ｘ＝ｘ)
＝p^3(1－p)^(n－3)
＝p^3(1－p)^(Ｔ(ｘ)－3)
より、h(x)＝1、g(T(x),p)＝p^3(1－p)^(Ｔ(ｘ)－3)と分解できるので、Ｔ(ｘ)は十分統計量と言える。
十分統計量、フィッシャー・ネイマンの分解定理について、以下の例は正しいでしょうか？
ある実験Ａの成功確率はｐとする。実験は３回成功するまで
行われる。
x_kはk回目に実験が成功したら1、実験が成功しなかったら0の値をとる。
x＝(x_1,x_2,・・・,x_n)とする。nは実験が３回目に成功した時の実験回数である。
統計量Ｔ(Ｘ)を３回目に実験が成功した時の実験回数とする。
この時、Ｔ(Ｘ)が十分統計量であることを調べる。
Ｐ(Ｘ＝ｘ｜Ｔ(ｘ)＝ｎ；ｐ)
＝1/{(n－1)Ｃ2}
よりｐの値によらないので、Ｔ(Ｘ)は十分統計量と呼べる。
これをフィッシャー・ネイマンの分解定理でも調べる
Ｐ(Ｘ＝ｘ)
＝p^3(1－p)^(n－3)
＝p^3(1－p)^(Ｔ(ｘ)－3)
より、h(x)＝1、g(T(x),p)＝p^3(1－p)^(Ｔ(ｘ)－3)と分解できるので、Ｔ(ｘ)は十分統計量と言える。
質問です
3点がそれぞれx、y、z軸上にある三角形で、三角形の周の長さが1となる三角形全体の集合はどのような図形になりますか？
点の重複や境界線などの細かな議論は不要です。
3点がそれぞれx、y、z軸上にある三角形で、三角形の周の長さが1となる三角形全体の集合はどのような図形になりますか？
点の重複や境界線などの細かな議論は不要です。
定理：
整級数 a_0 + a_1*x + a_2*x^2 + … + a_n*x^n + … に対して、つぎのような性質をもつ ρ がただ一つ定まる。
|x| < ρ である任意の x に対して、 a_0 + a_1*x + a_2*x^2 + … + a_n*x^n + … は絶対収束する。
|x| > ρ である任意の x に対して、 a_0 + a_1*x + a_2*x^2 + … + a_n*x^n + … は発散する。
系：
整級数 a_0 + a_1*x + a_2*x^2 + … + a_n*x^n + … が 0 でない収束半径をもつための必要十分条件は、
適当な正の定数 c, M を選んで、すべての n について |a_n| ≦ c*M^n が成立するようにできることである。
なぜ、これが一番上の定理の系なのでしょうか？
整級数 a_0 + a_1*x + a_2*x^2 + … + a_n*x^n + … に対して、つぎのような性質をもつ ρ がただ一つ定まる。
|x| < ρ である任意の x に対して、 a_0 + a_1*x + a_2*x^2 + … + a_n*x^n + … は絶対収束する。
|x| > ρ である任意の x に対して、 a_0 + a_1*x + a_2*x^2 + … + a_n*x^n + … は発散する。
系：
整級数 a_0 + a_1*x + a_2*x^2 + … + a_n*x^n + … が 0 でない収束半径をもつための必要十分条件は、
適当な正の定数 c, M を選んで、すべての n について |a_n| ≦ c*M^n が成立するようにできることである。
なぜ、これが一番上の定理の系なのでしょうか？
n個の未知数を完全に求めるためにはn個の独立な(同じでない)条件式が必要であるという命題は正しいですか？
この命題の名前、証明はありますか？
線形な場合なら教科書に載っていますが非線形な場合でも常に成り立っている気がします
この命題の名前、証明はありますか？
線形な場合なら教科書に載っていますが非線形な場合でも常に成り立っている気がします
前>>176
BO=r=2ぐらい？
直接BOと△ABCの交点でBでないほうをB'とすると、
△ADB'∽△BDC
DC=tとおくと、
(r+3)/2(3-t)=t/(r-3/2)
r^2=9/4+3t-t^2
B'C=(r-3/2)/(r+3/2)
BB'=2r
BC^2=4r^2-{(r-3/2)^2/(r+3/2)^2}
={4r^2(r+3/2)^2-(r-3/2)^2}/(r+3/2)^2
={4r^2(r^2+3r+9/4)-(r^2-3r+9/4}/(r+3/2)^2
=(4r^4+12r^3+8r^2+3r-9/4)/(r+3/2)^2
BO=r=2ぐらい？
直接BOと△ABCの交点でBでないほうをB'とすると、
△ADB'∽△BDC
DC=tとおくと、
(r+3)/2(3-t)=t/(r-3/2)
r^2=9/4+3t-t^2
B'C=(r-3/2)/(r+3/2)
BB'=2r
BC^2=4r^2-{(r-3/2)^2/(r+3/2)^2}
={4r^2(r+3/2)^2-(r-3/2)^2}/(r+3/2)^2
={4r^2(r^2+3r+9/4)-(r^2-3r+9/4}/(r+3/2)^2
=(4r^4+12r^3+8r^2+3r-9/4)/(r+3/2)^2
>>178
なぜってなら、定理から証明できるからだろう
整級数が収束半径r>0を持つ
⇒定理より、0<x<rとなるxに対し,整級数は絶対収束するためx=1/M(M>1/r)とすると、
|an|(1/M)^n≦Σ|a_k|(1/M)^k<c
となるc>0が存在する
⇒あるc,M>0が存在し、任意のn∈Nに対し|an|<c*M^n
整関数に対し、あるc,M>0が存在し、任意のn∈Nに対し|an|<c*M^n
⇒任意のs(0<s<1)に対し、|an|*(s/M)^n<cs^n
⇒Σ|ak|*(s/M)^k<Σcs^k=c/(1-s)となり、整級数はx=s/M>0で絶対収束する
⇒定理よりρがただ一つ定まり、0<s/M<1/M≦ρ
⇒整級数は0でない収束半径ρを持つ
冗長だろうだけれど
なぜってなら、定理から証明できるからだろう
整級数が収束半径r>0を持つ
⇒定理より、0<x<rとなるxに対し,整級数は絶対収束するためx=1/M(M>1/r)とすると、
|an|(1/M)^n≦Σ|a_k|(1/M)^k<c
となるc>0が存在する
⇒あるc,M>0が存在し、任意のn∈Nに対し|an|<c*M^n
整関数に対し、あるc,M>0が存在し、任意のn∈Nに対し|an|<c*M^n
⇒任意のs(0<s<1)に対し、|an|*(s/M)^n<cs^n
⇒Σ|ak|*(s/M)^k<Σcs^k=c/(1-s)となり、整級数はx=s/M>0で絶対収束する
⇒定理よりρがただ一つ定まり、0<s/M<1/M≦ρ
⇒整級数は0でない収束半径ρを持つ
冗長だろうだけれど
一松信さんの本には、他にも、意味不明な系があります：
2つのべき級数 f(x), g(x) の収束半径がともに ρ 以上ならば、
α*f(x) + β*g(x) の収束半径も ρ 以上である。
f(x)*g(x) の収束半径も ρ 以上である。
という定理の系として、
f(x) の収束半径が 1 以上ならば、 f(x) / (1-x) の収束半径も 1 以上であり、
f(x) / (1 - x) = Σ s_n * x^n, where s_n = a_0 + … + a_n
という命題が書いてあります。
なぜ、この命題を系として書いたのかが謎です。
2つのべき級数 f(x), g(x) の収束半径がともに ρ 以上ならば、
α*f(x) + β*g(x) の収束半径も ρ 以上である。
f(x)*g(x) の収束半径も ρ 以上である。
という定理の系として、
f(x) の収束半径が 1 以上ならば、 f(x) / (1-x) の収束半径も 1 以上であり、
f(x) / (1 - x) = Σ s_n * x^n, where s_n = a_0 + … + a_n
という命題が書いてあります。
なぜ、この命題を系として書いたのかが謎です。
将棋は本当に初めから結果が決まってるか？というゲーム理論の話で
次のように証明している人がいるんですが、本当に証明になってますか？
https://twitter.com/cobnutsinterest/status/1131158401474416640
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)
次のように証明している人がいるんですが、本当に証明になってますか？
https://twitter.com/cobnutsinterest/status/1131158401474416640
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)
>>183
何をもって重要と見なすかによるが、誰でも知ってる有名命題ではある
テキスト等に系を書く場合は、単に有用なものであるか、あるいはそれ以降のどこかでその主張を使う為であることがほとんど
何をもって重要と見なすかによるが、誰でも知ってる有名命題ではある
テキスト等に系を書く場合は、単に有用なものであるか、あるいはそれ以降のどこかでその主張を使う為であることがほとんど
> 3*40^(2*82)+1手以内で将棋は必ず終わる。
これ、正しいのか？
これ、正しいのか？
∧__∧
（´∀｀ ）
（⊃⌒*⌒⊂)
/__ノωヽ__
（´∀｀ ）
（⊃⌒*⌒⊂)
/__ノωヽ__
>>197
有限確定完全情報ゲームだから最善手をさせば先手必勝、後手必勝、必ず引き分けのいずれかであるのは間違いない。
有限確定完全情報ゲームだから最善手をさせば先手必勝、後手必勝、必ず引き分けのいずれかであるのは間違いない。
>>188
> > 3*40^(2*82)+1手以内で将棋は必ず終わる。
> これ、正しいのか？
盤面の状態数を上から考えると、1駒の状態2*82通りの40駒分の組み合わせだから、
3*(2*82)^40+1じゃないかなぁ？
> > 3*40^(2*82)+1手以内で将棋は必ず終わる。
> これ、正しいのか？
盤面の状態数を上から考えると、1駒の状態2*82通りの40駒分の組み合わせだから、
3*(2*82)^40+1じゃないかなぁ？
成るかどうかも考えるないといけないから、3*(2*82*2)^40+1か
重要なのは、どれくらいで抑えられるかではなく、有限かどうかだけだから些末なことだけど
重要なのは、どれくらいで抑えられるかではなく、有限かどうかだけだから些末なことだけど
全ての局面が3回ずつ現れるたら次は必ず千日手になるってことか
実際にはもっと少ない手数以内で決着or千日手になるはずだけどとりあえず有限であることは間違いないと
数字はどうでもいいとは言え、82ってなんで82？
駒が置かれる場所は盤面81ヶ所駒台2ヶ所の計83ヶ所なんじゃ？
実際にはもっと少ない手数以内で決着or千日手になるはずだけどとりあえず有限であることは間違いないと
数字はどうでもいいとは言え、82ってなんで82？
駒が置かれる場所は盤面81ヶ所駒台2ヶ所の計83ヶ所なんじゃ？
>>181
179です
陰関数定理と179の主張が全然つながってるように感じないんですが
そんな難しい事を聞いてるわけじゃないです
例えば
未知定数a、bがあり
a^2+b^2=25
a=3
という二つの条件式があれば2つの未知定数aとbは完全に決定できます
同様に自分の今までの経験則から命題
「線形・非線形にかかわらず条件式と未知数の数が一致すれば全ての未知数を決定できる」
が成り立つと思っています
この命題の真偽を知りたいです
179です
陰関数定理と179の主張が全然つながってるように感じないんですが
そんな難しい事を聞いてるわけじゃないです
例えば
未知定数a、bがあり
a^2+b^2=25
a=3
という二つの条件式があれば2つの未知定数aとbは完全に決定できます
同様に自分の今までの経験則から命題
「線形・非線形にかかわらず条件式と未知数の数が一致すれば全ての未知数を決定できる」
が成り立つと思っています
この命題の真偽を知りたいです
>>193
盤面81ヶ所は先手と後手のどちらの駒かで81*2通り
駒台も先手と後手どちらの駒台かで2通り
合わせて81*2+2=82*2ということかと
盤面81ヶ所は先手と後手のどちらの駒かで81*2通り
駒台も先手と後手どちらの駒台かで2通り
合わせて81*2+2=82*2ということかと
反例
z=x^2+y^2
z=0
の解は、{(0,0,0)}
z=x^2+y^2
z=0
の解は、{(0,0,0)}
将棋の実現可能局面数は10^68くらいで
トランプ５２枚の順列の数（52！）や無量大数（10^68）と同じくらい
http://www.nara-wu.ac.jp/math/personal/shinoda/legal.pdf
トランプ５２枚の順列の数（52！）や無量大数（10^68）と同じくらい
http://www.nara-wu.ac.jp/math/personal/shinoda/legal.pdf
>>195
なるほどそこだけ配慮してるのか
同じ駒がある、歩・香車・桂馬は置けない位置がある、王将・玉将・金及び駒台の駒は成らない、二歩はダメなどなどあるから実際はもっとずっと少ないんだな
なるほどそこだけ配慮してるのか
同じ駒がある、歩・香車・桂馬は置けない位置がある、王将・玉将・金及び駒台の駒は成らない、二歩はダメなどなどあるから実際はもっとずっと少ないんだな
帰納法の部分は特に問題ないんですかね
帰納法ってよくドミノ倒しに例えられますけど、>>186は僕の感覚だとドミノが枝分かれしてる気がしたんです。
つまり、p(k)の盤面を必勝と仮定しても、p(k－1)の盤面ではp(k)の盤面になる手を指すとは限らないから、
それだとp(k)を仮定したことと繋がらない…？無視できる？って混乱中です
帰納法ってよくドミノ倒しに例えられますけど、>>186は僕の感覚だとドミノが枝分かれしてる気がしたんです。
つまり、p(k)の盤面を必勝と仮定しても、p(k－1)の盤面ではp(k)の盤面になる手を指すとは限らないから、
それだとp(k)を仮定したことと繋がらない…？無視できる？って混乱中です
ああでも結論自体は疑ってないんで申告しときます
>>194
「決定」の意味は？
その例だと(a,b)=(3,4),(3,-4)が解だが、解は複数でもいいのか？有限個まで許す？
sin(x)=0は解が無数に存在するが、この場合でも決定されたと考えるの？
無限個でも良いなら意味のない主張になると思うが
体と、条件式として許す関数環の選択は何を取るのか？
「決定」の意味は？
その例だと(a,b)=(3,4),(3,-4)が解だが、解は複数でもいいのか？有限個まで許す？
sin(x)=0は解が無数に存在するが、この場合でも決定されたと考えるの？
無限個でも良いなら意味のない主張になると思うが
体と、条件式として許す関数環の選択は何を取るのか？
>>199
p(k)はk手まで指したときに現れる全ての盤面を集めた集合
なので、p(k-1)から１つ盤面を選ぶとき、その盤面からもう一手指すことで得られる全ての盤面はp(k)に含まれている
だから問題ないと思います
p(k)はk手まで指したときに現れる全ての盤面を集めた集合
なので、p(k-1)から１つ盤面を選ぶとき、その盤面からもう一手指すことで得られる全ての盤面はp(k)に含まれている
だから問題ないと思います
元ツイートを適当に読んでたんで、念のため読み返したらP(k)の定義が違った
>>202はそのままだと変なので適当に読み替えてください
>>202はそのままだと変なので適当に読み替えてください
はい、集合とも考えました
ただそうすると「もし最善なら…」ていう条件が意味あるのかなと。
p(k)が最善の盤面でなければ、あるl＜k以下で、"必敗側に必勝手が存在してしまう矛盾"があるはずです。
それでそもそもこの議論のテーマというのは、「そのp(k)の盤面の中に"必敗側に必勝手が存在してしまう矛盾なく初手まで戻せるような図"が存在するか？」
だと思ったんですがそうではないのですか。
ただそうすると「もし最善なら…」ていう条件が意味あるのかなと。
p(k)が最善の盤面でなければ、あるl＜k以下で、"必敗側に必勝手が存在してしまう矛盾"があるはずです。
それでそもそもこの議論のテーマというのは、「そのp(k)の盤面の中に"必敗側に必勝手が存在してしまう矛盾なく初手まで戻せるような図"が存在するか？」
だと思ったんですがそうではないのですか。
>>204
元ツイート見返したけど「最善の盤面」って考え方は出てないと思う
ある盤面における最善手の定義は
「必勝盤面になる手。それが無い場合は必引き分け盤面になる手。それもない場合は(必敗盤面になる手しかないので)どれでもよい」
そして、最善手の種類によって帰納的に盤面の種類を確定させていく、と考えている(ツイートでいう必◯◯(iii)を用いている)
なので
「必敗盤面において必勝手(=必勝盤面に移行する手)が存在する」
ということは起こり得ない
もしそのような手が存在するなら、その盤面はもともと必勝盤面と判別されているから
元ツイート見返したけど「最善の盤面」って考え方は出てないと思う
ある盤面における最善手の定義は
「必勝盤面になる手。それが無い場合は必引き分け盤面になる手。それもない場合は(必敗盤面になる手しかないので)どれでもよい」
そして、最善手の種類によって帰納的に盤面の種類を確定させていく、と考えている(ツイートでいう必◯◯(iii)を用いている)
なので
「必敗盤面において必勝手(=必勝盤面に移行する手)が存在する」
ということは起こり得ない
もしそのような手が存在するなら、その盤面はもともと必勝盤面と判別されているから
>>199
局面p(k)が後手手番で先手必勝と仮定すると、
先手手番のp(k-1)はp(k)を含めた先手必勝になる局面になるよう打てばいいからp(k-1)は先手必勝になる
p(k)が先手手番で先手必勝と仮定すると、
後手手番のp(k-1)は、
p(k)を含めたすべての次の局面が先手必勝になるならばp(k-1)は先手必勝になり、
p(k)以外の手に引き分けがあり、先手必敗がなく、すべての次の局面が先手必勝か引き分けならばp(k-1)は引き分けになり、
p(k)以外の手に先手必敗がありすべての次の局面が先手必勝、引き分け、先手必敗ならばp(k-1)は先手必敗になる
問題は、p(k-1)に対応する次の局面の集合(p(k)を含む）がすべて先手必勝、引き分け、先手必敗に割り当てられるかだけれど、
ここで、局面の無限ループが存在せず、どんな局面もどんな手でも有限手で終局になる、ということが効いてくる
これにより、p(k-1)から終局までに現れるすべての局面に先手必勝、引き分け、先手必敗を割り当てることができて、p(k-1)も割り当てることができる
局面p(k)が後手手番で先手必勝と仮定すると、
先手手番のp(k-1)はp(k)を含めた先手必勝になる局面になるよう打てばいいからp(k-1)は先手必勝になる
p(k)が先手手番で先手必勝と仮定すると、
後手手番のp(k-1)は、
p(k)を含めたすべての次の局面が先手必勝になるならばp(k-1)は先手必勝になり、
p(k)以外の手に引き分けがあり、先手必敗がなく、すべての次の局面が先手必勝か引き分けならばp(k-1)は引き分けになり、
p(k)以外の手に先手必敗がありすべての次の局面が先手必勝、引き分け、先手必敗ならばp(k-1)は先手必敗になる
問題は、p(k-1)に対応する次の局面の集合(p(k)を含む）がすべて先手必勝、引き分け、先手必敗に割り当てられるかだけれど、
ここで、局面の無限ループが存在せず、どんな局面もどんな手でも有限手で終局になる、ということが効いてくる
これにより、p(k-1)から終局までに現れるすべての局面に先手必勝、引き分け、先手必敗を割り当てることができて、p(k-1)も割り当てることができる
>>157
円Kの周上に相異なる３点A,B,Cがあるとする。円Kの半径をｒとする。
O (0, 0)
A (r･cosα, r･sinα)
B (r･cosβ, r･sinβ)
C (r･cosγ, r･sinγ)
D ((3/2)cosβ, (3/2)sinβ)
題意より
2r･sin((β-α)/2) = AB = 1,
2r･sin((γ-α)/2) = AC = 3,
2r･sin((γ-β)/2) = BC,
また
OB: y = (tanβ)x,
α=0 とすると
AC: y = (r-x)/tan(γ/2),
交点Dはこの両式を満足する。
∴ cos(γ/2-β) = 1/tan(γ/2),
r = 2.06707551803854068
{r^6 - 3r^5 + (33/4)r^3 - (117/16)r^2 - (27/8)r + (9/16) = 0 の正根}
sin(β/2) = 1 / 2r = 0.241887630924318018
cosβ = 0.882980748011641818
sinβ = 0.469409201700181301
β = 0.48862156358647885663
sin(γ/2) = 3 / 2r = 0.725662892772954
tan(γ/2) = 1.054665301733036072
1/tan(γ/2) = 0.948168104475221164
γ = 1.62399468360912675
BC = 2.222862396800842775
円Kの周上に相異なる３点A,B,Cがあるとする。円Kの半径をｒとする。
O (0, 0)
A (r･cosα, r･sinα)
B (r･cosβ, r･sinβ)
C (r･cosγ, r･sinγ)
D ((3/2)cosβ, (3/2)sinβ)
題意より
2r･sin((β-α)/2) = AB = 1,
2r･sin((γ-α)/2) = AC = 3,
2r･sin((γ-β)/2) = BC,
また
OB: y = (tanβ)x,
α=0 とすると
AC: y = (r-x)/tan(γ/2),
交点Dはこの両式を満足する。
∴ cos(γ/2-β) = 1/tan(γ/2),
r = 2.06707551803854068
{r^6 - 3r^5 + (33/4)r^3 - (117/16)r^2 - (27/8)r + (9/16) = 0 の正根}
sin(β/2) = 1 / 2r = 0.241887630924318018
cosβ = 0.882980748011641818
sinβ = 0.469409201700181301
β = 0.48862156358647885663
sin(γ/2) = 3 / 2r = 0.725662892772954
tan(γ/2) = 1.054665301733036072
1/tan(γ/2) = 0.948168104475221164
γ = 1.62399468360912675
BC = 2.222862396800842775
前>>185
>>157
△ABCの外接円の半径をrとし、直線BOと外接円の交点のうちBでないほうをB'とすると、
BD=r+3/2
DB'=r-3/2
△ABD∽△CB'D(∵2角が等しい)より、
BD=2rかつAC=3に注意しつつACをDで分割すると、
BD:B'D=AD:CD
(r+3/2):(r-3/2)
=(3/2r)(r+3/2):(3/2r)(r-3/2)
AD=(3/2r)(r+3/2)
=(6r+9)/4r
CD=(3/2r)(r-3/2)
=(6r-9)/4r
ピタゴラスの定理より、
AB'=√(BB'^2-AB^2)
=√(4r^2-1)
△AB'D∽△BCD(∵2角が等しい)より、
AB':BC=AD:BD=B'D:CD
{(6r+9)/4r}:(r+3/2)
=(r-3/2):{(6r-9)/4r}
(r+3/2)(r-3/2)={(6r+9)/4r}{(6r-9)/4r}
r^2-9/4=(36r^2-81)/16r^216r^4-36r^2=36r^2-81
16r^4-72r^2+81=0
(4r^2-9)^2=0
4r^2-9=0
r=3/2
(D、B'、Cが一致するのはおかしいけど無視)
BC=AB'(BD/AD)
=√(4r^2-1)･(r+3/2)4r/(6r+9)
=√(4･9/4-1)･(3/2+3/2)4(3/2){6(3/2)+9}
=√8･3･4(3/2)/(9+9)
=2√2･(18/18)
=2√2
>>157
△ABCの外接円の半径をrとし、直線BOと外接円の交点のうちBでないほうをB'とすると、
BD=r+3/2
DB'=r-3/2
△ABD∽△CB'D(∵2角が等しい)より、
BD=2rかつAC=3に注意しつつACをDで分割すると、
BD:B'D=AD:CD
(r+3/2):(r-3/2)
=(3/2r)(r+3/2):(3/2r)(r-3/2)
AD=(3/2r)(r+3/2)
=(6r+9)/4r
CD=(3/2r)(r-3/2)
=(6r-9)/4r
ピタゴラスの定理より、
AB'=√(BB'^2-AB^2)
=√(4r^2-1)
△AB'D∽△BCD(∵2角が等しい)より、
AB':BC=AD:BD=B'D:CD
{(6r+9)/4r}:(r+3/2)
=(r-3/2):{(6r-9)/4r}
(r+3/2)(r-3/2)={(6r+9)/4r}{(6r-9)/4r}
r^2-9/4=(36r^2-81)/16r^216r^4-36r^2=36r^2-81
16r^4-72r^2+81=0
(4r^2-9)^2=0
4r^2-9=0
r=3/2
(D、B'、Cが一致するのはおかしいけど無視)
BC=AB'(BD/AD)
=√(4r^2-1)･(r+3/2)4r/(6r+9)
=√(4･9/4-1)･(3/2+3/2)4(3/2){6(3/2)+9}
=√8･3･4(3/2)/(9+9)
=2√2･(18/18)
=2√2
千日手をググったらwikiに面白いことが書かれていた
> 以前は「同一局面に戻る同一手順を連続3回」というルールであったが、同一局面に戻る手順が複数ある場合、このルールでは無限に指し手を続けることが可能
手順が2通り（AとBとする）の場合、ABとすれば回避出来ると思ってABABABABABとやってしまうとやっぱり千日手になる
千日手にならないようにするにはどのようにしていけば良いか
（wikiの注釈に一例が載っている）
> 以前は「同一局面に戻る同一手順を連続3回」というルールであったが、同一局面に戻る手順が複数ある場合、このルールでは無限に指し手を続けることが可能
手順が2通り（AとBとする）の場合、ABとすれば回避出来ると思ってABABABABABとやってしまうとやっぱり千日手になる
千日手にならないようにするにはどのようにしていけば良いか
（wikiの注釈に一例が載っている）
>>206
僕はその考え方だと、最終結果が先勝後勝引分になることのみ示しているにすぎず、
はじめからどれかに決まってることまは示してない？（終局まで繋がってるかはわからない）ってチラついたんですが大丈夫そうですね
あるいはそもそも有限確定情報ゲームを仮定したときは、結果を調べ尽くして双方が最適戦略を選択できることを自明とするのか（確かに直感的には自明ですが）
てっきりゲーム理論勉強してマックスミニとかナッシュ均衡やら使わないと証明無理だと思ってたんで意外でした。
僕はその考え方だと、最終結果が先勝後勝引分になることのみ示しているにすぎず、
はじめからどれかに決まってることまは示してない？（終局まで繋がってるかはわからない）ってチラついたんですが大丈夫そうですね
あるいはそもそも有限確定情報ゲームを仮定したときは、結果を調べ尽くして双方が最適戦略を選択できることを自明とするのか（確かに直感的には自明ですが）
てっきりゲーム理論勉強してマックスミニとかナッシュ均衡やら使わないと証明無理だと思ってたんで意外でした。
f(x) := Σ a_n * x^n の収束半径を ρ > 0 とする。
Σ a_n * x^n の N 項までの部分和を f_N(x) とする。
α を 0 < α < ρ であるような実数とする。
[-α, α] で定義された関数 f(x) - f_N(x) を考える。
max |f(x) - f_N(x)| → 0 （N → ∞） を示せ。
Σ a_n * x^n の N 項までの部分和を f_N(x) とする。
α を 0 < α < ρ であるような実数とする。
[-α, α] で定義された関数 f(x) - f_N(x) を考える。
max |f(x) - f_N(x)| → 0 （N → ∞） を示せ。
質問です。
3頂点がそれぞれx、y、z軸上にある三角形で周の長さが1のもの全体の集合はどのような立体になりますか？
方針でも良いのでアドバイス欲しいです。
3頂点がそれぞれx、y、z軸上にある三角形で周の長さが1のもの全体の集合はどのような立体になりますか？
方針でも良いのでアドバイス欲しいです。
Thurston の視覚的才能
Thurston というPrinceton の教授になってる人が居るんだけど，
彼について RaoulBott が Michigan 大学に居た頃，彼の入学のテストに関して．
Thurston を合格させるか，させないか，色々と議論になったらしい．
それは，問題を出しても，彼は絵ばかり描いているって言うんだ．
式を全然書かないから本当に分かっているのか，分かっていないのか，分からないって．
彼は視覚的な独特の才能を持ってるんですね．だから，それはそれで良いんです．
それで Princeton 大学の教授にもなった．そういう人も居る訳です
Thurston というPrinceton の教授になってる人が居るんだけど，
彼について RaoulBott が Michigan 大学に居た頃，彼の入学のテストに関して．
Thurston を合格させるか，させないか，色々と議論になったらしい．
それは，問題を出しても，彼は絵ばかり描いているって言うんだ．
式を全然書かないから本当に分かっているのか，分かっていないのか，分からないって．
彼は視覚的な独特の才能を持ってるんですね．だから，それはそれで良いんです．
それで Princeton 大学の教授にもなった．そういう人も居る訳です
>>215
2つの辺長しか動かせないから2次元、立体にならん
1つの辺長は0～1/2の範囲
対応する頂点は辺の端点の垂直線に挟まる範囲で切り取られた楕円周上
2つの辺長しか動かせないから2次元、立体にならん
1つの辺長は0～1/2の範囲
対応する頂点は辺の端点の垂直線に挟まる範囲で切り取られた楕円周上
誰か>>88について教えてくれ
要するに100万×0.9=90万 90万×0.9=81万 81万×0.9=72.9万…これを計算し続けてすべてを足していくと最終的に1000万になるとのこと（この説明はわかる）
しかしこれを100万÷0.1の計算だけで導き出せるっていう理屈がわからん
小学生みたいな割り算の感覚しかないから理解できない（100万個の物を0.1ずつ分けたら何人に分けられるか？みたいな感覚しかない）
だれか助けてくれ
要するに100万×0.9=90万 90万×0.9=81万 81万×0.9=72.9万…これを計算し続けてすべてを足していくと最終的に1000万になるとのこと（この説明はわかる）
しかしこれを100万÷0.1の計算だけで導き出せるっていう理屈がわからん
小学生みたいな割り算の感覚しかないから理解できない（100万個の物を0.1ずつ分けたら何人に分けられるか？みたいな感覚しかない）
だれか助けてくれ
>>218
S-nS法 で検索
高校数学の理系で習う
元の式と、全体に公比0.9をかけた式を
用意してから、全体を引き算すればよい
100＋90＋81＋72.9＋…＝S
90＋81＋72.9＋…＝0.9S
上から下を引くと
100＝S－0.9S＝0.1S
求めるSの値は
S＝100/(1－0.9)＝100/0.1＝100×10
S＝1000
S-nS法 で検索
高校数学の理系で習う
元の式と、全体に公比0.9をかけた式を
用意してから、全体を引き算すればよい
100＋90＋81＋72.9＋…＝S
90＋81＋72.9＋…＝0.9S
上から下を引くと
100＝S－0.9S＝0.1S
求めるSの値は
S＝100/(1－0.9)＝100/0.1＝100×10
S＝1000
>>218
これはどう？
因数分解
1-x^n=(1-x)(1+x+x^2+...+x^(n-1))
から
(1-x^n)/(1-x)=1+x+x^2+...+x^(n-1)
|x|<1、n→∞の時
1/(1-x)=1+x+x^2+...+x^n+x^(n+1)+...
> 要するに100万×0.9=90万 90万×0.9=81万 81万×0.9=72.9万…これを計算し続けてすべてを足していくと最終的に1000万になるとのこと（この説明はわかる）
これに当てはめるなら
1,000,000/(1-0.9)=1,000,000*(1+0.9+0.9^2+...)
これはどう？
因数分解
1-x^n=(1-x)(1+x+x^2+...+x^(n-1))
から
(1-x^n)/(1-x)=1+x+x^2+...+x^(n-1)
|x|<1、n→∞の時
1/(1-x)=1+x+x^2+...+x^n+x^(n+1)+...
> 要するに100万×0.9=90万 90万×0.9=81万 81万×0.9=72.9万…これを計算し続けてすべてを足していくと最終的に1000万になるとのこと（この説明はわかる）
これに当てはめるなら
1,000,000/(1-0.9)=1,000,000*(1+0.9+0.9^2+...)
√(x^2+y^2)+√(y^2+z^2)+√(z^2+x^2) = 1
z=t(0≤t<1)
z=t(0≤t<1)
最後のThe Flawed Proofがg(x)が部分的定数関数となるとき成り立たないのは分かるのですが、その上に3ページにわたって書いてある証明もそのポイントをクリアできていないように思います
というのもk=(g'(x)+v)hなわけですが、これがそもそもの問題となっているg(x+h)-g(x)なのであって、g(x)が定数となっている部分についてはやはりhをどう小さくしてもk=0となってしまうため、kでの除算を含むwは定義できないことになってしまうからです
これについてどうなのでしょうか？他の英サイトの証明もこうしているので有名な手法なので恐らく合っているのでしょうが、それなら私の何が違うのでしょうか
というのもk=(g'(x)+v)hなわけですが、これがそもそもの問題となっているg(x+h)-g(x)なのであって、g(x)が定数となっている部分についてはやはりhをどう小さくしてもk=0となってしまうため、kでの除算を含むwは定義できないことになってしまうからです
これについてどうなのでしょうか？他の英サイトの証明もこうしているので有名な手法なので恐らく合っているのでしょうが、それなら私の何が違うのでしょうか
なんというか、画像を参照する気が全く起きない本文
うぶな事じゃなくて
やぼな事でもなくて
ボラぼらな事でもなくて、サバな事って何？
やぼな事でもなくて
ボラぼらな事でもなくて、サバな事って何？
ドモアブルの定理の問題解いてるんですが
1 + cosθ + cos2θ････cos nθ と
cos n/2θ sin n+1/2θ / sinθ/2が一致するので証明完了と書いてあります
どこも一致してないように見えますが、この二つは何故一致していると言えるのでしょうか？
1 + cosθ + cos2θ････cos nθ と
cos n/2θ sin n+1/2θ / sinθ/2が一致するので証明完了と書いてあります
どこも一致してないように見えますが、この二つは何故一致していると言えるのでしょうか？
前>>214
2sinθ(24-19cosθ-24cos^2θ)=-25+24cosθ+50cos^2θ-48cos^3θ
2sinθ(24-19cosθ-24cos^2θ)=-25+24cosθ+50cos^2θ-48cos^3θ
>>219
0.1っていう数字が出てくる理由はその説明で理解できた気がする
でもアホな話だけど100を0.1で割るっていう意味がわからんわ
どうしても100の中に0.1がいくつのあるのか？っていう思考しかできない（この場合1000）
でも90+81+72.9+…って続けても0.1が1000回登場するわけじゃないでしょ
幼稚な質問で申し訳ないが
0.1っていう数字が出てくる理由はその説明で理解できた気がする
でもアホな話だけど100を0.1で割るっていう意味がわからんわ
どうしても100の中に0.1がいくつのあるのか？っていう思考しかできない（この場合1000）
でも90+81+72.9+…って続けても0.1が1000回登場するわけじゃないでしょ
幼稚な質問で申し訳ないが
>>226
式見づらい、括弧使え
とりあえずΣcoskθsin(θ/2)を計算してみたらいいと思うよ
式見づらい、括弧使え
とりあえずΣcoskθsin(θ/2)を計算してみたらいいと思うよ
平面上に△ABCと点Pがあり、PはPA+PB+PCを最小にする点である。
△ABCの周長をLとするとき、L/2とPA+PB+PCの大小を比較せよ。
△ABCの周長をLとするとき、L/2とPA+PB+PCの大小を比較せよ。
この問題教えて下さい
1必要
2必要でも十分でもない
3必要十分
だと思うんですが合ってる自信ないです
1必要
2必要でも十分でもない
3必要十分
だと思うんですが合ってる自信ないです
合ってるんぢゃね？
題意は、辺長が2の立方体の8頂点。
(1)は、各面を無限に広げた6平面の合併。
(2)は、(0,0,0)や(2,2,2)に接しない6稜を無限に延長した6直線の合併。
(3)は、題意と同じ。
題意は、辺長が2の立方体の8頂点。
(1)は、各面を無限に広げた6平面の合併。
(2)は、(0,0,0)や(2,2,2)に接しない6稜を無限に延長した6直線の合併。
(3)は、題意と同じ。
>>231
∠A ≧ 120ﾟ のとき、P=A
PA ＋ PB + PC = AB + AC,
L/2 = (AB+BC+CA)/2 < AB + AC, (△不等式)
⊿ABC が120ﾟ以上の頂点を持たないとき、Pはフェルマー点。
PA + PB + PC = x + y + z,
∠APB = ∠BPC = ∠CPA = 120ﾟ だから
AB = √(xx+xy+yy) < x + y,
BC = √(yy+yz+zz) < y + z,
CA = √(zz+zx+xx) < z + x,
L/2 = (AB+BC+CA)/2 < x+y+z,
∠A ≧ 120ﾟ のとき、P=A
PA ＋ PB + PC = AB + AC,
L/2 = (AB+BC+CA)/2 < AB + AC, (△不等式)
⊿ABC が120ﾟ以上の頂点を持たないとき、Pはフェルマー点。
PA + PB + PC = x + y + z,
∠APB = ∠BPC = ∠CPA = 120ﾟ だから
AB = √(xx+xy+yy) < x + y,
BC = √(yy+yz+zz) < y + z,
CA = √(zz+zx+xx) < z + x,
L/2 = (AB+BC+CA)/2 < x+y+z,
合成関数の微分の証明についてさらに質問なのですが
実数全体で微分可能な実関数f(x), g(x)をとってf(g(x))の微分を考える
ときに、
g(x)が「xを含む正の長さをもつ区間で常に一定値となる」ようなことのない場合g(x+h)-g(x)はhを十分小さくとれば0になることはないから教科書などによく載っている間違った証明でも足りる
xを含む正の長さをもつ区間で一定値となるとき、
その区間の端がxでない場合はhを小さくとればg(x)はつねに一定で、つまり微分は0
端がxである場合は両側微分を考えて0
つまり常にdf(g(x))/dx=f'(g(x))g'(x)
と考えたのですが、この証明(？)はg(x)=(x^2)sin(1/x) (g(0)=0とすれば微分可能)
のときにもあてはまるのでしょうか？
f(g(x))のx=0での微分係数を考えると、g(x)は原点付近で無限回振動するのでどのような原点を含む小さい区間をとってもその区間の内側にg(0+h)-g(0)=0、つまりg(h)=0なるhがあるわけです
実数全体で微分可能な実関数f(x), g(x)をとってf(g(x))の微分を考える
ときに、
g(x)が「xを含む正の長さをもつ区間で常に一定値となる」ようなことのない場合g(x+h)-g(x)はhを十分小さくとれば0になることはないから教科書などによく載っている間違った証明でも足りる
xを含む正の長さをもつ区間で一定値となるとき、
その区間の端がxでない場合はhを小さくとればg(x)はつねに一定で、つまり微分は0
端がxである場合は両側微分を考えて0
つまり常にdf(g(x))/dx=f'(g(x))g'(x)
と考えたのですが、この証明(？)はg(x)=(x^2)sin(1/x) (g(0)=0とすれば微分可能)
のときにもあてはまるのでしょうか？
f(g(x))のx=0での微分係数を考えると、g(x)は原点付近で無限回振動するのでどのような原点を含む小さい区間をとってもその区間の内側にg(0+h)-g(0)=0、つまりg(h)=0なるhがあるわけです
全実数xに対し、どのような正の実数εを持ってきてもsup|f(x)-x|<εかつsup|f'(x)-1|<εが成立するC1級同相写像の例を教えてください。
>>237
計算するとそうなるというに過ぎない
変形したあとの数式には必ずしも意味を見つけられるとは限らない
二次方程式の解の公式とか計算していったらその形になったとしかいいようがないだろ？
計算するとそうなるというに過ぎない
変形したあとの数式には必ずしも意味を見つけられるとは限らない
二次方程式の解の公式とか計算していったらその形になったとしかいいようがないだろ？
>>244
はい。間違いでした。
「必要でも十分でもない」を示すには
一方のみで成立する条件と
他方のみで成立する条件をそれぞれ示せば良い
今回の(2)の場合
x=y=z=0 と x=0,y=1,z=2 がそれにあたる
はい。間違いでした。
「必要でも十分でもない」を示すには
一方のみで成立する条件と
他方のみで成立する条件をそれぞれ示せば良い
今回の(2)の場合
x=y=z=0 と x=0,y=1,z=2 がそれにあたる
>>237
1を10等分すれば0.1になるやんか
別にそのままの理解で充分だろ
数字に惑わされて自分の理解を使えないだけだから
自信を持てばいいのさ
1を10等分すれば0.1になるやんか
別にそのままの理解で充分だろ
数字に惑わされて自分の理解を使えないだけだから
自信を持てばいいのさ
算数案件は数学板から外すべき
算数案件はともかく、超算数案件はな・・・
>>247
いったい何で詰まっているのか
100万÷0.1で求めたいものなんて
「0.1を何倍したら100万になるか」
さもなくば
「何を0.1倍したら100万になるか」
のどちらかしかないだろう
いったい何で詰まっているのか
100万÷0.1で求めたいものなんて
「0.1を何倍したら100万になるか」
さもなくば
「何を0.1倍したら100万になるか」
のどちらかしかないだろう
このスレに合わないと思うなら小中学スレに誘導すればいいだろう
難関私立の算数のようなものならともかく、ただの計算は、、、
>>250
数学板で幼稚な内容の話して申し訳ない
でも最後にもう一度だけ整理して質問したい
俺がわからんのは銀行の信用創造の計算
銀行の信用創造ってのは預金の一部を残してそれ以外を貸し出すっていう仕組み
例えばA銀行が預金の10%分を残してそれ以外をa会社に貸し出し、a会社はb会社への支払いにその金を使う。
そうすると今度はb会社がその金をB銀行に預金しB銀行はまたその一部（10%）を残してそれ以外を貸し出す…ってのを繰り返すと銀行全体の預金は増えていくっていうことらしい
それが100万（最初の預金）+100万×0.9=90万、90万×0.9=81万 81万×0.9=72.9…
0.9を掛け続けて出た値（90+81+72.9+…+最初の100）をすべて足し合わせたら1000万
最初の預金100万は最大900万増えて全体で1000万になるとのこと
でも教科書によればこんな計算はする必要はなく、100万÷0.1（一部残した金の率）＝1000万でいいとのこと
足していったら最終的に1000万だというのはわかるけど、100万を10%（貸さなかった一部）で割ったら全体の預金は1000万だと言われても理解できない
数学板で幼稚な内容の話して申し訳ない
でも最後にもう一度だけ整理して質問したい
俺がわからんのは銀行の信用創造の計算
銀行の信用創造ってのは預金の一部を残してそれ以外を貸し出すっていう仕組み
例えばA銀行が預金の10%分を残してそれ以外をa会社に貸し出し、a会社はb会社への支払いにその金を使う。
そうすると今度はb会社がその金をB銀行に預金しB銀行はまたその一部（10%）を残してそれ以外を貸し出す…ってのを繰り返すと銀行全体の預金は増えていくっていうことらしい
それが100万（最初の預金）+100万×0.9=90万、90万×0.9=81万 81万×0.9=72.9…
0.9を掛け続けて出た値（90+81+72.9+…+最初の100）をすべて足し合わせたら1000万
最初の預金100万は最大900万増えて全体で1000万になるとのこと
でも教科書によればこんな計算はする必要はなく、100万÷0.1（一部残した金の率）＝1000万でいいとのこと
足していったら最終的に1000万だというのはわかるけど、100万を10%（貸さなかった一部）で割ったら全体の預金は1000万だと言われても理解できない
>>253
数学のできない人の特徴として意味を考えるというのがありますね
式に意味はないんですよ
そういう公式があるわけです
その公式の出し方は教えることができても、その式自体の持つ意味やイメージといったものは教えることができません
あなた自身が自分の中で納得するべきものです
整数の足し算はリンゴを合わせていくイメージ
少数の足し算は紐の長さを足していくイメージ
どっちが本当のイメージかなんて意味ないですよね
数学のできない人の特徴として意味を考えるというのがありますね
式に意味はないんですよ
そういう公式があるわけです
その公式の出し方は教えることができても、その式自体の持つ意味やイメージといったものは教えることができません
あなた自身が自分の中で納得するべきものです
整数の足し算はリンゴを合わせていくイメージ
少数の足し算は紐の長さを足していくイメージ
どっちが本当のイメージかなんて意味ないですよね
そういったものを考えるからわからないのではなくて、単に言い訳を垂れているだけですね
要は、できない言い訳を考えることに全力を費やしているわけです
要は、できない言い訳を考えることに全力を費やしているわけです
違いますよ？
わからない人は考えすぎです
少し数学ができる人は何も考えないのでできるのです
本当に数学ができる人は、そこら辺の価値判断を取捨選択できるのです
わからない人は考えすぎです
少し数学ができる人は何も考えないのでできるのです
本当に数学ができる人は、そこら辺の価値判断を取捨選択できるのです
1+2+3+4+…が1÷(-12)だって言われたんだけど
なぜ-12で割るのかわかりません
なぜ-12で割るのかわかりません
応用が効く割り算の意味って…。
そもそも割り算自体が本来は簡単に使っちゃいけないというか…。積と逆算の関係である事の導入として小学生にわかりやすく教えてるだけであって…
応用かぁ………
そもそも割り算自体が本来は簡単に使っちゃいけないというか…。積と逆算の関係である事の導入として小学生にわかりやすく教えてるだけであって…
応用かぁ………
>>253
意味を無理矢理考えてみたよ
その仕組みの場合、一部というのは0％より大きく100％より小さいから、数字でいえば0より大きく1より小さいということになる
10％の例でいえば1/10
1/10を残すので9/10を貸しだす
ここで最初の預金の100万円の10倍である1000万円を用意する（この10倍の10というのは1/10の10 ※）
この1000万円から預金する額を除いていくことを考えることにする
最初は100万円だが当然これは1000万円の1/10で、これを除くと900万円となる
次の90万円は900万円の1/10で、これを除くと810万円
次の81万円は810万円の1/10で、これを除くと72.9万円
……
常に残りの1/10を除いていくことになり、残りはどんどん0円に近づいていく
つまり、預金の和は最初の預金の10倍である1000万円にどんどん近づいていくことになる
これを一般化すると20％=1/5なら5倍だし、30％=1/3.3333……なら3.3333……倍すれば良いことがわかる
意味を無理矢理考えてみたよ
その仕組みの場合、一部というのは0％より大きく100％より小さいから、数字でいえば0より大きく1より小さいということになる
10％の例でいえば1/10
1/10を残すので9/10を貸しだす
ここで最初の預金の100万円の10倍である1000万円を用意する（この10倍の10というのは1/10の10 ※）
この1000万円から預金する額を除いていくことを考えることにする
最初は100万円だが当然これは1000万円の1/10で、これを除くと900万円となる
次の90万円は900万円の1/10で、これを除くと810万円
次の81万円は810万円の1/10で、これを除くと72.9万円
……
常に残りの1/10を除いていくことになり、残りはどんどん0円に近づいていく
つまり、預金の和は最初の預金の10倍である1000万円にどんどん近づいていくことになる
これを一般化すると20％=1/5なら5倍だし、30％=1/3.3333……なら3.3333……倍すれば良いことがわかる
72.9万円のところは729万円の誤り
一般的にその計算で良いことはどこかで説明がされていると思うんだがなあ
一般的にその計算で良いことはどこかで説明がされていると思うんだがなあ
無限等比級数：
a+ar+ar2+⋯a+ar+ar2+⋯
は −1＜r＜1 のとき収束し，
その値は a÷(1−r ）になる
a＝100万、r＝0.9
100万÷0.1
a+ar+ar2+⋯a+ar+ar2+⋯
は −1＜r＜1 のとき収束し，
その値は a÷(1−r ）になる
a＝100万、r＝0.9
100万÷0.1
pを素数、整数Z上の1変数多項式環をA=Z[t]とする
整数n,k＞0としてp^n-1次の多項式ν=1+t+…+t^(p^n-1)∈A、I=(p^k,ν)をAのイデアルとする
このときA加群A/Iの長さを求めよ、という問題が分かりません
出典は雪江「代数学2」のp156で、答えではZ加群としてAが(Z/p^kZ)^(p^n-1)と同型なので長さk(p^n-1)となっていますが
Z加群としての長さとA加群としての長さが一致する保証はどこにあるのでしょうか？
よろしくお願いします
整数n,k＞0としてp^n-1次の多項式ν=1+t+…+t^(p^n-1)∈A、I=(p^k,ν)をAのイデアルとする
このときA加群A/Iの長さを求めよ、という問題が分かりません
出典は雪江「代数学2」のp156で、答えではZ加群としてAが(Z/p^kZ)^(p^n-1)と同型なので長さk(p^n-1)となっていますが
Z加群としての長さとA加群としての長さが一致する保証はどこにあるのでしょうか？
よろしくお願いします
わからないんですね
こうなるのはなぜですか？
導出を教えてください
高校生です
導出を教えてください
高校生です
z=re^iθ+αとおいて置換積分すれば明らか
f : [0,1]=I→S^1⊂R^2
f(x)=(cos2πx,sin2πx)
の逆写像f^-1が連続でないことを示したいのですが、どのようなIの開集合Uをとってこれば、逆像(f^-1)^-1(U)が開集合でないですか？
f(x)=(cos2πx,sin2πx)
の逆写像f^-1が連続でないことを示したいのですが、どのようなIの開集合Uをとってこれば、逆像(f^-1)^-1(U)が開集合でないですか？
>>268
Iではなく[0,1)の間違いでした
点列をとれば連続でないのは分かるんですが、開集合でやろうとすると分からないです
Iではなく[0,1)の間違いでした
点列をとれば連続でないのは分かるんですが、開集合でやろうとすると分からないです
AB=x,AD=y（x<y）の長方形ABCDにおいて、∠DABを二等分する半直線をLとする。ただしLはAを端点とし、長方形ABCDの内部を通るものとする。
Cから対角線BDに下ろした垂線の足をHとし、直線HCとLとの交点をPとする。
このとき、以下の長さを求めよ。
（1）AH
（2）PH
Cから対角線BDに下ろした垂線の足をHとし、直線HCとLとの交点をPとする。
このとき、以下の長さを求めよ。
（1）AH
（2）PH
α ∈ (0, π/2) を任意に取り固定したとき、複素平面の部分集合
{z | arg(1 - z) ≦ α} ∩ {z | |z| < 1} 内から 1 に近づいたときに f(x) → f(1)
となりますが、
α ∈ (0, π/2) を任意に取り固定したとき、複素平面の部分集合
{z | |z| < 1} 内から 1 に近づいたときに f(x) → f(1)
とならない例を教えてください。 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:1341adc37120578f18dba9451e6c8c3b)
{z | arg(1 - z) ≦ α} ∩ {z | |z| < 1} 内から 1 に近づいたときに f(x) → f(1)
となりますが、
α ∈ (0, π/2) を任意に取り固定したとき、複素平面の部分集合
{z | |z| < 1} 内から 1 に近づいたときに f(x) → f(1)
とならない例を教えてください。 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:1341adc37120578f18dba9451e6c8c3b)
f(z) = Σa_n * x^n
です。
収束半径は 1 とします。
です。
収束半径は 1 とします。
体積1の直方体ABCD-EFGH
点P,QはAP:PB=1:1, AQ:QE=1:2をみたす
△GPQの重心をX
HXと平面ABCDの交点をYとおく
(1)四面体GPQYを求積せよ
(2)AB:AD:AE=4:2:3のとき、図形Rを|HR|/|AQ|=↑HR·↑HQを満たす点R全体の集合と定める
また図形Rが平面GPQにより切り取られてできる曲線をSとしZをHZが最小になるS上の点とする
四面体APYZの体積を求めよ
点P,QはAP:PB=1:1, AQ:QE=1:2をみたす
△GPQの重心をX
HXと平面ABCDの交点をYとおく
(1)四面体GPQYを求積せよ
(2)AB:AD:AE=4:2:3のとき、図形Rを|HR|/|AQ|=↑HR·↑HQを満たす点R全体の集合と定める
また図形Rが平面GPQにより切り取られてできる曲線をSとしZをHZが最小になるS上の点とする
四面体APYZの体積を求めよ
非線型方程式と線型方程式って何が違うの？
お時間ある方ご協力お願いします。
https://redcap.med.osaka-cu.ac.jp/redcap/surveys/?s=K47MLR8TEE
https://redcap.med.osaka-cu.ac.jp/redcap/surveys/?s=K47MLR8TEE
説明くらい書いたらどうだ
前>>275
前々>>260
>>161
ピタゴラスの定理より、
(4-3cosθ)^2+(3sin^2θ)^2=(2r+1/2)^2――①
正弦定理より、
2t/sinθ=2r――②
余弦定理より、
cosθ=3^2+4^2-(2t)^2/2･3･4――③
②よりt=rsinθ
③に代入すると、
cosθ=25-r^2sin^2θ/24
①を整理すると、
16-24cosθ+9cos^2θ+(3-3cos^2θ)^2=4r^2+2r+1/4
16-24cosθ+9cos^2θ+(3-3cos^2θ)^2=4r^2+2r+1/4
16-24cosθ+9cos^2θ+9-18cos^2θ+9cos^4θ=4r^2+2r+1/4
25-24cosθ-9cos^2θ+9cos^4θ=4r^2+2r+1/4
100-96cosθ-36cos^2θ+36cos^4θ=16r^2+8r+1
99-96cosθ-36cos^2θ+36cos^4θ=16r^2+8r
16r^2+8r-99+96cosθ+36cos^2θ-36cos^4θ=0
r=[-4+√{4^2-16(-99+96cosθ+36cos^2θ-36cos^4θ)}]/16
={-4+√(16-16+1600-16･96cosθ-16･36cos^2θ+16･36cos^4θ)}/16
={-4+4√(100-96cosθ-36cos^2θ+36cos^4θ)}/16
={-1+√(100-96cosθ-36cos^2θ+36cos^4θ)}/4
r+1/4=√(25-24cosθ-9cos^2θ+9cos^4θ)/2
(2r+1/2)^2=25-24cosθ-9cos^2θ+9cos^4θ
前々>>260
>>161
ピタゴラスの定理より、
(4-3cosθ)^2+(3sin^2θ)^2=(2r+1/2)^2――①
正弦定理より、
2t/sinθ=2r――②
余弦定理より、
cosθ=3^2+4^2-(2t)^2/2･3･4――③
②よりt=rsinθ
③に代入すると、
cosθ=25-r^2sin^2θ/24
①を整理すると、
16-24cosθ+9cos^2θ+(3-3cos^2θ)^2=4r^2+2r+1/4
16-24cosθ+9cos^2θ+(3-3cos^2θ)^2=4r^2+2r+1/4
16-24cosθ+9cos^2θ+9-18cos^2θ+9cos^4θ=4r^2+2r+1/4
25-24cosθ-9cos^2θ+9cos^4θ=4r^2+2r+1/4
100-96cosθ-36cos^2θ+36cos^4θ=16r^2+8r+1
99-96cosθ-36cos^2θ+36cos^4θ=16r^2+8r
16r^2+8r-99+96cosθ+36cos^2θ-36cos^4θ=0
r=[-4+√{4^2-16(-99+96cosθ+36cos^2θ-36cos^4θ)}]/16
={-4+√(16-16+1600-16･96cosθ-16･36cos^2θ+16･36cos^4θ)}/16
={-4+4√(100-96cosθ-36cos^2θ+36cos^4θ)}/16
={-1+√(100-96cosθ-36cos^2θ+36cos^4θ)}/4
r+1/4=√(25-24cosθ-9cos^2θ+9cos^4θ)/2
(2r+1/2)^2=25-24cosθ-9cos^2θ+9cos^4θ
「エスカレーターの使用に関するアンケート回答お願い」
【本アンケートについて】
このアンケートは、大阪市立大学医学部の授業「メディカル・データ・サイエンス」の教育の一環で行っているアンケートです。
このアンケートの結果は一般には公開しません。
また、このアンケートでは、個人情報は収集致しません。
>>285 のzは 円周 |z|=1 の外に出てしまうので取り消します。ｽﾏｿ
z が円周 |z - 1/2| = 1/2 に沿って１に近づいた場合を考えます。
z = (1/2){1 + e^(i(π-2θ))},
arg(1-z) = θ → π/2 としたとき凡例があればよいのですね。
【本アンケートについて】
このアンケートは、大阪市立大学医学部の授業「メディカル・データ・サイエンス」の教育の一環で行っているアンケートです。
このアンケートの結果は一般には公開しません。
また、このアンケートでは、個人情報は収集致しません。
>>285 のzは 円周 |z|=1 の外に出てしまうので取り消します。ｽﾏｿ
z が円周 |z - 1/2| = 1/2 に沿って１に近づいた場合を考えます。
z = (1/2){1 + e^(i(π-2θ))},
arg(1-z) = θ → π/2 としたとき凡例があればよいのですね。
一松信著『解析学序説上巻（新版）』を読んでいます。
以下の定理7.17に「不定積分 F_n(x)」などと書かれていますが、定積分が正しいですよね。
あと、 max_{a ≦ x ≦ b} | f_n(x) - f(x) | などと書いていますが、各 n に対して最大値が
存在するという仮定を暗にしているということでしょうか？
「系」は、なぜ定理7.17の系なのでしょうか？
定理7.17
関数列の各関数 f_n(x) および f(x) が区間 [a, b] で積分可能であり、
max_{a ≦ x ≦ b} | f_n(x) - f(x) | = ε_n → 0 （n → ∞）
ならば、不定積分 F_n(x) = ∫_{a}^{x} f_n(t) dt は F(x) = ∫_{a}^{x} f(t) dt に収束する。
系
絶対収束する優級数をもつ積分可能関数を項とする級数 φ(x) = Σ f_n(x) について、
項別積分 ∫_{a}^{b} φ(x) dx = Σ ∫_{a}^{b} f_n(x) dx ができる。
以下の定理7.17に「不定積分 F_n(x)」などと書かれていますが、定積分が正しいですよね。
あと、 max_{a ≦ x ≦ b} | f_n(x) - f(x) | などと書いていますが、各 n に対して最大値が
存在するという仮定を暗にしているということでしょうか？
「系」は、なぜ定理7.17の系なのでしょうか？
定理7.17
関数列の各関数 f_n(x) および f(x) が区間 [a, b] で積分可能であり、
max_{a ≦ x ≦ b} | f_n(x) - f(x) | = ε_n → 0 （n → ∞）
ならば、不定積分 F_n(x) = ∫_{a}^{x} f_n(t) dt は F(x) = ∫_{a}^{x} f(t) dt に収束する。
系
絶対収束する優級数をもつ積分可能関数を項とする級数 φ(x) = Σ f_n(x) について、
項別積分 ∫_{a}^{b} φ(x) dx = Σ ∫_{a}^{b} f_n(x) dx ができる。
定理7.17から系を証明してください。
2面体群Dnの中心ってどう求めればいいですか？
悔しかったら解いてみろよ。前>>295
~∩∩ ∩∩
(-.-)) (`) )
[￣]_) U⌒U､
￣￣]/＼___∩∩ノ(γ)
＿＿/＼/,,(`.`))⌒ﾞ,|
￣￣＼/彡`-`ﾐυ`υυ|
￣￣|＼_U⌒U､___／| |
□ | ∥~U~U~￣∥ | /
＿＿| ∥ □ □ ∥ |/
_____`∥_______∥／
￣￣￣￣￣￣￣￣
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[￣]_) U⌒U､
￣￣]/＼___∩∩ノ(γ)
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教えてくださいな。 放射線 y=ax2乗+bx+cについて頂点が点(1,3)で、点(-1,1)を通るならば a=(ア) b=(イ) c=(ウ)
頂点の座標から
y = a(x-1)^2 + 3,
点(-1,1) を通るから
a = -1/2,
b = 1,
c = 5/2,
y = a(x-1)^2 + 3,
点(-1,1) を通るから
a = -1/2,
b = 1,
c = 5/2,
前>>297
>>280(1)解けた!!
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□ □ □ ∥ /
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A(1,0,1)
B(1,1,1)
C(0,1,1)
D(0,0,1)
E(1,0,0)
F(1,1,0)
G(0,1,0)
H(0,0,0)
P(1/2,0,1)
Q(1,0,2/3)
PQの中点Mは、
M(3/4,0,5/6)
X(1/2,1/3,5/9)
Y(9/10,3/5,1)
∵→HY=(9/5)→HX
XY=√{(2/5)^2+(4/15)^2+(4/9)^2}
=2√217/45
PM⊥GMだから、
△PGQ=(1/2)PQ･GM
=PM･GM
=√(11/108)･√(119/108)
=√1309/108
三角錐Y-PGQ=(1/3)△PGQ･XY
=(1/3)(√1309/108)(2√217/45)
=7√5797/7290
>>280(1)解けた!!
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A(1,0,1)
B(1,1,1)
C(0,1,1)
D(0,0,1)
E(1,0,0)
F(1,1,0)
G(0,1,0)
H(0,0,0)
P(1/2,0,1)
Q(1,0,2/3)
PQの中点Mは、
M(3/4,0,5/6)
X(1/2,1/3,5/9)
Y(9/10,3/5,1)
∵→HY=(9/5)→HX
XY=√{(2/5)^2+(4/15)^2+(4/9)^2}
=2√217/45
PM⊥GMだから、
△PGQ=(1/2)PQ･GM
=PM･GM
=√(11/108)･√(119/108)
=√1309/108
三角錐Y-PGQ=(1/3)△PGQ･XY
=(1/3)(√1309/108)(2√217/45)
=7√5797/7290
>>274 >>283 >>286
(1)
BH/DH = (BH/CH)(CH/DH) = (BC/CD)^2 = (AD/AB)^2 = (y/x)^2,
∴ H は 対角線BDを yy：xx に内分する。
∴垂線の足 H (x{xx/(xx+yy)}, y{yy/(xx+yy)})
AH = {√(x^6 +y^6)} / (xx+yy) = √{(x^4 -xxyy +y^4)/(xx+yy)},
(2)
点 (x+y/2, y/2) を中心として ABCD を 90ﾟ回すと
A → A' (x, x+y)
B → C (x, y)
C → C' (x+y, y)
D → D' (x+y, x+y) ∈ L
となる。
垂線HC も 対角線CD' も BDに垂線だから、D' はHC上にある。
∴ P = D'
PH = (xx+xy+yy)/√(xx+yy),
(1)
BH/DH = (BH/CH)(CH/DH) = (BC/CD)^2 = (AD/AB)^2 = (y/x)^2,
∴ H は 対角線BDを yy：xx に内分する。
∴垂線の足 H (x{xx/(xx+yy)}, y{yy/(xx+yy)})
AH = {√(x^6 +y^6)} / (xx+yy) = √{(x^4 -xxyy +y^4)/(xx+yy)},
(2)
点 (x+y/2, y/2) を中心として ABCD を 90ﾟ回すと
A → A' (x, x+y)
B → C (x, y)
C → C' (x+y, y)
D → D' (x+y, x+y) ∈ L
となる。
垂線HC も 対角線CD' も BDに垂線だから、D' はHC上にある。
∴ P = D'
PH = (xx+xy+yy)/√(xx+yy),
φ(x) = Σ f_n(x) が積分可能であることはどうやって導くのでしょうか？
定理7.17
関数列の各関数 f_n(x) および f(x) が区間 [a, b] で積分可能であり、
max_{a ≦ x ≦ b} | f_n(x) - f(x) | = ε_n → 0 （n → ∞）
ならば、不定積分 F_n(x) = ∫_{a}^{x} f_n(t) dt は F(x) = ∫_{a}^{x} f(t) dt に収束する。
系
絶対収束する優級数をもつ積分可能関数を項とする級数 φ(x) = Σ f_n(x) について、
項別積分 ∫_{a}^{b} φ(x) dx = Σ ∫_{a}^{b} f_n(x) dx ができる。
定理7.17
関数列の各関数 f_n(x) および f(x) が区間 [a, b] で積分可能であり、
max_{a ≦ x ≦ b} | f_n(x) - f(x) | = ε_n → 0 （n → ∞）
ならば、不定積分 F_n(x) = ∫_{a}^{x} f_n(t) dt は F(x) = ∫_{a}^{x} f(t) dt に収束する。
系
絶対収束する優級数をもつ積分可能関数を項とする級数 φ(x) = Σ f_n(x) について、
項別積分 ∫_{a}^{b} φ(x) dx = Σ ∫_{a}^{b} f_n(x) dx ができる。
>>303
は一松信さんの『解析学序説上巻（新版）』からの引用です。
例えば、松坂和夫著『解析入門上』には以下の定理があります：
区間 [a, b] で f_n がリーマン積分可能で、 f に一様収束するならば、 f も [a, b] でリーマン積分可能で、
lim ∫_{a}^[b} f_n(x) dx = ∫_{a}^{b} f(x) dx
が成り立つ。
>>303
ところが、一松信さんの『解析学序説上巻（新版）』には、定理7.17の前に、一様収束の定義すら書いてありません。
そんな状況でこの「系」が突然、現れます。
一松信さんは大丈夫な人なのでしょうか？
旧版から新版に編集し直すときの編集ミスでしょうか？
は一松信さんの『解析学序説上巻（新版）』からの引用です。
例えば、松坂和夫著『解析入門上』には以下の定理があります：
区間 [a, b] で f_n がリーマン積分可能で、 f に一様収束するならば、 f も [a, b] でリーマン積分可能で、
lim ∫_{a}^[b} f_n(x) dx = ∫_{a}^{b} f(x) dx
が成り立つ。
>>303
ところが、一松信さんの『解析学序説上巻（新版）』には、定理7.17の前に、一様収束の定義すら書いてありません。
そんな状況でこの「系」が突然、現れます。
一松信さんは大丈夫な人なのでしょうか？
旧版から新版に編集し直すときの編集ミスでしょうか？
完全に支離滅裂ですね。
>>303
＞max_{a ≦ x ≦ b} | f_n(x) - f(x) | = ε_n → 0 （n → ∞）
この条件なんだと思ってるんですかね
＞max_{a ≦ x ≦ b} | f_n(x) - f(x) | = ε_n → 0 （n → ∞）
この条件なんだと思ってるんですかね
lim(x to ∞) x|sin(π/x)|=πをlim(x to 0)sinx/x=1を用いずに示せ。
解けるかな？？
解けるかな？？
解けました
①f(x)=2xが(-∞,+∞)で連続であることをイプシロンデルタ論法で示せ。
②f(x)=√xが[0,+∞)で連続であることをイプシロンデルタ論法で示せ。
よろしくお願いします
②f(x)=√xが[0,+∞)で連続であることをイプシロンデルタ論法で示せ。
よろしくお願いします
（1）斜辺BCの長さがaである直角三角形△ABCがある。
次の命題(P)と(Q)は同値であることを示せ。
(P)AB+ACが最大となる
(Q)△ABCの面積が最大となる
（2）一般の△PQRについて、次の命題(S)と(T)は同値であるか。ただしpを正の定数として、QR=pとする。
(S)PQ+PRが最大となる
(T)△PQRの面積が最大となる
次の命題(P)と(Q)は同値であることを示せ。
(P)AB+ACが最大となる
(Q)△ABCの面積が最大となる
（2）一般の△PQRについて、次の命題(S)と(T)は同値であるか。ただしpを正の定数として、QR=pとする。
(S)PQ+PRが最大となる
(T)△PQRの面積が最大となる
どちらも最大値をとらない恒に偽である命題ゆえ同値。
>>261
わざわざありがとう
なんとなくイメージはできたけど…
やっぱりなぜ全体の預金の額が出てくるのかは理解できない
わざわざありがとう
なんとなくイメージはできたけど…
やっぱりなぜ全体の預金の額が出てくるのかは理解できない
>>314
なぜ1000万円用意するんだ？ってことだろう？
1000万円用意して>>261にある操作をすると残りは限り無く0に近づくがマイナスにはならない
従って、用意するのが800万円とかなら足らなくなるし、1200万円とかなら余ってしまう
なぜ1000万円なのかと言えば、1000万円なら残りが限り無く0に近づくがマイナスにはならないということが起きるから
1000万円だとなぜそうなることがわかったかと言えば、そうなるのはいくら用意したときなのかを計算したら1000万円だとわかったから
そしてその計算とは最終的に「最初の預金額である100万円を残す割合0.1で割る」というものであり、
その計算は一般化して計算していくと「最初の預金額を残す割合で割る」と一般化出来ることもわかる
なぜ1000万円用意するんだ？ってことだろう？
1000万円用意して>>261にある操作をすると残りは限り無く0に近づくがマイナスにはならない
従って、用意するのが800万円とかなら足らなくなるし、1200万円とかなら余ってしまう
なぜ1000万円なのかと言えば、1000万円なら残りが限り無く0に近づくがマイナスにはならないということが起きるから
1000万円だとなぜそうなることがわかったかと言えば、そうなるのはいくら用意したときなのかを計算したら1000万円だとわかったから
そしてその計算とは最終的に「最初の預金額である100万円を残す割合0.1で割る」というものであり、
その計算は一般化して計算していくと「最初の預金額を残す割合で割る」と一般化出来ることもわかる
おっちゃんです
オイラーの定数は有理数である
>γが無理数であったとする。任意の有理数 1/p pは2以上の整数 に対して
>|γ－1/p|＝| lim_{n→+∞}( 1＋1/2＋…＋1/n－log(n) )－1/p |
>＝lim_{n→+∞}( 1＋1/2＋…＋1/n－log(n) )－1/p
>＞( 1＋1/2＋…＋1/p－log(p) )－1/p
>＝1＋1/2＋…＋1/(p－1)－log(p)
>＞0、
>従って、或る2以上の正整数kが存在して、p≧k のとき |γ－1/p|＞( 1＋1/2＋…＋1/p－log(p) )－1/p＞1/k≧1/p。
>故に、0＜|γ－q/p|＜1/p^2＜|γ－1/p| を満たすような既約有理数 q/p p≧2 は無限個存在する。
>(…以下略…)
見直したり他の方向から考えてはみたが、この部分は γ＝lim_{n→+∞}( 1＋1/2＋…＋1/n－log(n) ) に特化していた。
ここに、γ_n＝1＋1/2＋…＋1/n－log(n) n≧2 は超越数で、n≧2 のとき {γ_n} は下に有界な単調減少列。
γが代数的無理数でないことまでは証明出来たが、ディオファンタス近似ではγの超越性まではいえない。
γの超越性をディオファンタス近似で証明しようとすると、ほぼ自動的にγが超越数であることがいえて一般的に成り立つような証明になる。
やはり、γは有理数だった。
オイラーの定数は有理数である
>γが無理数であったとする。任意の有理数 1/p pは2以上の整数 に対して
>|γ－1/p|＝| lim_{n→+∞}( 1＋1/2＋…＋1/n－log(n) )－1/p |
>＝lim_{n→+∞}( 1＋1/2＋…＋1/n－log(n) )－1/p
>＞( 1＋1/2＋…＋1/p－log(p) )－1/p
>＝1＋1/2＋…＋1/(p－1)－log(p)
>＞0、
>従って、或る2以上の正整数kが存在して、p≧k のとき |γ－1/p|＞( 1＋1/2＋…＋1/p－log(p) )－1/p＞1/k≧1/p。
>故に、0＜|γ－q/p|＜1/p^2＜|γ－1/p| を満たすような既約有理数 q/p p≧2 は無限個存在する。
>(…以下略…)
見直したり他の方向から考えてはみたが、この部分は γ＝lim_{n→+∞}( 1＋1/2＋…＋1/n－log(n) ) に特化していた。
ここに、γ_n＝1＋1/2＋…＋1/n－log(n) n≧2 は超越数で、n≧2 のとき {γ_n} は下に有界な単調減少列。
γが代数的無理数でないことまでは証明出来たが、ディオファンタス近似ではγの超越性まではいえない。
γの超越性をディオファンタス近似で証明しようとすると、ほぼ自動的にγが超越数であることがいえて一般的に成り立つような証明になる。
やはり、γは有理数だった。
他の皆様、ID:RCiqoacY のレスは無視していいです。
smrdifkとアフターでご飯したことあるけど最低だったよ
食い方きたないし、自分が痴漢盗撮された体験ばっかり話して勝手に思い出し怒りするわで狂化EXバーサーカーの方が理性あるんじゃないのってレベル
聞いてもないのに生理で倒れて集中治療室に入院して死にかけた～とか言い出して迷惑掛けた自慢する人初めて見た
食い方きたないし、自分が痴漢盗撮された体験ばっかり話して勝手に思い出し怒りするわで狂化EXバーサーカーの方が理性あるんじゃないのってレベル
聞いてもないのに生理で倒れて集中治療室に入院して死にかけた～とか言い出して迷惑掛けた自慢する人初めて見た
>>313
QR=pと言う束縛条件下では任意のPに対してその時のPQ+PRが最大になると言う命題は偽。
QR=pと言う束縛条件下では任意のPに対してその時のPQ+PRが最大になると言う命題は偽。
図形？の問題を質問したいのですがどのように書き込めばよいでしょうか？
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む66
294 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/05/30(木) 18:26:24.67 ID:kbENVFaQそれじゃ、おっちゃんもう寝る。
294 ：１３２人目の素数さん[sage]：2019/05/30(木) 18:26:24.67 ID:kbENVFaQそれじゃ、おっちゃんもう寝る。
前>>301
>>161
(2r+1/2)^2=25-24cosθ-9cos^2θ+9cos^4θ
4r^2+2r+1/4=25-24cosθ-9cos^2θ+9cos^4θ
(4r+1)^2=100-96cosθ-36cos^2θ(1-cos^2θ)――①
正弦定理より、
AC/sinθ=2r
4r^2･sin^2θ=AC^2――②
余弦定理より、
cosθ=(3^2+4^2-AC^2)/2･3･4
=(25-AC^2)/24――③
②を③に代入し、
cosθ=(25-4r^2･sin^2θ)/24
24cosθ=25-4r^2･sin^2θ
24cosθ=25-4r^2･sin^2θ
4r^2･sin^2θ=25-24cosθ 4r^2･2(5-24cosθ･)/
-cost22
2r=√(25-24cosθ)/sinθ
4r=2√(25-24cosθ)/sinθ
①に代入し、) [{√(25-24cosθ)/sin}}θ1)]2=100-96cosθ-36cos^2θ(1-cos^2θ)) {25-24cosθ)/sinθ}2^+1√(25-24cosθ)/sin++θθ100-96cosθ-36cos^2θ(1-cos^2θ)
(中断 )
>>161
(2r+1/2)^2=25-24cosθ-9cos^2θ+9cos^4θ
4r^2+2r+1/4=25-24cosθ-9cos^2θ+9cos^4θ
(4r+1)^2=100-96cosθ-36cos^2θ(1-cos^2θ)――①
正弦定理より、
AC/sinθ=2r
4r^2･sin^2θ=AC^2――②
余弦定理より、
cosθ=(3^2+4^2-AC^2)/2･3･4
=(25-AC^2)/24――③
②を③に代入し、
cosθ=(25-4r^2･sin^2θ)/24
24cosθ=25-4r^2･sin^2θ
24cosθ=25-4r^2･sin^2θ
4r^2･sin^2θ=25-24cosθ 4r^2･2(5-24cosθ･)/
-cost22
2r=√(25-24cosθ)/sinθ
4r=2√(25-24cosθ)/sinθ
①に代入し、) [{√(25-24cosθ)/sin}}θ1)]2=100-96cosθ-36cos^2θ(1-cos^2θ)) {25-24cosθ)/sinθ}2^+1√(25-24cosθ)/sin++θθ100-96cosθ-36cos^2θ(1-cos^2θ)
(中断 )
log(1+2+3)=log(1)+log(2)+log(3)
これはどうやって証明したらいいでしょうか？
これはどうやって証明したらいいでしょうか？
計算すれば出ますよね
両辺をexp（）に入れると
exp(log(1+2+3)) = exp(log(1)+log(2)+log(3))
1+2+3 = exp(log(1))*exp(log(2))*exp(log(3))
1 + 2 + 3 =1 * 2 * 3
たまたま一致してたって事ですね
exp(log(1+2+3)) = exp(log(1)+log(2)+log(3))
1+2+3 = exp(log(1))*exp(log(2))*exp(log(3))
1 + 2 + 3 =1 * 2 * 3
たまたま一致してたって事ですね
log(2+2)=log(2)+log(2) もあるぞ
前>>323
>>116
(1+2√(25-24cosθ)/sinθ)^2=100-96cosθ-36cos^2θ(1-cos^2θ)
1+4√(25-24cosθ)/√(1-cos^2θ)+4(25-24cosθ)/(1-cos^2θ)=100-96cosθ-36cos^2θ(1-cos^2θ)
(1-cos^2θ)+4√(25-24cosθ)√(1-cos^2θ)+4(25-24cosθ)=100(1-cos^2θ)-96cosθ(1-cos^2θ)-36cos^2θ(1-cos^2θ)^2
1-cos^2θ+4√{(25-24cosθ)(1-cos^2θ)}=-100cos^2θ+96cosθ･cos^2θ-36cos^2θ(1-cos^2θ)^2
1-cos^2θ+4√(25-24cosθ-25cos^2θ+24cos^3θ)=-100cos^2θ+96cosθ･cos^2θ-36cos^2θ(1-2cos^2θ+cos^4θ)
4√(25-24cosθ-25cos^2θ+24cos^3θ)=cos^2θ-1-100cos^2θ+96cos^3θ-36cos^2θ+72cos^4θ-144cos^6θ 4√(25-24cosθ-25cos^2θ+24cos^3θ)=
文字化けして書けない。
999cs^2θ+96cos^3θ-36cos^2θ+72cos^4θ-144cos^66 θ-1/
-1
>>116
(1+2√(25-24cosθ)/sinθ)^2=100-96cosθ-36cos^2θ(1-cos^2θ)
1+4√(25-24cosθ)/√(1-cos^2θ)+4(25-24cosθ)/(1-cos^2θ)=100-96cosθ-36cos^2θ(1-cos^2θ)
(1-cos^2θ)+4√(25-24cosθ)√(1-cos^2θ)+4(25-24cosθ)=100(1-cos^2θ)-96cosθ(1-cos^2θ)-36cos^2θ(1-cos^2θ)^2
1-cos^2θ+4√{(25-24cosθ)(1-cos^2θ)}=-100cos^2θ+96cosθ･cos^2θ-36cos^2θ(1-cos^2θ)^2
1-cos^2θ+4√(25-24cosθ-25cos^2θ+24cos^3θ)=-100cos^2θ+96cosθ･cos^2θ-36cos^2θ(1-2cos^2θ+cos^4θ)
4√(25-24cosθ-25cos^2θ+24cos^3θ)=cos^2θ-1-100cos^2θ+96cos^3θ-36cos^2θ+72cos^4θ-144cos^6θ 4√(25-24cosθ-25cos^2θ+24cos^3θ)=
文字化けして書けない。
999cs^2θ+96cos^3θ-36cos^2θ+72cos^4θ-144cos^66 θ-1/
-1
nを自然数とするとき、二項係数の和の値
(2n,k)+(3n,k)
を最大にする自然数kをnで表せ。
(2n,k)+(3n,k)
を最大にする自然数kをnで表せ。
前>>328
>>161
(1+2√(25-24cosθ)/sinθ)^2=100-96cosθ-36cos^2θ(1-cos^2θ)
1+4√(25-24cosθ)/√(1-cos^2θ)+4(25-24cosθ)/(1-cos^2θ)=100-96cosθ-36cos^2θ(1-cos^2θ)
(1-cos^2θ)+4√(25-24cosθ)√(1-cos^2θ)+4(25-24cosθ)=100(1-cos^2θ)-96cosθ(1-cos^2θ)-36cos^2θ(1-cos^2θ)^2
1-cos^2θ+4√{(25-24cosθ)(1-cos^2θ)}=-100cos^2θ+96cosθ･cos^2θ-36cos^2θ(1-cos^2θ)^2
1-cos^2θ+4√(25-24cosθ-25cos^2θ+24cos^3θ)=-100cos^2θ+96cosθ･cos^2θ-36cos^2θ(1-2cos^2θ+cos^4θ)
4√(25-24cosθ-25cos^2θ+24cos^3θ)=cos^2θ-1-100cos^2θ+96cos^3θ-36cos^2θ+72cos^4θ-36cos^6θ
4√(25-24cosθ-25cos^2θ+24cos^3θ)=-1-135cos^2θ+96cos^3θ+72cos^4θ-36cos^6θ
16(25-24cosθ-25cos^2θ+24cos^3θ)=(-1-135cos^2θ+96cos^3θ+72cos^4θ-36cos^6θ)^2
400-384cosθ-400cos^2θ+384cos^3θ=1+18225cos^4θ+9216cos^6θ+5184cos^8θ+1296cos^12θ+270cos^2θ-192cos^3θ-144cos^4θ+72cos^6θ-135･96cos^5θ-135･72cos^6θ+135･36cos^8θ+96･72cos^7θ-96･36cos^9θ-72･36cos^10θ
どうやって解くんだこれ!? 二次式じゃないら？
399-384cosθ-670cos^2θ+576cos^3θ-18081cos^4θ+12960cos^5θ+432cos^6θ-6912cos^7θ-10044cos^8θ+3456cos^9θ+2592cos^10θ-1296cos^12θ=0
cosθ≒0.0601
∴sinθ≒0.9399 うそだぁ
>>161
(1+2√(25-24cosθ)/sinθ)^2=100-96cosθ-36cos^2θ(1-cos^2θ)
1+4√(25-24cosθ)/√(1-cos^2θ)+4(25-24cosθ)/(1-cos^2θ)=100-96cosθ-36cos^2θ(1-cos^2θ)
(1-cos^2θ)+4√(25-24cosθ)√(1-cos^2θ)+4(25-24cosθ)=100(1-cos^2θ)-96cosθ(1-cos^2θ)-36cos^2θ(1-cos^2θ)^2
1-cos^2θ+4√{(25-24cosθ)(1-cos^2θ)}=-100cos^2θ+96cosθ･cos^2θ-36cos^2θ(1-cos^2θ)^2
1-cos^2θ+4√(25-24cosθ-25cos^2θ+24cos^3θ)=-100cos^2θ+96cosθ･cos^2θ-36cos^2θ(1-2cos^2θ+cos^4θ)
4√(25-24cosθ-25cos^2θ+24cos^3θ)=cos^2θ-1-100cos^2θ+96cos^3θ-36cos^2θ+72cos^4θ-36cos^6θ
4√(25-24cosθ-25cos^2θ+24cos^3θ)=-1-135cos^2θ+96cos^3θ+72cos^4θ-36cos^6θ
16(25-24cosθ-25cos^2θ+24cos^3θ)=(-1-135cos^2θ+96cos^3θ+72cos^4θ-36cos^6θ)^2
400-384cosθ-400cos^2θ+384cos^3θ=1+18225cos^4θ+9216cos^6θ+5184cos^8θ+1296cos^12θ+270cos^2θ-192cos^3θ-144cos^4θ+72cos^6θ-135･96cos^5θ-135･72cos^6θ+135･36cos^8θ+96･72cos^7θ-96･36cos^9θ-72･36cos^10θ
どうやって解くんだこれ!? 二次式じゃないら？
399-384cosθ-670cos^2θ+576cos^3θ-18081cos^4θ+12960cos^5θ+432cos^6θ-6912cos^7θ-10044cos^8θ+3456cos^9θ+2592cos^10θ-1296cos^12θ=0
cosθ≒0.0601
∴sinθ≒0.9399 うそだぁ
院試の勉強って何からしたらええんや？
過去問
>>329
k>1 では (3n,k) でよく近似できるが、(2n,k) の影響も少しある。
3n/2 よりわずかに小さいｋで最小になる。
k = [3n/2]
k>1 では (3n,k) でよく近似できるが、(2n,k) の影響も少しある。
3n/2 よりわずかに小さいｋで最小になる。
k = [3n/2]
>>335
ごく基礎からやり直す
わかっているところはすぐ終わるからそんなに時間は掛からない
時間がかかるならやっぱりそこからやらなきゃ無理ってこと
ごく基礎からやり直す
わかっているところはすぐ終わるからそんなに時間は掛からない
時間がかかるならやっぱりそこからやらなきゃ無理ってこと
>>335
よくあるのは友達と一緒に院試勉強会をする
あとは院試問題集を見れば解き方が分かる問題も増える
勉強続けてれば基礎問題は解けるようになるはず
専門の問題はもし数学の才能が無ければいくらやっても解けるようにならないから注意
よくあるのは友達と一緒に院試勉強会をする
あとは院試問題集を見れば解き方が分かる問題も増える
勉強続けてれば基礎問題は解けるようになるはず
専門の問題はもし数学の才能が無ければいくらやっても解けるようにならないから注意
>>161 >>165 >>213
24cosθ = (2+3cosθ)^2 - (2-3cosθ)^2
= OD^2 - OA^2
= (r + QD)^2 - r^2
= (r + 1/2)^2 - r^2 (QD=1/2)
= r + 1/4,
∴ 4r+1 = 96cosθ ----- (1)
(2),(3) から
r = √(25-24cosθ) / (2sinθ),
これから r を消すと
(24cosθ)^2 - (24cosθ)/4 -288 ±126√5 = 0,
24cosθ = 1/8 + √{(1/8)^2 +288 ±126√5},
= 23.994649979937 2.6292084248375
cosθ を消すと
4{1 - [(4r+1)/96]^2}rr = 25 - (4r+1)/4 = 99/4 - r,
{r(4r+1)/96}^2 - r(4r+1)/4 + 99/16 = 0,
r = -1/8 + √{(1/8)^2 +288 ±126√5}
= 23.744649979937 2.3792084248375
円の中心Oは対角線BD上にはないと思うけど････
BD < 2r + 1/2,
24cosθ = (2+3cosθ)^2 - (2-3cosθ)^2
= OD^2 - OA^2
= (r + QD)^2 - r^2
= (r + 1/2)^2 - r^2 (QD=1/2)
= r + 1/4,
∴ 4r+1 = 96cosθ ----- (1)
(2),(3) から
r = √(25-24cosθ) / (2sinθ),
これから r を消すと
(24cosθ)^2 - (24cosθ)/4 -288 ±126√5 = 0,
24cosθ = 1/8 + √{(1/8)^2 +288 ±126√5},
= 23.994649979937 2.6292084248375
cosθ を消すと
4{1 - [(4r+1)/96]^2}rr = 25 - (4r+1)/4 = 99/4 - r,
{r(4r+1)/96}^2 - r(4r+1)/4 + 99/16 = 0,
r = -1/8 + √{(1/8)^2 +288 ±126√5}
= 23.744649979937 2.3792084248375
円の中心Oは対角線BD上にはないと思うけど････
BD < 2r + 1/2,
お願いします。
赤青２個のさいころを同時に投げるとき，出た目の最大値が５になる確率を求めよ．
赤青２個のさいころを同時に投げるとき，出た目の最大値が５になる確率を求めよ．
俺の暗算だと1/4
才能以上に興味もないのに紛れ込んで肩書だけゲットしたがるような奴らの方が論外なんで。
>>343
やる気さえちゃんとあれば卒業は問題なくできる
目的がただのモラトリアム延長だろうと、将来の為の有意義なものであろうと、個人の自由だし行ってはいけない理由にはならない
どうせ就職するなら意味ない、と書いてる人もいるがそうは思わない
就職先に影響がないとしても、やりたい勉強がしたくて院に行くならその人にとってはちゃんと意味がある
やる気さえちゃんとあれば卒業は問題なくできる
目的がただのモラトリアム延長だろうと、将来の為の有意義なものであろうと、個人の自由だし行ってはいけない理由にはならない
どうせ就職するなら意味ない、と書いてる人もいるがそうは思わない
就職先に影響がないとしても、やりたい勉強がしたくて院に行くならその人にとってはちゃんと意味がある
>>346
なぜ就職と勉強の二者択一なんだ？両立出来るものだろう。もちろん働いたら時間は減るが、院にいって就職するなら先送りでしかない。
分野等にもよるが数学なら博士より修士の方が就職が良い場合が多く、長い人生を考えたら修士で就職して趣味で数学でも良いだろう。
もちろん個人の自由だが、はなっからアカポス取って～ということを諦めてるなら就職を勧める。
なぜ就職と勉強の二者択一なんだ？両立出来るものだろう。もちろん働いたら時間は減るが、院にいって就職するなら先送りでしかない。
分野等にもよるが数学なら博士より修士の方が就職が良い場合が多く、長い人生を考えたら修士で就職して趣味で数学でも良いだろう。
もちろん個人の自由だが、はなっからアカポス取って～ということを諦めてるなら就職を勧める。
>>347
それこそ人次第だが、普通は専門レベルの数学を独学で学ぶのは相当大変
ましてや働きながらとなると時間を作ることすら難しい
先生のもとで勉強をしたり学生達で自由にセミナー等ができる環境はさすがに利点と言えると思う
実際、就職するつもりだがもう少し勉強を続けたいから、という理由で院に来る人はたくさん見てきた
博士に行くべきとは全く思ってないし書いてもいない
元々の質問が「(才能がなくても)院に行っていいのか」だから、修士まで学んでから就職することを想定して書いていたが
それこそ人次第だが、普通は専門レベルの数学を独学で学ぶのは相当大変
ましてや働きながらとなると時間を作ることすら難しい
先生のもとで勉強をしたり学生達で自由にセミナー等ができる環境はさすがに利点と言えると思う
実際、就職するつもりだがもう少し勉強を続けたいから、という理由で院に来る人はたくさん見てきた
博士に行くべきとは全く思ってないし書いてもいない
元々の質問が「(才能がなくても)院に行っていいのか」だから、修士まで学んでから就職することを想定して書いていたが
「カントール集合に同相な位相空間をカントール空間と呼ぶ」
ってウィキペディアに書いてあったんだけど、カントール集合って集合だからまだ位相入ってないよね？
カントール集合上のどの位相のことなんでしょうか？
ってウィキペディアに書いてあったんだけど、カントール集合って集合だからまだ位相入ってないよね？
カントール集合上のどの位相のことなんでしょうか？
実数の位相です
√xの積分が2/3x√xになるのは何故ですか？
2/3^x√xですね。
複素数係数有理関数f(x)でf(f(f(x)))=xを満たすものをすべて求めよ
たまに沸いてくるこういう質問って釣りなの？目的が不明なんだが。
すべて
がつく設問はほとんどが
いつもの出題荒らしの投稿
常連回答者はもう相手にしてない
がつく設問はほとんどが
いつもの出題荒らしの投稿
常連回答者はもう相手にしてない
二乗すると奇数になる偶数と、二乗すると偶数になる奇数はどうやって求めるの？
【速報】クオカード500円分かすかいらーく優待券をすぐ貰える
① スマホでたいむばんくを入手
② 会員登録を済ませる
③ マイページへ移動する。
④ 招待コード→招待コードを入力する [Rirz Tu]（スペース抜き）
今なら更にクオカードかすかいらーく優待券を貰った残高からタダで買えます。
簡単に入手できますので是非ご利用下さい
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>>347
流石に就職と勉強の両立は厳しいよ
お前理学の勉強したことある？
数学を独学で勉強するのかいかに大変か分かってないだろ
流石に就職と勉強の両立は厳しいよ
お前理学の勉強したことある？
数学を独学で勉強するのかいかに大変か分かってないだろ
>>354
h(z) を可逆な1次分数変換とすると
f(z) が題意を満たす ⇔ h^(-1)(f(h(z))) も題意を満たす
かな？
例
f(z) = -1/z ±1, 1/(1-z), -1/(1+z), ωz, ω~z など
h(z) = 1/z, 1-z
h(z) を可逆な1次分数変換とすると
f(z) が題意を満たす ⇔ h^(-1)(f(h(z))) も題意を満たす
かな？
例
f(z) = -1/z ±1, 1/(1-z), -1/(1+z), ωz, ω~z など
h(z) = 1/z, 1-z
はよせい(´･ω･`)
前>>363わかったわかった。
OA^2=OB^2で出た。
y=(3-4cosθ)/2sinθ
OA^2=OB^2で出た。
y=(3-4cosθ)/2sinθ
http://ebsa.ism.ac.jp/ebooks/sp/sites/default/files/ebook/1321/pdf/ch01-05.pdf#search=%27%E9%A0%86%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E9%96%A2%E4%BF%82%E6%95%B0%E3%81%AE%E8%A8%BC%E6%98%8E%27
ここの、
「関係式」がなぜこうなるのか分かりません教えて下さい。２項目が-1/2から始まっているやつです。
ここの、
「関係式」がなぜこうなるのか分かりません教えて下さい。２項目が-1/2から始まっているやつです。
>>360
いや、就職したばっかりの年とかは知らんよ。ある程度慣れてきたら働きつつ趣味で数学できるだろ(そういう人は世の中に沢山いる)。
独学って、今の時代ネットでいろんな人と繋がれるんだからさぁ、、、ネットじゃなくてもド田舎でなければ大体は社会人数学サークルみたいなのがあったりするわけだし。
いや、就職したばっかりの年とかは知らんよ。ある程度慣れてきたら働きつつ趣味で数学できるだろ(そういう人は世の中に沢山いる)。
独学って、今の時代ネットでいろんな人と繋がれるんだからさぁ、、、ネットじゃなくてもド田舎でなければ大体は社会人数学サークルみたいなのがあったりするわけだし。
趣味のレベルと専門のレベルを同格に扱うのはおかしいだろ
前>>365
1-cos^2θ=25-24cos3θ
1-cos^2θ=25-24(4cos^3θ-3cosθ)
96cos^3θ-cos^2θ-72cosθ-24=0
(○cosθ-○)(○cos^2θ-○cosθ+○)=0
因数分解できる？
1-cos^2θ=25-24cos3θ
1-cos^2θ=25-24(4cos^3θ-3cosθ)
96cos^3θ-cos^2θ-72cosθ-24=0
(○cosθ-○)(○cos^2θ-○cosθ+○)=0
因数分解できる？
「専門にやっていくならアカポス取って～みたいに進んでいくしかないけど、それは厳しい(上で才能がないみたいなこと言ってる)が数学はしたい」という前提で話をしてたつもりだが違った？
アカポス取っていけないなら就職して趣味でやる以外に方法がないと思うのだが。親が超金持ちとかでない限り。
アカポス取っていけないなら就職して趣味でやる以外に方法がないと思うのだが。親が超金持ちとかでない限り。
なんでアカポス目指すか院に行かないで就職かの二択なんだよ
アカポスに興味無くても専門の勉強がしたくて院目指す奴なんていくらでもいるわ
アカポスに興味無くても専門の勉強がしたくて院目指す奴なんていくらでもいるわ
大学教員になる以外院に行く意味ないとか思ってるのか？
時代遅れの考えやな
就職の実績も学部卒よりも院卒の方が良いし。
的外れな答えしか出来てないところを見ると本気で両立出来ると思ってそう
まともな理学の勉強してたら普通は両立出来ないって分かるだろ。
ネットになんでも答えが乗ってると思うなよ
時代遅れの考えやな
就職の実績も学部卒よりも院卒の方が良いし。
的外れな答えしか出来てないところを見ると本気で両立出来ると思ってそう
まともな理学の勉強してたら普通は両立出来ないって分かるだろ。
ネットになんでも答えが乗ってると思うなよ
私はもっと数学の勉強をしたくて院に行きたいのに就職した後でも趣味程度なら両立出来るだろ～って言われたら凄くイラつく。
アドバイス貰ってる立場としては失礼なのかもしれないけど。
正直参考にならない
アドバイス貰ってる立場としては失礼なのかもしれないけど。
正直参考にならない
数学の勉強したいけど正直今の自分に数学の才能があるとは言えないから、才能なくても院に行ってもええんか？って聞いたんであって…
まぁ。正直私自身どうしたいのか決まってないからわかんない。
就職も勿論したいけど、数学の勉強をもっとしたいってのもあるし。
ただ少なくとも院レベルの数学を働きながらやるのは難しいってのだけは分かる
まぁ。正直私自身どうしたいのか決まってないからわかんない。
就職も勿論したいけど、数学の勉強をもっとしたいってのもあるし。
ただ少なくとも院レベルの数学を働きながらやるのは難しいってのだけは分かる
ここで何言われようが行くのになんで書き込むんでしょうね
院に行くか、就職するかは皆んな悩むもんだから気持ちは分かるよ。少し病み気味だね。
もう少し頭の中で整理してからまた来なさい。
もう少し頭の中で整理してからまた来なさい。
n,kは自然数で、n>kである。
実数xの方程式
x^n-kx = x^k-nx
の実数解を全て求めよ。
実数xの方程式
x^n-kx = x^k-nx
の実数解を全て求めよ。
>>329 >>334
Γ(n+1) = n! となるような実関数 Γ(x) をもって来る。
f(x) = (2n)!/{Γ(x+1)Γ(2n-x+1)} + (3n)!/{Γ(x+1)Γ(3n-x+1)},
の極大を x=k とする。
=============================================
n k f(k) f(3n/2)
---------------------------------------------
1 1.28453 5.21648 5.09296 = 16/π
2 2.74024 24.4379 24
3 4.31935 143.648 142.79685
4 5.90302 953.290 952
5 7.45305 6718.72 6716.93673
6 8.97830 48842.4 48840
7 10.4902 361454 361451.0954
8 11.9957 2705980 2705976
9 13.4981 2.04249E+7 20424920.56107
10 14.9992 1.55133E+8 155133024
12 17.9999 9.07527E+9 9075269896
14 21.0000 5.38259E+11 538259058480
----------------------------------------------
f '(x) = 0 の根は 3n/2 の近くにあるから、ニュートン法
k ～ 3n/2 - f '(3n/2)/f "(3n/2)
で求めることも可能。
x = 3n/2 の辺りでは
(2n)!/{Γ(x+1)Γ(2n-x+1)} ～ 2^(4n)･(1/3)^(3n/2) √{4/(3nπ)}exp{-[ln(3) - 2/(3n)](x - 3n/2)},
f '(3n/2) ～ －2^(4n)･(1/3)^(3n/2) √{4/(3nπ)}･[ln(3) - 2/(3n)],
(3n)!/{Γ(x+1)Γ(3n-x+1)} ～ 2^(3n)･√{2/(3nπ)}exp{-[2(3n-1)/9nn](x - 3n/2)^2},
f "(3n/2) ～ －2^(3n)･√{2/(3nπ)}･[4(3n-1)/9nn],
Γ(n+1) = n! となるような実関数 Γ(x) をもって来る。
f(x) = (2n)!/{Γ(x+1)Γ(2n-x+1)} + (3n)!/{Γ(x+1)Γ(3n-x+1)},
の極大を x=k とする。
=============================================
n k f(k) f(3n/2)
---------------------------------------------
1 1.28453 5.21648 5.09296 = 16/π
2 2.74024 24.4379 24
3 4.31935 143.648 142.79685
4 5.90302 953.290 952
5 7.45305 6718.72 6716.93673
6 8.97830 48842.4 48840
7 10.4902 361454 361451.0954
8 11.9957 2705980 2705976
9 13.4981 2.04249E+7 20424920.56107
10 14.9992 1.55133E+8 155133024
12 17.9999 9.07527E+9 9075269896
14 21.0000 5.38259E+11 538259058480
----------------------------------------------
f '(x) = 0 の根は 3n/2 の近くにあるから、ニュートン法
k ～ 3n/2 - f '(3n/2)/f "(3n/2)
で求めることも可能。
x = 3n/2 の辺りでは
(2n)!/{Γ(x+1)Γ(2n-x+1)} ～ 2^(4n)･(1/3)^(3n/2) √{4/(3nπ)}exp{-[ln(3) - 2/(3n)](x - 3n/2)},
f '(3n/2) ～ －2^(4n)･(1/3)^(3n/2) √{4/(3nπ)}･[ln(3) - 2/(3n)],
(3n)!/{Γ(x+1)Γ(3n-x+1)} ～ 2^(3n)･√{2/(3nπ)}exp{-[2(3n-1)/9nn](x - 3n/2)^2},
f "(3n/2) ～ －2^(3n)･√{2/(3nπ)}･[4(3n-1)/9nn],
病院に行くんだから、きっと病気なんでしょう。
え、美容院ですか？それは失礼。
え、美容院ですか？それは失礼。
>>369
(cosθ - α){96(cosθ)^2 + (96α-1)cosθ + (96αα -α-72)}
(cosθ - α){96(cosθ)^2 + (96α-1)cosθ + (24/α)}
α = (1/24){(1/12) + [(1/12)^3 + 1746 - √62102]^(1/3) + [(1/12)^3 + 1746 + √62102]^(1/3)}
= 1.004643929533
ただし これを満たすようなθは存在しない。 OD=1/2 が意味不明･･･
(cosθ - α){96(cosθ)^2 + (96α-1)cosθ + (96αα -α-72)}
(cosθ - α){96(cosθ)^2 + (96α-1)cosθ + (24/α)}
α = (1/24){(1/12) + [(1/12)^3 + 1746 - √62102]^(1/3) + [(1/12)^3 + 1746 + √62102]^(1/3)}
= 1.004643929533
ただし これを満たすようなθは存在しない。 OD=1/2 が意味不明･･･
前>>379書きなおし。
円Kの中心(2,y)=(2,(3-4cosθ)/2sinθ)をOとすると、
△ABCの外接円の半径は、
OB=√{2^2+(3-4cosθ)^2/(2sinθ)^2
=√{4+(9-24cosθ+16cos^2θ)/4sin^2θ}
=√{16+9-24cosθ)/2sinθ
=√(25-24cosθ)/2sinθ
OD=√{(4+3cosθ-2)^2+{3sinθ-(3-4cosθ)/2sinθ}^2
=√{(2+3cosθ)^2+{3sinθ-(3-4cosθ)/2sinθ}^2
=√{4+12cosθ+9cos^2θ+9sin^2θ-3(3-4cosθ)+(9-24cosθ+16cos^2θ)/4sin^2θ}
=√{4+12cosθ+12cosθ+(9-24cosθ+16cos^2θ)/4sin^2θ}
=√(16sin^2θ+24･4sin^2θcosθ+9-24cosθ+16cos^2θ)/2sinθ
=√{25+96(1-cos^2θ)cosθ-24cosθ}/2sinθ
=√(25+72cosθ-96cos^3θ)/2sinθ
=√{25+24(3cosθ-4cos^3θ)/2sinθ
=√(25-24cos3θ)/2sinθ
(外接円の半径)+1/2=ODより、
√(25-24cosθ)/2sinθ+1/2=√(25-24cos3θ)/2sinθ
辺々2sinθ掛けて、
√(25-24cosθ)+sinθ=√(25-24cos3θ)
sinθ=√(25-24cos3θ)
-√(25-24cosθ)
円Kの中心(2,y)=(2,(3-4cosθ)/2sinθ)をOとすると、
△ABCの外接円の半径は、
OB=√{2^2+(3-4cosθ)^2/(2sinθ)^2
=√{4+(9-24cosθ+16cos^2θ)/4sin^2θ}
=√{16+9-24cosθ)/2sinθ
=√(25-24cosθ)/2sinθ
OD=√{(4+3cosθ-2)^2+{3sinθ-(3-4cosθ)/2sinθ}^2
=√{(2+3cosθ)^2+{3sinθ-(3-4cosθ)/2sinθ}^2
=√{4+12cosθ+9cos^2θ+9sin^2θ-3(3-4cosθ)+(9-24cosθ+16cos^2θ)/4sin^2θ}
=√{4+12cosθ+12cosθ+(9-24cosθ+16cos^2θ)/4sin^2θ}
=√(16sin^2θ+24･4sin^2θcosθ+9-24cosθ+16cos^2θ)/2sinθ
=√{25+96(1-cos^2θ)cosθ-24cosθ}/2sinθ
=√(25+72cosθ-96cos^3θ)/2sinθ
=√{25+24(3cosθ-4cos^3θ)/2sinθ
=√(25-24cos3θ)/2sinθ
(外接円の半径)+1/2=ODより、
√(25-24cosθ)/2sinθ+1/2=√(25-24cos3θ)/2sinθ
辺々2sinθ掛けて、
√(25-24cosθ)+sinθ=√(25-24cos3θ)
sinθ=√(25-24cos3θ)
-√(25-24cosθ)
>>373
いや、行く意味ないとは言ってないよ。就職は分野によりけりやろ。
逆に趣味レベルじゃなくて数学したいなら院行く以外に方法ないからわざわざ質問しないだろと思い。
いや、行く意味ないとは言ってないよ。就職は分野によりけりやろ。
逆に趣味レベルじゃなくて数学したいなら院行く以外に方法ないからわざわざ質問しないだろと思い。
逆に院行ってはいけない理由ってなんだよ。
いけない理由は経済的事情等あるだろうが。
行くかどうかは個人の自由だし。
いけない理由は経済的事情等あるだろうが。
行くかどうかは個人の自由だし。
f(x)=x＾(n-1) logx
f(x)の第n次導関数
ライプニッツの公式を使うんやと思うが…
f(x)の第n次導関数
ライプニッツの公式を使うんやと思うが…
分からない問題というか、恥ずかしいくらい初歩的な質問があります。液体の濃度についてです。
いま趣味で香水造りをしてます。
材料はアロマオイルとエタノール。
オイルが原液で、エタノールで薄めるといった感じです。
たとえは３０パーセントの濃度の香水を作る時は、
オイル3mlにたいしてエタノールは10mlですか？7mlですか？
いま趣味で香水造りをしてます。
材料はアロマオイルとエタノール。
オイルが原液で、エタノールで薄めるといった感じです。
たとえは３０パーセントの濃度の香水を作る時は、
オイル3mlにたいしてエタノールは10mlですか？7mlですか？
濃度の定義による
マクロとかそっちわかる人おらん？
化学の話になるが
溶液の体積は溶媒と溶質の体積の和にならないことが多い
液体同士の混合液でも同様
そうした事情から重量％と比べて体積％はあまり使われない
溶液の体積は溶媒と溶質の体積の和にならないことが多い
液体同士の混合液でも同様
そうした事情から重量％と比べて体積％はあまり使われない
>>386
f_n(x) = x^(n-1) log(x),
D f_n(x) = x^(n-2){1 + (n-1)log(x)},
これを n-1 回微分すると
D^n f_n(x) = (n-1) D^(n-1) {x^(n-2) log(x)}
nについての帰納法で
D^n f_n(x) = (n-1)!/x,
f_n(x) = x^(n-1) log(x),
D f_n(x) = x^(n-2){1 + (n-1)log(x)},
これを n-1 回微分すると
D^n f_n(x) = (n-1) D^(n-1) {x^(n-2) log(x)}
nについての帰納法で
D^n f_n(x) = (n-1)!/x,
香水の世界ではオイル3mlをエタノール7mlと混ぜてると30％と呼んでいるかも知れないな、比重がどうであるかとか出来上がりが何mlなのかとかは無視して
もうそうなると数学でも物理でも化学でもないので香水の専門家に確認するしかなくなるけど
もうそうなると数学でも物理でも化学でもないので香水の専門家に確認するしかなくなるけど
>>386
〔類題〕
f_n(x) = x^(n-1) log(x),
のとき
D^k f_n(x) = x^(n-1-k) {(n-1)(n-2)････(n-k)log(x) + Σ[j=0,k-1] (-1)^(k-1-j) (n-1)(n-2)････(n-j)/[j!(k-j)]}
を示せ。
〔類題〕
f_n(x) = x^(n-1) log(x),
のとき
D^k f_n(x) = x^(n-1-k) {(n-1)(n-2)････(n-k)log(x) + Σ[j=0,k-1] (-1)^(k-1-j) (n-1)(n-2)････(n-j)/[j!(k-j)]}
を示せ。
皆様
どうもありがとうございました。単純に考えていてよかったようで安心しました。
疑問が解消しました。これでこんばんは寝香水とともにぐっすり寝れそうです。
どうもありがとうございました。単純に考えていてよかったようで安心しました。
疑問が解消しました。これでこんばんは寝香水とともにぐっすり寝れそうです。
７００
d＾2x/dt＾2+3dx/dt+2x=t＾2+tの一般解
教えてクレメンス
教えてクレメンス
ます多項式からなる特殊解求めてクレメンス。
微分方程式かぁ…
>>401
特殊解は2次式で x(t) = tt/2 -t +1,
斉次方程式
(DD+3D+2)x(t) = (D+1)(D+2)x(t) = 0,
より、斉次解は
x(t) = C1 e^(-t) + C2 e^(-2t),
特殊解は2次式で x(t) = tt/2 -t +1,
斉次方程式
(DD+3D+2)x(t) = (D+1)(D+2)x(t) = 0,
より、斉次解は
x(t) = C1 e^(-t) + C2 e^(-2t),
cos(x)-sin(x)+x=cos(t)-1をxについて解きたいのですがどうすれば
R^nではある点の近傍に対し、それに含まれるような真に小さい近傍がとれますが、そのような空間に名前はついているのでしょうか？
>>405
厳密に解くのは難しそうだ･･･ 近似解なら出るだろうけど。
x軸をずらして
x = X - (3π/4)
とおく。与式は
X + (√2)sin(X) = cos(t) +(3π/4) -1 = (1+√2)Y,
(3π/4) -2 ≦ (右辺) ≦ 3π/4,
0.14785581945 ≦ X ≦ 1.0974663127
左辺はXの奇関数で、マクローリン展開すると
Y = a{X/√2 + sin(X)} = X + a{-(1/3!)X^3 +(1/5!)X^5 -(1/7!)X^7 +(1/9!)X^9 - ････},
ただし a = 2-√2 = 0.585786437627
逆に解くと
X = Y + (a/6)Y^3 +(aa/12 - a/5!)Y^5 + (a^3/18 -aa/90 +a/7!)Y^7 + (55a^4/1296 -11a^3/864 +41aa/60480^a/9!)Y^9 + ････
厳密に解くのは難しそうだ･･･ 近似解なら出るだろうけど。
x軸をずらして
x = X - (3π/4)
とおく。与式は
X + (√2)sin(X) = cos(t) +(3π/4) -1 = (1+√2)Y,
(3π/4) -2 ≦ (右辺) ≦ 3π/4,
0.14785581945 ≦ X ≦ 1.0974663127
左辺はXの奇関数で、マクローリン展開すると
Y = a{X/√2 + sin(X)} = X + a{-(1/3!)X^3 +(1/5!)X^5 -(1/7!)X^7 +(1/9!)X^9 - ････},
ただし a = 2-√2 = 0.585786437627
逆に解くと
X = Y + (a/6)Y^3 +(aa/12 - a/5!)Y^5 + (a^3/18 -aa/90 +a/7!)Y^7 + (55a^4/1296 -11a^3/864 +41aa/60480^a/9!)Y^9 + ････
sinxのn-1乗を微分して
(n-1)(sinx)^(n-2)(cosx)になるのが答えなんですけども途中式と考え方がわかりません
教えてください
(n-1)(sinx)^(n-2)(cosx)になるのが答えなんですけども途中式と考え方がわかりません
教えてください
m>n
X:m次元の境界つき多様体
N:n次元の多様体
f:X→N 滑らか
y∈Nがfとfの境界への制限f|∂Xの双方に対して正則値⇒f^-1(y)⊂Xは境界のある滑らかなm-n次元多様体である。さらに、境界∂(f^-1(y))はf^-1(y)と∂Xの共通部分に一致する
お願いします…
X:m次元の境界つき多様体
N:n次元の多様体
f:X→N 滑らか
y∈Nがfとfの境界への制限f|∂Xの双方に対して正則値⇒f^-1(y)⊂Xは境界のある滑らかなm-n次元多様体である。さらに、境界∂(f^-1(y))はf^-1(y)と∂Xの共通部分に一致する
お願いします…
>>408
(f(g(x)))'＝f'(g(x))・g'(x)
f(y)＝y^(n-1)
g(x)＝sin x
(f(g(x)))'＝f'(g(x))・g'(x)
f(y)＝y^(n-1)
g(x)＝sin x
行列の質問した人です
皆さんありがとうございました
皆さんありがとうございました
>>407 (続き)
a = 2-√2 だから
X = Y + {(2-√2)/3!}Y^3 + {(58-39√2)/5!}Y^5 + {(5266-3697√2)/7!}Y^7 + {(956274-675503√2)/9!}Y^9 + ････
ここに
X = x + (3π/4),
Y = (√2 -1){cos(t) -1 +(3π/4)},
a = 2-√2 だから
X = Y + {(2-√2)/3!}Y^3 + {(58-39√2)/5!}Y^5 + {(5266-3697√2)/7!}Y^7 + {(956274-675503√2)/9!}Y^9 + ････
ここに
X = x + (3π/4),
Y = (√2 -1){cos(t) -1 +(3π/4)},
キンタマの振動を記述せよ
>>412
y = 2{1 - cos(√x)} = Σ[k=1,∞] (-1)^(k-1) {2/(2k)!} x^k,
のとき
x = {Arccos(1 - y/2)}^2 = Σ[n=1,∞] {2･(n-1)!(n-1)!/(2n)!} y^n,
y = 2{cosh(√x) － 1} = Σ[k=1,∞] {2/(2k)!} x^k,
のとき
x = {2･log[(√(4+y) + √y)/2] }^2 = Σ[n=1,∞] (-1)^(n-1) {2･(n-1)!(n-1)!/(2n)!} y^n,
y = 2{1 - cos(√x)} = Σ[k=1,∞] (-1)^(k-1) {2/(2k)!} x^k,
のとき
x = {Arccos(1 - y/2)}^2 = Σ[n=1,∞] {2･(n-1)!(n-1)!/(2n)!} y^n,
y = 2{cosh(√x) － 1} = Σ[k=1,∞] {2/(2k)!} x^k,
のとき
x = {2･log[(√(4+y) + √y)/2] }^2 = Σ[n=1,∞] (-1)^(n-1) {2･(n-1)!(n-1)!/(2n)!} y^n,
>>412
y = (4!/2)[cos(x^{1/4}) + cosh(x^{1/4}) -2] = x + Σ[k=2,∞] {4!/(4k)!} x^k,
のとき
x = y - (4!/8!)y^2 + (4･23/7)(4!/12!)y^3 - (12･461/7)(4!/16!)y^4 + (32･340591/77)(4!/20!)y^5 - ････
y = (4!/2)[cos(x^{1/4}) + cosh(x^{1/4}) -2] = x + Σ[k=2,∞] {4!/(4k)!} x^k,
のとき
x = y - (4!/8!)y^2 + (4･23/7)(4!/12!)y^3 - (12･461/7)(4!/16!)y^4 + (32･340591/77)(4!/20!)y^5 - ････
AB=ACの二等辺三角形△ABCの辺BCの中点をDとする。
線分AD上を動く点Pを考える。APからABに下ろした垂線の足をH、DPからACに下ろした垂線の足をIとするとき、PH+PIの最大値を求めよ。
線分AD上を動く点Pを考える。APからABに下ろした垂線の足をH、DPからACに下ろした垂線の足をIとするとき、PH+PIの最大値を求めよ。
高校数学です
(a+b)^3 - 3ab(a+b) + c^3 - 3abc
と
(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
が同じであることは展開すれば分かるのですが
上式を下式へ変換する方法が分からないです
教えてください
(a+b)^3 - 3ab(a+b) + c^3 - 3abc
と
(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
が同じであることは展開すれば分かるのですが
上式を下式へ変換する方法が分からないです
教えてください
まず (a+b)^3 + c^3 を因数分解
わかりにくければ a+b = t とでもおけ
わかりにくければ a+b = t とでもおけ
>>422
(a+b)^3 + c^3と- 3ab(a+b) - 3abcを別々にまとめてみる
(a+b)^3 + c^3は（a+b+c)^3から余計なものを引くという形にするとその余計なものも（a+b+c)を因数に持つことがわかる
- 3ab(a+b) - 3abcはまとめれば（a+b+c)を因数に持つことがわかる
従って全体も(a+b+c)でくくれるとわかる
あとは整理するだけ
(a+b)^3 + c^3と- 3ab(a+b) - 3abcを別々にまとめてみる
(a+b)^3 + c^3は（a+b+c)^3から余計なものを引くという形にするとその余計なものも（a+b+c)を因数に持つことがわかる
- 3ab(a+b) - 3abcはまとめれば（a+b+c)を因数に持つことがわかる
従って全体も(a+b+c)でくくれるとわかる
あとは整理するだけ
>>422
- 3ab(a+b) - 3abcがa+b+cを因数に持つことはすぐにわかるだろう
(a+b)^3 + c^3がa+b+cを因数に持つことはx^3+y^3の因数分解を覚えていればすぐにわかる
自分はすっかり忘れていたので因数定理で考えたけど現役生ならすぐに気づくように慣れておくべき
- 3ab(a+b) - 3abcがa+b+cを因数に持つことはすぐにわかるだろう
(a+b)^3 + c^3がa+b+cを因数に持つことはx^3+y^3の因数分解を覚えていればすぐにわかる
自分はすっかり忘れていたので因数定理で考えたけど現役生ならすぐに気づくように慣れておくべき
>>422
(a+b)^3 - 3ab(a+b) + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
=(a+b+c)((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)/2
=a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a+ωb+ω^2c) (a+ω^2b+ωc)
ω^3=1,ω^2+ω+1=0
(a+b)^3 - 3ab(a+b) + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
=(a+b+c)((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)/2
=a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a+ωb+ω^2c) (a+ω^2b+ωc)
ω^3=1,ω^2+ω+1=0
すいません間違えたので再掲します
【問題】
AB=ACの二等辺三角形△ABCの辺BCの中点をDとする。
線分AD上を動く点Pを考える。APからABに下ろした垂線の足をHとするとき、PH+PCの最大値を求めよ。
【問題】
AB=ACの二等辺三角形△ABCの辺BCの中点をDとする。
線分AD上を動く点Pを考える。APからABに下ろした垂線の足をHとするとき、PH+PCの最大値を求めよ。
足ってなんぞ？
>>430
垂線がABにぶつかるところ
最近は使われない言葉らしいな
足のない人に対する差別だとかなんとか
言葉狩りもこんなところまで来たのかと
垂線がABにぶつかるところ
最近は使われない言葉らしいな
足のない人に対する差別だとかなんとか
言葉狩りもこんなところまで来たのかと
20162以上の自然数は、2つの過剰数の和で表されることが既に証明されている。
では、28123を2つの過剰数の和で表せ。
では、28123を2つの過剰数の和で表せ。
>>418
X = √x, Y = √y とおくと････
Y = 2 sin(X/2) = Σ[k=0,∞] (-1)^k /[(2k+1)!･(4^k)] X^(2k+1),
のとき
X = 2 Arcsin(Y/2) = Σ[n=0,∞] C(2n,n)/[(2n+1)･16^n] Y^(2n+1),
Y = 2 sinh(X/2) = Σ[k=0,∞] 1/[(2k+1)!･(4^k)] X^(2k+1),
のとき
X = 2 log[{Y+√(4+YY)}/2] = Σ[n=0,∞] (-1)^n･C(2n,n)/[(2n+1)･16^n] Y^(2n+1),
X = √x, Y = √y とおくと････
Y = 2 sin(X/2) = Σ[k=0,∞] (-1)^k /[(2k+1)!･(4^k)] X^(2k+1),
のとき
X = 2 Arcsin(Y/2) = Σ[n=0,∞] C(2n,n)/[(2n+1)･16^n] Y^(2n+1),
Y = 2 sinh(X/2) = Σ[k=0,∞] 1/[(2k+1)!･(4^k)] X^(2k+1),
のとき
X = 2 log[{Y+√(4+YY)}/2] = Σ[n=0,∞] (-1)^n･C(2n,n)/[(2n+1)･16^n] Y^(2n+1),
>>419
X = x^{1/4}, Y = y^{1/4} とおくと････
Y^4 = (4!/2)[cos(X) + cosh(X) -2] = X + Σ[k=2,∞] {4!/(4k)!} X^{4k},
のとき
X = Y - (1/4)(4!/8!)Y^5 + (1175/448)(4!/12!)Y^9 - (18375/128)(4!/16!)Y^13 + (7698965625/315392)(1/20!)^17 - ････
X = x^{1/4}, Y = y^{1/4} とおくと････
Y^4 = (4!/2)[cos(X) + cosh(X) -2] = X + Σ[k=2,∞] {4!/(4k)!} X^{4k},
のとき
X = Y - (1/4)(4!/8!)Y^5 + (1175/448)(4!/12!)Y^9 - (18375/128)(4!/16!)Y^13 + (7698965625/315392)(1/20!)^17 - ････
>>432
28123は奇数だから、奇数と偶数の組合せ。
そこで原始的過剰数をさがす。 http://oeis.org/A091191
奇数の原始的過剰数 < 28123 (36個)
945, 1575, 2205, 3465, 4095, 5355, 5775, 5985, 6435, 6825,
7245, 7425, 8085, 8415, 8925, 9135, ９５５５, 9765, 11655, 12705,
12915, 13545, 14805, 15015, 16695, 18585, 19215, 19635, 21105, 21945,
22365, 22995, 24885, 25935, 26565, ２８０３５.
(奇数の完全数は未発見)
偶数の原始的過剰数
12, 18, 20, 30, 42, 56, 66, 70, 78, ８８,
102, 104, 114, 138, 174, 186, 196, 222, 246, 258,
272, 282, 304, 308, 318, 354, 364, 366, 368, 402,
426, 438, 464, 474, 476, 498, 532, 534, 550, 572,
582, 606, 618, 642, 644, 650, 654,
678, 748, 762, 786, 812, 822, ････
(偶数の完全数は 6, 28, 496, 8128, ････)
以上により
28123 = 28035 + 88,
28123 = 9555 + (88*211),
28123は奇数だから、奇数と偶数の組合せ。
そこで原始的過剰数をさがす。 http://oeis.org/A091191
奇数の原始的過剰数 < 28123 (36個)
945, 1575, 2205, 3465, 4095, 5355, 5775, 5985, 6435, 6825,
7245, 7425, 8085, 8415, 8925, 9135, ９５５５, 9765, 11655, 12705,
12915, 13545, 14805, 15015, 16695, 18585, 19215, 19635, 21105, 21945,
22365, 22995, 24885, 25935, 26565, ２８０３５.
(奇数の完全数は未発見)
偶数の原始的過剰数
12, 18, 20, 30, 42, 56, 66, 70, 78, ８８,
102, 104, 114, 138, 174, 186, 196, 222, 246, 258,
272, 282, 304, 308, 318, 354, 364, 366, 368, 402,
426, 438, 464, 474, 476, 498, 532, 534, 550, 572,
582, 606, 618, 642, 644, 650, 654,
678, 748, 762, 786, 812, 822, ････
(偶数の完全数は 6, 28, 496, 8128, ････)
以上により
28123 = 28035 + 88,
28123 = 9555 + (88*211),
>>429
BC = a, AB = AC = b, AP = p とおくと
AD = √(bb-aa/4),
DH = (a/2b)√(bb-aa/4),
点Pは線分AD上を動く。
PHはpに比例するが、PC = √{(AD-p)^2 + (a/2)^2} はpについて下に凸。
ゆえに PH+PCもpについて下に凸で、端点(A，D)のいずれかで最大値をとる。
よって
b ≧ b0 のとき ｂ
b < b0 のとき (a/2b)√(bb-aa/4)} + (a/2)
ここに
b0 = (1/6){1 + (19-3√33)^(1/3) + (19+3√33)^(1/3)}a = 0.9196433776a,
BC = a, AB = AC = b, AP = p とおくと
AD = √(bb-aa/4),
DH = (a/2b)√(bb-aa/4),
点Pは線分AD上を動く。
PHはpに比例するが、PC = √{(AD-p)^2 + (a/2)^2} はpについて下に凸。
ゆえに PH+PCもpについて下に凸で、端点(A，D)のいずれかで最大値をとる。
よって
b ≧ b0 のとき ｂ
b < b0 のとき (a/2b)√(bb-aa/4)} + (a/2)
ここに
b0 = (1/6){1 + (19-3√33)^(1/3) + (19+3√33)^(1/3)}a = 0.9196433776a,
商位相のwikipediaに「開でも閉でもない商写像の例を構成するのはそう難しくない」って書いてるんだけど実際どんなのがあるんでしょうか
nを自然数、pを素数とするとき、
(n^2+1)(5n^2+9)-2p
が平方数となる(n,p)の組が無数に存在することを示せ。
(n^2+1)(5n^2+9)-2p
が平方数となる(n,p)の組が無数に存在することを示せ。
1000以上の任意の長さを等分し、答えがなるべく500に近くなる公式があれば便利なんで誰か教えてください
等分する数は整数、答えは整数じゃなくても大丈夫です
等分する数は整数、答えは整数じゃなくても大丈夫です
>>439
例えば閉区間[0,3]=Xの部分集合Aを
A={0}∪(1,2)
と定めると、商写像X→X/Aは開でも閉でもありません
ちなみにX/Aはハウスドルフでない位相空間です
例えば閉区間[0,3]=Xの部分集合Aを
A={0}∪(1,2)
と定めると、商写像X→X/Aは開でも閉でもありません
ちなみにX/Aはハウスドルフでない位相空間です
1. 全体集合Uを9以下の自然数とし, U の部分集合を A = {xEU; x は偶数 }, B = {x in U; x<=6}, C = {5,6,7}とする。以下の (1)-(5) の集合を、例にならって外延的記法で書き下せ(例: C = {1, 2,3,4,8,9)
(1) Aバー, (2) A∩ B, (3) AUC, (4) A∩B∩C, (5) (A∩Bバー）バー∩C
6. 写像 f : R → R, x → x^2+1と写像g: R → R, x → COSx について,合成写像gof と fogを
答えよ
7. 以下の陳述 (1)-(6) は命題か否か答えよ、命題ならば,その真偽もTまたは F で答えよ(Tは
真、Fは偽を表す)
(1) 10000は大きな数である。
(2) 2.018は有理数である。
(3) (all x in R)(x^4-2x^2+1 > 0)
(4) (exist x ∈ R) (x^3 - x^2+ x - 1 = 0)
(5) (all c in R)exist x in R)(x^4-c=0)
(6) (all(x, y) in R)(xy not = 0 → x^2+y^2 > 0)
8. P.O.Rは命題とする。以下の論理式 (1)-(5) の真理値を,PとQがT(真)、RがF(偽)の場合について計算し、TまたFで答えよ。
(1) notP, (2) P∩Q (3) QVR,
(4) PV(Q∩-R), (5) (PAnotQ) → R
9. 全体集合をU = {x in Z ;0<=x<=9}とする.U上の命題関数 p(x), q(x) を,それぞれ, p(r):x^3 - 7x^2 +10x = 0, および,q(x):x<=4と定義する。以下の問 (1)-(4) に答えよ.
(1) 真理集合 P = {x in U;p(x)が真}を外延的記法で答えよ.
(2) 真理集合Q={x in U;q(x)が真}を外延的記法で答えよ.
(3) (p(x)∩g(x)の真理集合をS1とする.S1をPとQで表し、さらに外延的記法で答えよ。
(4)not(p(x)Vq(x))の真理集合を S2 とする。S2をPバーとQバーで表し、さらに外延的記法で答えよ。
(1) Aバー, (2) A∩ B, (3) AUC, (4) A∩B∩C, (5) (A∩Bバー）バー∩C
6. 写像 f : R → R, x → x^2+1と写像g: R → R, x → COSx について,合成写像gof と fogを
答えよ
7. 以下の陳述 (1)-(6) は命題か否か答えよ、命題ならば,その真偽もTまたは F で答えよ(Tは
真、Fは偽を表す)
(1) 10000は大きな数である。
(2) 2.018は有理数である。
(3) (all x in R)(x^4-2x^2+1 > 0)
(4) (exist x ∈ R) (x^3 - x^2+ x - 1 = 0)
(5) (all c in R)exist x in R)(x^4-c=0)
(6) (all(x, y) in R)(xy not = 0 → x^2+y^2 > 0)
8. P.O.Rは命題とする。以下の論理式 (1)-(5) の真理値を,PとQがT(真)、RがF(偽)の場合について計算し、TまたFで答えよ。
(1) notP, (2) P∩Q (3) QVR,
(4) PV(Q∩-R), (5) (PAnotQ) → R
9. 全体集合をU = {x in Z ;0<=x<=9}とする.U上の命題関数 p(x), q(x) を,それぞれ, p(r):x^3 - 7x^2 +10x = 0, および,q(x):x<=4と定義する。以下の問 (1)-(4) に答えよ.
(1) 真理集合 P = {x in U;p(x)が真}を外延的記法で答えよ.
(2) 真理集合Q={x in U;q(x)が真}を外延的記法で答えよ.
(3) (p(x)∩g(x)の真理集合をS1とする.S1をPとQで表し、さらに外延的記法で答えよ。
(4)not(p(x)Vq(x))の真理集合を S2 とする。S2をPバーとQバーで表し、さらに外延的記法で答えよ。
>>411
n = 500q + r, (0≦r<500)
n/(q+1) < 500 ≦ n/q,
どちらが 500 に近いか？
n/(q+1) + n/q - 1000
= n(2q+1)/(q(q+1)) - 1000
= ((2q+1)r -500q)/(q(q+1)),
よって
0 ≦ r < 500q/(2q+1) のとき n/q - 500 < 500 - n/(q+1),
500q/(2q+1) ≦ r < 500 のとき n/q - 500 ≧ 500 - n/(q+1),
答え
1000(q-1)q/(2q-1) < n ≦ 1000q (q+1)/(2q+1) のときq等分する。
n = 500q + r, (0≦r<500)
n/(q+1) < 500 ≦ n/q,
どちらが 500 に近いか？
n/(q+1) + n/q - 1000
= n(2q+1)/(q(q+1)) - 1000
= ((2q+1)r -500q)/(q(q+1)),
よって
0 ≦ r < 500q/(2q+1) のとき n/q - 500 < 500 - n/(q+1),
500q/(2q+1) ≦ r < 500 のとき n/q - 500 ≧ 500 - n/(q+1),
答え
1000(q-1)q/(2q-1) < n ≦ 1000q (q+1)/(2q+1) のときq等分する。
>>444
ありがとうございます
実数Rを正(0含む)と負に分けた同値類とかでも良さそうですね
ハウスドルフについては未習だったのですが勉強になりました
ありがとうございます
実数Rを正(0含む)と負に分けた同値類とかでも良さそうですね
ハウスドルフについては未習だったのですが勉強になりました
真偽判定の問題
∀x∈R (x<1⇨∃y∈Q,x<r<1)
これって真であってるよね？
∀x∈R (x<1⇨∃y∈Q,x<r<1)
これって真であってるよね？
>>451
「『 ∀x∈R (x<1 ⇒ ∃r∈Q, x<r<1)』は真。」であってる。
という命題ね。
真であってるよ。
[1/(1-x)] + 1 = N, r = 1 - 1/N とおく。
「『 ∀x∈R (x<1 ⇒ ∃r∈Q, x<r<1)』は真。」であってる。
という命題ね。
真であってるよ。
[1/(1-x)] + 1 = N, r = 1 - 1/N とおく。
>>453
ありがとう！
あともう一つ
X={x∈R|0≦x<5｝ Y={y∈R|-10<y≦100}
この集合は対等であるかどうか。
対等でない場合は理由を答えよ。
全単射ではなく単射だから対等ではないで正解？
ありがとう！
あともう一つ
X={x∈R|0≦x<5｝ Y={y∈R|-10<y≦100}
この集合は対等であるかどうか。
対等でない場合は理由を答えよ。
全単射ではなく単射だから対等ではないで正解？
>>440
m^2 = (n^2+1)(5n^2+9)-2p
とする。
(n^2+1)(5n^2+9) ≡ 1,4 (mod 8)
だから
(n^2+1)(5n^2+9) - m^2 ≡ 0,4,1,3,5,7 (mod 8)
ゆえにp=2が必要で(n^2+1)(5n^2+9)-4が平方数になるものが無限にないとだめだけどn≦100000でひとつもないんだけど？
m^2 = (n^2+1)(5n^2+9)-2p
とする。
(n^2+1)(5n^2+9) ≡ 1,4 (mod 8)
だから
(n^2+1)(5n^2+9) - m^2 ≡ 0,4,1,3,5,7 (mod 8)
ゆえにp=2が必要で(n^2+1)(5n^2+9)-4が平方数になるものが無限にないとだめだけどn≦100000でひとつもないんだけど？
>>455
あれ？
(n^2+1)(5n^2+9)-4=5(n^2+1)^2だから平方数になるわけない。
解無しじゃないの？
あれ？
(n^2+1)(5n^2+9)-4=5(n^2+1)^2だから平方数になるわけない。
解無しじゃないの？
>>455
(n^2+1)(5n^2+9)-4 ≡ 5,8,13 (mod 16)
ゆえに左辺は平方数でない
(n^2+1)(5n^2+9)-4 ≡ 5,8,13 (mod 16)
ゆえに左辺は平方数でない
X={x∈R|0≦x<5}
A={a∈R|-5<a≦0}
B={b∈R|-110<b≦0}
Y={y∈R|-10<y≦100}
XとAはxをa=-xに写すことで対等
AとBはaをb=22aに写すことで対等
BとYはbをy=b+100に写すことで対等
対等は同値関係だからXとYも対等
A={a∈R|-5<a≦0}
B={b∈R|-110<b≦0}
Y={y∈R|-10<y≦100}
XとAはxをa=-xに写すことで対等
AとBはaをb=22aに写すことで対等
BとYはbをy=b+100に写すことで対等
対等は同値関係だからXとYも対等
>>455
n = 4q + r (0≦r<4)
とおくと
(nn+1)(5nn+9) = 32{40q^3 + 40rq^2 + (15rr+7)q + 5r(r+1)(r-1)/2 + 6r}q + (rr+1)(5rr+9)
≡ (rr+1)(5rr+9) (mod 32)
≡ 9, -4, 17 (mod 32)
≡ 1, 4 (mod 8)
mm ≡ 0, 1, 4 (mod 8)
n = 4q + r (0≦r<4)
とおくと
(nn+1)(5nn+9) = 32{40q^3 + 40rq^2 + (15rr+7)q + 5r(r+1)(r-1)/2 + 6r}q + (rr+1)(5rr+9)
≡ (rr+1)(5rr+9) (mod 32)
≡ 9, -4, 17 (mod 32)
≡ 1, 4 (mod 8)
mm ≡ 0, 1, 4 (mod 8)
>>455
m = 4q + r (0≦r<4)
とおく。
qが偶数のとき
mm = 16qq + 8rq + rr ≡ rr (mod 16)
qが奇数のとき
mm = 16qq + 8r(q+1) -16 + (4-r)^2 ≡ (4-r)^2 (mod 16)
よって
mm ≡ 0,1,4,9 (mod 16)
m = 4q + r (0≦r<4)
とおく。
qが偶数のとき
mm = 16qq + 8rq + rr ≡ rr (mod 16)
qが奇数のとき
mm = 16qq + 8r(q+1) -16 + (4-r)^2 ≡ (4-r)^2 (mod 16)
よって
mm ≡ 0,1,4,9 (mod 16)
この問題オナシャス特に(2)(3)おね
http://imgur.com/a/TqsoVur
http://imgur.com/a/TqsoVur
>>462
(1)Aは実部が2の直線
Bは角度が5π/4 から3π/2の面
cは-1+iを中心とする半径1の円で おけ？
(1)Aは実部が2の直線
Bは角度が5π/4 から3π/2の面
cは-1+iを中心とする半径1の円で おけ？
>>462
全部成分表示でいけるけど
z=a+biで
あとは座標平面で(a,b)の軌跡と領域を考えるだけ
全部成分表示でいけるけど
z=a+biで
あとは座標平面で(a,b)の軌跡と領域を考えるだけ
>>461
(8±r)^2 = 64 ±16r +rr ≡ rr (mod 16)
∴ |r| ≦ 4 で考えて
mm ≡ 0,1,4,9 (mod 16)
(8±r)^2 = 64 ±16r +rr ≡ rr (mod 16)
∴ |r| ≦ 4 で考えて
mm ≡ 0,1,4,9 (mod 16)
X≠∅:弧状連結
X=A∪B
A∩B≠∅:弧状連結
⇒A,B:弧状連結
は正しいですか？
X=A∪B
A∩B≠∅:弧状連結
⇒A,B:弧状連結
は正しいですか？
半径1の円Cに内接する正N角形の面積をS[N]、Cに外接する正N角形の面積をT[N]とする。このとき、以下の式でn→∞としたときの極限を求めよ。
（1）(T[7(n+1)] -T[7n])/(S[7(n+1)] -S[7n])
（2）(T[7(n+1)] -S[7n])/(S[7(n+1)] -T[7n])
（1）(T[7(n+1)] -T[7n])/(S[7(n+1)] -S[7n])
（2）(T[7(n+1)] -S[7n])/(S[7(n+1)] -T[7n])
>>468
マクローリン展開で
S[N] = (N/2)sin(2π/N) = π{1 -(1/3!)(2π/N)^2 +(1/5!)(2π/N)^4 -(1/7!)(2π/N)^6 + ････ }
T[N] = N tan(π/N) = π{1 +(1/3)(π/N)^2 +(2/15)(π/N)^4 +(17/315)(π/N)^6 + ････ }
(1)
S[M] - S[N] = -(2/3)π(1/MM -1/NN){1 -(1/5)ππ･(1/MM+1/NN) +(2/105)π^4･(1/M^4 +1/(MMNN) +1/N^4) - ････ }
T[M] - T[N] = (1/3)π(1/MM -1/NN){1 +(2/5)ππ･(1/MM+1/NN) +(17/105)π^4･(1/M^4 +1/(MMNN) +1/N^4) + ････ }
辺々割ると
(T[M]-T[N])/(S[M]-S[N]) = -(1/2){1 +(3/5)ππ(1/MM+1/NN) +(1/175)π^4(46/M^4 +67/(MMNN) +46/N^4) + ･･･ }
(M, N)→(∞, ∞) のとき -1/2 に収束。
(2)
T[M] - S[N] = π{(ππ/3)(1/MM +2/NN) + (2/15)π^4･(1/M^4 -1/N^4) + ････ }
S[M] - T[N] = π{-(ππ/3)(2/MM +1/NN) + (2/15)π^4･(1/M^4 -1/N^4) + ････ }
辺々割って
(T[M]-S[N])/(S[M]-T[N]) → -(1/MM +2/NN)/(2/MM +1/NN) = g(M/N)
-2 ≦ g ≦ -1/2,
マクローリン展開で
S[N] = (N/2)sin(2π/N) = π{1 -(1/3!)(2π/N)^2 +(1/5!)(2π/N)^4 -(1/7!)(2π/N)^6 + ････ }
T[N] = N tan(π/N) = π{1 +(1/3)(π/N)^2 +(2/15)(π/N)^4 +(17/315)(π/N)^6 + ････ }
(1)
S[M] - S[N] = -(2/3)π(1/MM -1/NN){1 -(1/5)ππ･(1/MM+1/NN) +(2/105)π^4･(1/M^4 +1/(MMNN) +1/N^4) - ････ }
T[M] - T[N] = (1/3)π(1/MM -1/NN){1 +(2/5)ππ･(1/MM+1/NN) +(17/105)π^4･(1/M^4 +1/(MMNN) +1/N^4) + ････ }
辺々割ると
(T[M]-T[N])/(S[M]-S[N]) = -(1/2){1 +(3/5)ππ(1/MM+1/NN) +(1/175)π^4(46/M^4 +67/(MMNN) +46/N^4) + ･･･ }
(M, N)→(∞, ∞) のとき -1/2 に収束。
(2)
T[M] - S[N] = π{(ππ/3)(1/MM +2/NN) + (2/15)π^4･(1/M^4 -1/N^4) + ････ }
S[M] - T[N] = π{-(ππ/3)(2/MM +1/NN) + (2/15)π^4･(1/M^4 -1/N^4) + ････ }
辺々割って
(T[M]-S[N])/(S[M]-T[N]) → -(1/MM +2/NN)/(2/MM +1/NN) = g(M/N)
-2 ≦ g ≦ -1/2,
>>467,472
例えば
X=(0,4)
A=(0,2)∪(3,4)
B=(1,3]
ならば
X=A∪B
A∩B=(1,2)
例えば
X=(0,4)
A=(0,2)∪(3,4)
B=(1,3]
ならば
X=A∪B
A∩B=(1,2)
M/N が 収束すれば g(M/N) も収束する。
本問では M = 7(n+1), N = 7n だから
M/N = (n+1)/n → 1 (n→∞)
g(M/N) = g((n+1)/n) → g(1) = -1 (n→∞)
本問では M = 7(n+1), N = 7n だから
M/N = (n+1)/n → 1 (n→∞)
g(M/N) = g((n+1)/n) → g(1) = -1 (n→∞)
>>476
開集合だと仮定すると、Iのコンパクト性から示すことができますね。ありがとうございました。
開集合だと仮定すると、Iのコンパクト性から示すことができますね。ありがとうございました。
「f(x)とg(x)がx=aで接するならばf(x)-g(x)=k(x-a)^2 と書ける」ことの証明をお願いします
うまく説明できませんがこの公式を使うときにもやもやするのです
うまく説明できませんがこの公式を使うときにもやもやするのです
fとgは何？
>>478,481
f(x)=k(x-a)^2+l(x-a)+m
g(x)=n(x-a)+o
とおける
f,gはx=aで接するので、
f(a)=g(a)
f'(a)=g'(a)
より、
m=o
l=n
よって、
f(x)-g(x)=k(x-a)^2
f(x)=k(x-a)^2+l(x-a)+m
g(x)=n(x-a)+o
とおける
f,gはx=aで接するので、
f(a)=g(a)
f'(a)=g'(a)
より、
m=o
l=n
よって、
f(x)-g(x)=k(x-a)^2
>>478
f(x), g(x) が多項式の場合も同様にして、
f(a) - g(a) = 0, (∵ x=a で一致する)
因数定理により
f(x) - g(x) = h(x)･(x-a),
x=a での傾きは
h(a) = f '(a) - g '(a) = 0, (∵ x=a で接する)
因数定理より
h(x) = k(x)･(x-a),
よって
f(x) - g(x) = k(x)･(x-a)^2,
f(x), g(x) が多項式の場合も同様にして、
f(a) - g(a) = 0, (∵ x=a で一致する)
因数定理により
f(x) - g(x) = h(x)･(x-a),
x=a での傾きは
h(a) = f '(a) - g '(a) = 0, (∵ x=a で接する)
因数定理より
h(x) = k(x)･(x-a),
よって
f(x) - g(x) = k(x)･(x-a)^2,
>>475
r>1 とする。
nが奇数のとき
M = r^n, N = r^(n+1), M/N = 1/r,
nが奇数)のとき
M = r^(n+1), N = r^n, M/N = r,
というジグザグ経路で (M,N) → (∞,∞) とした場合
M/N は振動する。
r>1 とする。
nが奇数のとき
M = r^n, N = r^(n+1), M/N = 1/r,
nが奇数)のとき
M = r^(n+1), N = r^n, M/N = r,
というジグザグ経路で (M,N) → (∞,∞) とした場合
M/N は振動する。
(2)が分かりません
解説お願いします
解説お願いします
>>485
| f(x) | = | ∫_{0}^{x} (x - t) * f''(t) dt | ≦ ∫_{0}^{x} | (x - t) * f''(t) | dt
= ∫_{0}^{x} (x - t) * | f''(t) | dt ≦ ∫_{0}^{x} (x - t) * x dt
= (1/2)*x^3 - (1/3)*x^3 = (1/6) * x^3 = x^3 / 3!
| f(x) | = | ∫_{0}^{x} (x - t) * f''(t) dt | ≦ ∫_{0}^{x} | (x - t) * f''(t) | dt
= ∫_{0}^{x} (x - t) * | f''(t) | dt ≦ ∫_{0}^{x} (x - t) * x dt
= (1/2)*x^3 - (1/3)*x^3 = (1/6) * x^3 = x^3 / 3!
以下の(A)と(B)を使います。
(A)
| ∫ f(t) dt | ≦ ∫ | f(t) | dt
(B)
f(t) ≦ g(t) のとき、
∫ f(t) dt ≦ ∫ g(t) dt
(A)
| ∫ f(t) dt | ≦ ∫ | f(t) | dt
(B)
f(t) ≦ g(t) のとき、
∫ f(t) dt ≦ ∫ g(t) dt
訂正します：
>>485
| f(x) | = | ∫_{0}^{x} (x - t) * f''(t) dt | ≦ ∫_{0}^{x} | (x - t) * f''(t) | dt
= ∫_{0}^{x} (x - t) * | f''(t) | dt ≦ ∫_{0}^{x} (x - t) * t dt
= (1/2)*x^3 - (1/3)*x^3 = (1/6) * x^3 = x^3 / 3!
>>485
| f(x) | = | ∫_{0}^{x} (x - t) * f''(t) dt | ≦ ∫_{0}^{x} | (x - t) * f''(t) | dt
= ∫_{0}^{x} (x - t) * | f''(t) | dt ≦ ∫_{0}^{x} (x - t) * t dt
= (1/2)*x^3 - (1/3)*x^3 = (1/6) * x^3 = x^3 / 3!
2n x 2n の正方形を
1 x 2 のドミノで埋める場合の数を考えます
たとえば、2x2の正方形を1x2のドミノで埋める場合の数は、2通りです
4x4の正方形を1x2のドミノで埋める場合の数は、36通りです
一般に、n=0,1,2,3,,,,のとき、
1, 2, 36, 6728, 12988816, 258584046368,,,
となり、一般項は、
Π[j=1 to n]Π[j=1 to n]{4cos^2 πj/(2n+1)+4cos^2 πk/(2n+1)}
となるようなのですが、
どのようにその公式が導かれるのでしょうか?
1 x 2 のドミノで埋める場合の数を考えます
たとえば、2x2の正方形を1x2のドミノで埋める場合の数は、2通りです
4x4の正方形を1x2のドミノで埋める場合の数は、36通りです
一般に、n=0,1,2,3,,,,のとき、
1, 2, 36, 6728, 12988816, 258584046368,,,
となり、一般項は、
Π[j=1 to n]Π[j=1 to n]{4cos^2 πj/(2n+1)+4cos^2 πk/(2n+1)}
となるようなのですが、
どのようにその公式が導かれるのでしょうか?
>>490
wikipedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Domino_tiling
によると
Temperley & Fisher (1961) and Kasteleyn (1961)
によって独立に発見されたとある。
多分元論文は
Temperley, H. N. V.; Fisher, Michael E. (1961), "Dimer problem in statistical mechanics-an exact result", Philosophical Magazine, 6 (68): 1061–1063, doi:10.1080/14786436108243366
と
Kasteleyn, P. W. (1961), "The statistics of dimers on a lattice. I. The number of dimer arrangements on a quadratic lattice", Physica, 27 (12): 1209–1225, Bibcode:1961Phy....27.1209K, doi:10.1016/0031-8914(61)90063-5.
だと思う。
多分原論文読むのが早いのでは？
wikipedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Domino_tiling
によると
Temperley & Fisher (1961) and Kasteleyn (1961)
によって独立に発見されたとある。
多分元論文は
Temperley, H. N. V.; Fisher, Michael E. (1961), "Dimer problem in statistical mechanics-an exact result", Philosophical Magazine, 6 (68): 1061–1063, doi:10.1080/14786436108243366
と
Kasteleyn, P. W. (1961), "The statistics of dimers on a lattice. I. The number of dimer arrangements on a quadratic lattice", Physica, 27 (12): 1209–1225, Bibcode:1961Phy....27.1209K, doi:10.1016/0031-8914(61)90063-5.
だと思う。
多分原論文読むのが早いのでは？
脇道に逸れるが･･･
m×n の長方形の場合は
Π(j=1…[m/2]) Π(k=1…[n/2]) {4cos(jπ/(m+1))^2 + 4cos(kπ/(n+1))^2}
らしい。
2×n 長方形の場合は
φ = (1+√5)/2 = 1.61803399 とおく。 … 黄金比
φ - 1/φ = 1,
Π(k=1…[n/2]) {1 + 4cos(kπ/(n+1))^2}
= Π(k=1…[n/2]) {3 + 2cos(2kπ/(n+1))}
= Π(k=1…[n/2]) {φ^2 + (-1/φ)^2 + 2cos(2kπ/(n+1))}
= Π(k=1…[n/2]) {φ - (-1/φ)exp(2ik/(n+1))} {φ - (-1/φ)exp(-2ikπ/(n+1))}
= Π(k=1…n) {φ - (-1/φ)exp(2ikπ/(n+1))}
= {φ^(n+1) - (-1/φ)^(n+1)}/(φ + 1/φ)
= F_(n+1) … フィボナッチ数
参考文献
・数セミ増刊「数学100の問題」日本評論社(1984) p.90-92
http://oeis.org/A004003
http://oeis.org/A065072
m×n の長方形の場合は
Π(j=1…[m/2]) Π(k=1…[n/2]) {4cos(jπ/(m+1))^2 + 4cos(kπ/(n+1))^2}
らしい。
2×n 長方形の場合は
φ = (1+√5)/2 = 1.61803399 とおく。 … 黄金比
φ - 1/φ = 1,
Π(k=1…[n/2]) {1 + 4cos(kπ/(n+1))^2}
= Π(k=1…[n/2]) {3 + 2cos(2kπ/(n+1))}
= Π(k=1…[n/2]) {φ^2 + (-1/φ)^2 + 2cos(2kπ/(n+1))}
= Π(k=1…[n/2]) {φ - (-1/φ)exp(2ik/(n+1))} {φ - (-1/φ)exp(-2ikπ/(n+1))}
= Π(k=1…n) {φ - (-1/φ)exp(2ikπ/(n+1))}
= {φ^(n+1) - (-1/φ)^(n+1)}/(φ + 1/φ)
= F_(n+1) … フィボナッチ数
参考文献
・数セミ増刊「数学100の問題」日本評論社(1984) p.90-92
http://oeis.org/A004003
http://oeis.org/A065072
>>490
これに証明載ってるくさい。
https://inis.iaea.org/collection/NCLCollectionStore/_Public/38/098/38098203.pdf?r=1&r=1
Section2
A famous result of Kasteleyn [8] and Temperley and Fisher [18] counts the
number of domino tilings of a chessboard (or any other rectangular region).
In this section we explain Kasteleyn's proof.
だそうな。
これに証明載ってるくさい。
https://inis.iaea.org/collection/NCLCollectionStore/_Public/38/098/38098203.pdf?r=1&r=1
Section2
A famous result of Kasteleyn [8] and Temperley and Fisher [18] counts the
number of domino tilings of a chessboard (or any other rectangular region).
In this section we explain Kasteleyn's proof.
だそうな。
・2×2n の長方形
特性多項式 tt-t-1,
-1/φ = (1-√5)/2,
φ = (1+√5)/2,
F_(n+1) = {φ^(n+1) - (-1/φ)^(n+1)}/(φ + 1/φ),
生成関数 1/(1-z-zz),
・3×2n の長方形
特性多項式 tt -4t +1,
α = 2-√3, β = 2+√3,
P_n = {(1+√3)β^n - (1-√3)α^n}/(β-α)
生成関数 (1-z^3)/(1-4z^3+z^6)
「ドミノによるタイル張り」(京大･理) 36p.
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~kazushi/proceedings/domino.pdf
「長方形領域のドミノタイル張りについて」(青学大･理工) 17p.
http://www.gem.aoyama.ac.jp/~kyo/sotsuken/2010/fujino_sotsuron_2010.pdf
特性多項式 tt-t-1,
-1/φ = (1-√5)/2,
φ = (1+√5)/2,
F_(n+1) = {φ^(n+1) - (-1/φ)^(n+1)}/(φ + 1/φ),
生成関数 1/(1-z-zz),
・3×2n の長方形
特性多項式 tt -4t +1,
α = 2-√3, β = 2+√3,
P_n = {(1+√3)β^n - (1-√3)α^n}/(β-α)
生成関数 (1-z^3)/(1-4z^3+z^6)
「ドミノによるタイル張り」(京大･理) 36p.
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~kazushi/proceedings/domino.pdf
「長方形領域のドミノタイル張りについて」(青学大･理工) 17p.
http://www.gem.aoyama.ac.jp/~kyo/sotsuken/2010/fujino_sotsuron_2010.pdf
高専3 積分
(1)の解説お願いします
(1)の解説お願いします
∫ exp(-x) * sin(x) dx
=
-exp(-x) * sin(x) + ∫ exp(-x) * cos(x) dx
=
-exp(-x) * sin(x) - exp(-x) * cos(x) - ∫ exp(-x) * sin(x) dx
--------------------------------------------------------------------------------
2 * ∫ exp(-x) * sin(x) dx
=
-exp(-x) * sin(x) - exp(-x) * cos(x)
=
-exp(-x) * (sin(x) + cos(x))
--------------------------------------------------------------------------------
∴
∫ exp(-x) * sin(x) dx
=
(-1/2) * exp(-x) * (sin(x) + cos(x)) 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:1341adc37120578f18dba9451e6c8c3b)
=
-exp(-x) * sin(x) + ∫ exp(-x) * cos(x) dx
=
-exp(-x) * sin(x) - exp(-x) * cos(x) - ∫ exp(-x) * sin(x) dx
--------------------------------------------------------------------------------
2 * ∫ exp(-x) * sin(x) dx
=
-exp(-x) * sin(x) - exp(-x) * cos(x)
=
-exp(-x) * (sin(x) + cos(x))
--------------------------------------------------------------------------------
∴
∫ exp(-x) * sin(x) dx
=
(-1/2) * exp(-x) * (sin(x) + cos(x)) 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:1341adc37120578f18dba9451e6c8c3b)
>>499
ありがとうございます。
積分はわかります。
しかし[k,k+1]で定積分するとcosxkπが残ってしまい(2)以降で解けなくなってしまう気がします。そこが分からないです。
ありがとうございます。
積分はわかります。
しかし[k,k+1]で定積分するとcosxkπが残ってしまい(2)以降で解けなくなってしまう気がします。そこが分からないです。
(-1/2) * exp(-(k + 1) * π) * (sin((k + 1) * π) + cos((k + 1) * π))
-
(-1/2) * exp(-k * π) * (sin(k * π) + cos(k * π))
=
(-1/2) * exp(-(k + 1) * π) * cos((k + 1) * π)
-
(-1/2) * exp(-k * π) * cos(k * π)
=
(-1/2) * exp(-(k + 1) * π) * (-1)^(k + 1)
-
(-1/2) * exp(-k * π) * (-1)^k
=
(1/2) * exp(-(k + 1) * π) * (-1)^k
+
(1/2) * exp(-k * π) * (-1)^k
=
(-1)^k * (1/2) * (exp(-(k + 1) * π) + exp(-k * π))
∴
S_k
=
| (-1)^k * (1/2) * (exp(-(k + 1) * π) + exp(-k * π)) |
=
(1/2) * (exp(-(k + 1) * π) + exp(-k * π))
-
(-1/2) * exp(-k * π) * (sin(k * π) + cos(k * π))
=
(-1/2) * exp(-(k + 1) * π) * cos((k + 1) * π)
-
(-1/2) * exp(-k * π) * cos(k * π)
=
(-1/2) * exp(-(k + 1) * π) * (-1)^(k + 1)
-
(-1/2) * exp(-k * π) * (-1)^k
=
(1/2) * exp(-(k + 1) * π) * (-1)^k
+
(1/2) * exp(-k * π) * (-1)^k
=
(-1)^k * (1/2) * (exp(-(k + 1) * π) + exp(-k * π))
∴
S_k
=
| (-1)^k * (1/2) * (exp(-(k + 1) * π) + exp(-k * π)) |
=
(1/2) * (exp(-(k + 1) * π) + exp(-k * π))
>>501
ありがとうございます。
初歩的な質問で申し訳ありませんがSkはなぜ絶対値で囲むのでしょうか？
ありがとうございます。
初歩的な質問で申し訳ありませんがSkはなぜ絶対値で囲むのでしょうか？
>>503
∫ exp(-x) * sin(x) dx
の被積分関数 exp(-x) * sin(x) について考えます。
k が偶数のとき、
k * π ≦ x ≦ (k + 1) * π であるすべての x に対して
常に
exp(-x) * sin(x) ≧ 0
です。
k が奇数のとき、
k * π ≦ x ≦ (k + 1) * π であるすべての x に対して
常に
exp(-x) * sin(x) ≦ 0
です。
したがって、
k が偶数のとき、
S_k = ∫_{k * π}^{(k + 1) * π} exp(-x) * sin(x) dx
です。
k が奇数のとき、
S_k = (-1) * ∫_{k * π}^{(k + 1) * π} exp(-x) * sin(x) dx
です。
∫ exp(-x) * sin(x) dx
の被積分関数 exp(-x) * sin(x) について考えます。
k が偶数のとき、
k * π ≦ x ≦ (k + 1) * π であるすべての x に対して
常に
exp(-x) * sin(x) ≧ 0
です。
k が奇数のとき、
k * π ≦ x ≦ (k + 1) * π であるすべての x に対して
常に
exp(-x) * sin(x) ≦ 0
です。
したがって、
k が偶数のとき、
S_k = ∫_{k * π}^{(k + 1) * π} exp(-x) * sin(x) dx
です。
k が奇数のとき、
S_k = (-1) * ∫_{k * π}^{(k + 1) * π} exp(-x) * sin(x) dx
です。
ですので、
S_k = | ∫_{k * π}^{(k + 1) * π} exp(-x) * sin(x) dx |
です。
S_k = | ∫_{k * π}^{(k + 1) * π} exp(-x) * sin(x) dx |
です。
空行読みづらいです
区間 [0 * π, 1 * π] 上の exp(-x) * sin(x) のグラフ：
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+exp(-x)+*+sin(x)+from+x+%3D+0+to+x+%3D+pi
区間 [1 * π, 2 * π] 上の exp(-x) * sin(x) のグラフ：
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+exp(-x)+*+sin(x)+from+x+%3D+pi+to+x+%3D+2*pi
区間 [2 * π, 3 * π] 上の exp(-x) * sin(x) のグラフ：
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+exp(-x)+*+sin(x)+from+x+%3D+2*pi+to+x+%3D+3*pi
区間 [3 * π, 4 * π] 上の exp(-x) * sin(x) のグラフ：
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+exp(-x)+*+sin(x)+from+x+%3D+3*pi+to+x+%3D+4*pi
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+exp(-x)+*+sin(x)+from+x+%3D+0+to+x+%3D+pi
区間 [1 * π, 2 * π] 上の exp(-x) * sin(x) のグラフ：
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+exp(-x)+*+sin(x)+from+x+%3D+pi+to+x+%3D+2*pi
区間 [2 * π, 3 * π] 上の exp(-x) * sin(x) のグラフ：
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+exp(-x)+*+sin(x)+from+x+%3D+2*pi+to+x+%3D+3*pi
区間 [3 * π, 4 * π] 上の exp(-x) * sin(x) のグラフ：
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+exp(-x)+*+sin(x)+from+x+%3D+3*pi+to+x+%3D+4*pi
被積分関数 exp(-x) * sin(x)
の exp(-x) は常に正です。
sin(x) は
k が偶数のとき、
[k * π, (k + 1) * π] 上で常に 0 以上です。
sin(x) は
k が奇数のとき、
[k * π, (k + 1) * π] 上で常に 0 以下です。
の exp(-x) は常に正です。
sin(x) は
k が偶数のとき、
[k * π, (k + 1) * π] 上で常に 0 以上です。
sin(x) は
k が奇数のとき、
[k * π, (k + 1) * π] 上で常に 0 以下です。
松坂君ウッキウキでわろた
画像で申し訳ないですがよろしくお願いします
問 3.7
f(x,y) は {-a≦x≦a}×R で x,y につき連続で、かつ
ある正定数 C, K と p<1 について
|f(x,y)| ≦ (C/|x|^p)(|y|+1),
|f(x,y) - f(x,z)| ≦ (K/|x|^p)|y-z|,
を満たすような関数とする。
このとき積分方程式
φ(x) = c + ∫[0,x] f(s,φ(s)) ds
は [-a,a] 上に連続関数解φをただ一つ持つことを示せ。
f(x,y) は {-a≦x≦a}×R で x,y につき連続で、かつ
ある正定数 C, K と p<1 について
|f(x,y)| ≦ (C/|x|^p)(|y|+1),
|f(x,y) - f(x,z)| ≦ (K/|x|^p)|y-z|,
を満たすような関数とする。
このとき積分方程式
φ(x) = c + ∫[0,x] f(s,φ(s)) ds
は [-a,a] 上に連続関数解φをただ一つ持つことを示せ。
r = exp(-π) ≒ 0.04321 とおく。
sin(kπ+y) = (-1)^k･sin(y) (0<y<π) より
S_k = r^k ∫[0,π] exp(-y) sin(y) dy = S_0･r^k,
∴ Σ[k=0,n] S_k = S_0 Σ[k=0,n] r^k
= S_0 {1 - r^(n+1)}/(1-r)
→ S_0 /(1-r)
= 0.5451657 (n→∞)
ここで、S_0 = (1+r)/2 = 0.521607
∵ 1/2 = [ -(1/2)exp(-x){sin(x)+cos(x)} ](x=0,∞)
= ∫[0,∞] exp(-x)sin(x)dx
= Σ[k=0,∞] (-1)^k･S_k
= S_0 Σ[k=0,∞] (-r)^k
= S_0 /(1+r),
sin(kπ+y) = (-1)^k･sin(y) (0<y<π) より
S_k = r^k ∫[0,π] exp(-y) sin(y) dy = S_0･r^k,
∴ Σ[k=0,n] S_k = S_0 Σ[k=0,n] r^k
= S_0 {1 - r^(n+1)}/(1-r)
→ S_0 /(1-r)
= 0.5451657 (n→∞)
ここで、S_0 = (1+r)/2 = 0.521607
∵ 1/2 = [ -(1/2)exp(-x){sin(x)+cos(x)} ](x=0,∞)
= ∫[0,∞] exp(-x)sin(x)dx
= Σ[k=0,∞] (-1)^k･S_k
= S_0 Σ[k=0,∞] (-r)^k
= S_0 /(1+r),
福引・くじの確率についての質問です
ある福引の当選賞金と当選確率が下記の通りだとします
１等：１００円 １５％
２等：５０円 ３０％
３等：１０円 ５０％
４等：福引半券 ５％
※福引半券は３枚で福引券１回分として利用できます
□本題
この場合、福引券１枚あたりの期待値はどうなりますか？
１～３等だけなら単純な割り算で導き出せるのですが、どうしても半券を含めた確率の計算方法がわかりません
どなたかご教授をお願いします
ある福引の当選賞金と当選確率が下記の通りだとします
１等：１００円 １５％
２等：５０円 ３０％
３等：１０円 ５０％
４等：福引半券 ５％
※福引半券は３枚で福引券１回分として利用できます
□本題
この場合、福引券１枚あたりの期待値はどうなりますか？
１～３等だけなら単純な割り算で導き出せるのですが、どうしても半券を含めた確率の計算方法がわかりません
どなたかご教授をお願いします
板の皆様には簡単すぎるかもしれませんが、本当に数学が苦手で申しわけありません
女子大に通っていますが、エスカレーター式で勉学で苦労もせずにここまできたので、数学を日常生活に応用する能力が不足しています
本当にお手数をおかけするだけなのですが、どうかお力を貸していただけないでしょうか・・・m(__)m
女子大に通っていますが、エスカレーター式で勉学で苦労もせずにここまできたので、数学を日常生活に応用する能力が不足しています
本当にお手数をおかけするだけなのですが、どうかお力を貸していただけないでしょうか・・・m(__)m
2100/59?
え
福引券を大量に持っている場合に1枚あたりの期待値を考えるってことなら4等は1/3回福引を引ける権利として計算すりゃいいんじゃないか？
1枚しか持っていないなら4等はないのと同じ
1枚しか持っていないなら4等はないのと同じ
福引券1枚あたりの金銭的価値=福引券1枚あたりの期待値 としてよいとする。
福引券1枚あたりの期待値をxとすると、福引券半券の金銭的価値はx/3円となる。よって
x=100×0.15+50×0.3+10×0.5+(x/3)×0.05
これを解いて
x=2100/59≒35.59
となる。
福引券1枚あたりの期待値をxとすると、福引券半券の金銭的価値はx/3円となる。よって
x=100×0.15+50×0.3+10×0.5+(x/3)×0.05
これを解いて
x=2100/59≒35.59
となる。
期待値の存在というか収束は自明ってことにしてるの？
E(n)=Σ[a=0,n]C[n,a]Σ[b=0,n-a]C[n-a,b]Σ[c=0,n-a-b]C[n-a-b,c](15/100)^a×(30/100)^b×(50/100)^c×(1000000*a+500000*b+100000*c)
△ABCは、そのブロカール点、外心、垂心が同一直線上にあるという。
このような△ABCの形状を述べよ。
このような△ABCの形状を述べよ。
以下の条件のもとで、ab+bc+caの取りうる値の範囲を求めよ。
・a,b,cは実数で、少なくとも1つは0以下であり、少なくとも1つは0以上である。
・-2≤a+b+c≤2
・-1≤a≤1、-1≤b≤1、-1≤c≤1
・a,b,cは実数で、少なくとも1つは0以下であり、少なくとも1つは0以上である。
・-2≤a+b+c≤2
・-1≤a≤1、-1≤b≤1、-1≤c≤1
１
１１
２１
１２１１
１１１２２１
次に来る行はなんでしょう？
１１
２１
１２１１
１１１２２１
次に来る行はなんでしょう？
312221
福引券の半券3枚で抽選してもそれに対しては半券はもらえないだろ
解決可能かはわかりませんが
1 1と始まるフィボナッチ数列について、arctan(1/F_n)の無限和はどうなるでしょうか
nが奇数のときだけ足し合わせるとπ/2なのは示せます
1 1と始まるフィボナッチ数列について、arctan(1/F_n)の無限和はどうなるでしょうか
nが奇数のときだけ足し合わせるとπ/2なのは示せます
>>523
(1) (-∞, ∞)
{a,b,c} = {n, n, -1} のとき n(n-2) → ∞
{a,b,c} = {n, -n, 1} のとき -nn → -∞
(2) (-∞, 4/3]
ab+bc+ca ≦ (1/3)(a+b+c)^2 ≦ 4/3,
{a,b,c} = {n, -n, 1} のとき -nn → -∞
(3) [-1, 3]
ab+bc+ca ≦ (1/3)(a+b+c)^2 ≦ 3,
等号は a=b=c=±1 のとき。
ab+bc+ca = -1 + (1/2)(1-a)(1-b)(1-c) + (1/2)(1+a)(1+b)(1+c) ≧ -1,
等号は {a,b,c} = {a,-1,1} {-1,b,1} {-1,1,c} など。
(1) (-∞, ∞)
{a,b,c} = {n, n, -1} のとき n(n-2) → ∞
{a,b,c} = {n, -n, 1} のとき -nn → -∞
(2) (-∞, 4/3]
ab+bc+ca ≦ (1/3)(a+b+c)^2 ≦ 4/3,
{a,b,c} = {n, -n, 1} のとき -nn → -∞
(3) [-1, 3]
ab+bc+ca ≦ (1/3)(a+b+c)^2 ≦ 3,
等号は a=b=c=±1 のとき。
ab+bc+ca = -1 + (1/2)(1-a)(1-b)(1-c) + (1/2)(1+a)(1+b)(1+c) ≧ -1,
等号は {a,b,c} = {a,-1,1} {-1,b,1} {-1,1,c} など。
>>522
↑P = (λ↑A + μ↑B + ν↑C)/(λ+μ+ν),
のとき点Pの重心座標を (λ：μ：ν) とする。
重心Gは １：１：１
外心Oは sin(2A)：sin(2B)：sin(2C)
垂心Hは tan(A)：tan(B)：tan(C)
（↑OH =↑OA +↑OB +↑OC = 3↑OG, OG：GH = 1：2 オイラー線)
第一ブロカール点は (ac/b)：(ba/c)：(cb/a)
第二ブロカール点は (ab/c)：(bc/a)：(ca/b)
↑P = (λ↑A + μ↑B + ν↑C)/(λ+μ+ν),
のとき点Pの重心座標を (λ：μ：ν) とする。
重心Gは １：１：１
外心Oは sin(2A)：sin(2B)：sin(2C)
垂心Hは tan(A)：tan(B)：tan(C)
（↑OH =↑OA +↑OB +↑OC = 3↑OG, OG：GH = 1：2 オイラー線)
第一ブロカール点は (ac/b)：(ba/c)：(cb/a)
第二ブロカール点は (ab/c)：(bc/a)：(ca/b)
>>527
実験したらピンとこない数になるみたい
Prelude> let fibs = map head $ iterate(¥[x,y]->[x+y,x]) [0,1]
Prelude> (/pi) $ sum $ zipWith (*) (cycle [1,0]) $ map (atan.recip.fromInteger) $ take 10000 $ drop 1 $ fibs
0.49999999999999983
Prelude> (/pi) $ sum $ zipWith (*) (cycle [1,0]) $ map (atan.recip.fromInteger) $ take 10000 $ drop 2 $ fibs
0.41650938439782204
実験したらピンとこない数になるみたい
Prelude> let fibs = map head $ iterate(¥[x,y]->[x+y,x]) [0,1]
Prelude> (/pi) $ sum $ zipWith (*) (cycle [1,0]) $ map (atan.recip.fromInteger) $ take 10000 $ drop 1 $ fibs
0.49999999999999983
Prelude> (/pi) $ sum $ zipWith (*) (cycle [1,0]) $ map (atan.recip.fromInteger) $ take 10000 $ drop 2 $ fibs
0.41650938439782204
>>527
a[n]=arctan(1/F[n])
とすると
a[2n+1]=a[2n]-a[2n+2]
が成立するから、これを使うと奇数に限定した和は簡単に分かるんだな
arctanとFibonacci数を組み合わせた級数について調べてみたが、少なくとも奇数の場合と同じ方針ですぐに出せることはないっぽい
a[n]=arctan(1/F[n])
とすると
a[2n+1]=a[2n]-a[2n+2]
が成立するから、これを使うと奇数に限定した和は簡単に分かるんだな
arctanとFibonacci数を組み合わせた級数について調べてみたが、少なくとも奇数の場合と同じ方針ですぐに出せることはないっぽい
a > b ≧ 0 を実数とする。数列 (a_n) を次のように帰納的に定義する。
a_9 = a, a_1 = b とおく。 n ≧ 1 とし、 a_n まで定まっているとする。
a_n > 0 のときは、 q_n = [a_{n-1} / a_n] とおいて a_{n+1} = a_{n-1} - q_n * a_n ≧ 0 と定める。 a_n = 0 のときは、 q_n = a_{n + 1} = 0
とする。
1. a = √2, b = 1 のとき、数列 (a_n) を求めよ。
a_9 = a, a_1 = b とおく。 n ≧ 1 とし、 a_n まで定まっているとする。
a_n > 0 のときは、 q_n = [a_{n-1} / a_n] とおいて a_{n+1} = a_{n-1} - q_n * a_n ≧ 0 と定める。 a_n = 0 のときは、 q_n = a_{n + 1} = 0
とする。
1. a = √2, b = 1 のとき、数列 (a_n) を求めよ。
>>533
いいえ [-1,1] です。
-1≦a≦0, -1≦b≦1, 0≦c≦1 としてよい。-2≦a+b+c≦2 は自動的に成立する。
ab+bc+ca ≦ (a+c)b ≦ |a+c||b| ≦ 1,
等号は (a,b,c) = (-1,-1,0) (0,1,1) のとき
ab+bc+ca = -1 + (1/2)(1-a)(1-b)(1-c) + (1/2)(1+a)(1+b)(1+c) ≧ -1,
等号は (a,b,c) = (-1,b,1) のとき
いいえ [-1,1] です。
-1≦a≦0, -1≦b≦1, 0≦c≦1 としてよい。-2≦a+b+c≦2 は自動的に成立する。
ab+bc+ca ≦ (a+c)b ≦ |a+c||b| ≦ 1,
等号は (a,b,c) = (-1,-1,0) (0,1,1) のとき
ab+bc+ca = -1 + (1/2)(1-a)(1-b)(1-c) + (1/2)(1+a)(1+b)(1+c) ≧ -1,
等号は (a,b,c) = (-1,b,1) のとき
>>534
a_n = (√2 - 1)^(n-1), (n≧2)
q_n = [ 1+√2 ] = 2, (n≧2)
a_n = (√2 - 1)^(n-1), (n≧2)
q_n = [ 1+√2 ] = 2, (n≧2)
zは複素平面上で|z|≦1のとき
|(1+z) e^(-z) -1|≦(2e+1) |z|^2を示せ
|(1+z) e^(-z) -1|≦(2e+1) |z|^2を示せ
g(z) = e^(-z) -1 +z = [k=2,∞] (-z)^k /k!,
|g(z)| = |Σ[k=2,∞] (-z)^k /k! | ≦ Σ[k=2,∞] |z|^2 /k! ≦ |z|^2 Σ[k=2,∞] 1/k! = (e-2)|z|^2,
(左辺) = |(1+z)(1-z+g(z))-1| = | -zz + (1+z)g(z)| ≦ |z|^2 + |1+z||g(z)| ≦ |z|^2 + 2(e-2)|z|^2 = (2e-3)|z|^2,
|g(z)| = |Σ[k=2,∞] (-z)^k /k! | ≦ Σ[k=2,∞] |z|^2 /k! ≦ |z|^2 Σ[k=2,∞] 1/k! = (e-2)|z|^2,
(左辺) = |(1+z)(1-z+g(z))-1| = | -zz + (1+z)g(z)| ≦ |z|^2 + |1+z||g(z)| ≦ |z|^2 + 2(e-2)|z|^2 = (2e-3)|z|^2,
>>534
a > b ≧ 0 を実数とする。数列 (a_n) を次のように帰納的に定義する。
a_0 = a, a_1 = b とおく。 n ≧ 1 とし、 a_n まで定まっているとする。
a_n > 0 のときは、 q_n = [a_{n-1} / a_n] とおいて
a_{n+1} = a_{n-1} - q_n * a_n ≧ 0 と定める。 a_n = 0 のときは、 q_n = a_{n + 1} = 0
とする。
1. a = √2, b = 1 のとき、数列 (a_n) を求めよ。
a_0 = √2
a_1 = 1
まず、 n ≧ 2 のとき、 a_n ≠ 0 かつ a_{n-1} / a_n = √2 + 1 であることを数学的帰納法で証明する。
(1)
a_2 = a_0 - [a_0 / a_1] * a_1 = √2 - [√2 / 1] * 1 = √2 - [1.41421356…] = √2 - 1 ≠ 0
であり、
a_1 / a_2 = 1 / (√2 - 1) = √2 + 1
である。
k ≧ 2 とし、
a_k ≠ 0
であり、
a_{k-1} / a_k = √2 + 1
であると仮定する。
a_{k+1} = a_{k-1} - [a_{k-1} / a_k] * a_k = a_k * (a_{k-1} / a_k - [a_{k-1} / a_k]) = a_k * (√2 + 1 - [√2 + 1])
= a_k * (√2 + 1 - [1.41421356… + 1]) = a_k * (√2 + 1 - [2.41421356…]) = a_k * (√2 + 1 - 2) = a_k * (√2 - 1) ≠ 0
であり、
a_k / a_{k+1} = a_k / (a_{k-1} - [a_{k-1} / a_k] * a_k) = a_k / [a_k * (√2 - 1)] = 1 / (√2 - 1) = √2 + 1
である。【証明終わり】
a > b ≧ 0 を実数とする。数列 (a_n) を次のように帰納的に定義する。
a_0 = a, a_1 = b とおく。 n ≧ 1 とし、 a_n まで定まっているとする。
a_n > 0 のときは、 q_n = [a_{n-1} / a_n] とおいて
a_{n+1} = a_{n-1} - q_n * a_n ≧ 0 と定める。 a_n = 0 のときは、 q_n = a_{n + 1} = 0
とする。
1. a = √2, b = 1 のとき、数列 (a_n) を求めよ。
a_0 = √2
a_1 = 1
まず、 n ≧ 2 のとき、 a_n ≠ 0 かつ a_{n-1} / a_n = √2 + 1 であることを数学的帰納法で証明する。
(1)
a_2 = a_0 - [a_0 / a_1] * a_1 = √2 - [√2 / 1] * 1 = √2 - [1.41421356…] = √2 - 1 ≠ 0
であり、
a_1 / a_2 = 1 / (√2 - 1) = √2 + 1
である。
k ≧ 2 とし、
a_k ≠ 0
であり、
a_{k-1} / a_k = √2 + 1
であると仮定する。
a_{k+1} = a_{k-1} - [a_{k-1} / a_k] * a_k = a_k * (a_{k-1} / a_k - [a_{k-1} / a_k]) = a_k * (√2 + 1 - [√2 + 1])
= a_k * (√2 + 1 - [1.41421356… + 1]) = a_k * (√2 + 1 - [2.41421356…]) = a_k * (√2 + 1 - 2) = a_k * (√2 - 1) ≠ 0
であり、
a_k / a_{k+1} = a_k / (a_{k-1} - [a_{k-1} / a_k] * a_k) = a_k / [a_k * (√2 - 1)] = 1 / (√2 - 1) = √2 + 1
である。【証明終わり】
>>534
ゆえに、
n ≧ 2 のとき、 q_n = [a_{n-1} / a_n] = [√2 + 1] = [1.41421356… + 1] = [2.41421356…] ＝ 2
である。
よって、 (a_n) は n ≧ 2 のとき、
a_{n+1} = a_{n-1} - 2 * a_n
を満たす。
b_n = (√2 - 1)^(n-1) とすると、
b_1 = 1 = a_1
b_2 = √2 - 1 = a_2
であり、
n ≧ 2 のとき、
b_{n+1} = (√2 - 1)^n = (√2 - 1)^2 * (√2 - 1)^(n-2) = (3 - 2 * √2) * (√2 - 1)^(n-2)
= [1 - 2 * (√2 - 1)] * (√2 - 1)^(n-2) = (√2 - 1)^(n-2) - 2 * (√2 - 1)^(n-1) = b_{n-1} - 2 * b_n
であるから、数学的帰納法により、
n ≧ 2 のとき、
a_n = b_n = (√2 - 1)^(n-1)
である。
ゆえに、
n ≧ 2 のとき、 q_n = [a_{n-1} / a_n] = [√2 + 1] = [1.41421356… + 1] = [2.41421356…] ＝ 2
である。
よって、 (a_n) は n ≧ 2 のとき、
a_{n+1} = a_{n-1} - 2 * a_n
を満たす。
b_n = (√2 - 1)^(n-1) とすると、
b_1 = 1 = a_1
b_2 = √2 - 1 = a_2
であり、
n ≧ 2 のとき、
b_{n+1} = (√2 - 1)^n = (√2 - 1)^2 * (√2 - 1)^(n-2) = (3 - 2 * √2) * (√2 - 1)^(n-2)
= [1 - 2 * (√2 - 1)] * (√2 - 1)^(n-2) = (√2 - 1)^(n-2) - 2 * (√2 - 1)^(n-1) = b_{n-1} - 2 * b_n
であるから、数学的帰納法により、
n ≧ 2 のとき、
a_n = b_n = (√2 - 1)^(n-1)
である。
楕円SはABを長径（直径）、CDを短径（直径）とし、その周長はKである。
ABを直径とする円の周長をL、CDを直径とする円の周長をMとするとき、以下の2実数の大小を比較せよ。
K,(L+M)/2
ABを直径とする円の周長をL、CDを直径とする円の周長をMとするとき、以下の2実数の大小を比較せよ。
K,(L+M)/2
任意の立方体を全て異なる大きさの立方体で分けることは
可能かね？(´･ω･`)
可能かね？(´･ω･`)
実数係数多項式=0の方程式でzがn重解ならその共役複素数もn重解になりそうなんですがうまく示せません
n階微分まで全部消える
潜在変数とはどういうものをいうのでしょうか。
観測変数に関係する何らかの変数という解釈で大丈夫でしょうか。
観測変数に関係する何らかの変数という解釈で大丈夫でしょうか。
実数係数多項式 f(x) について
f(x) = (x-α)^n･g(x)
ならば
f(x) = (x-α~)^n･g(x)~
Im(α)≠0 なら
f(x) = {(x-α)(x-α~)}^n ・h(x), hは実係数
X,Yが実数のとき
X+iY=0 ⇔ X=Y=0 ⇔ X-iY=0
f(x) = (x-α)^n･g(x)
ならば
f(x) = (x-α~)^n･g(x)~
Im(α)≠0 なら
f(x) = {(x-α)(x-α~)}^n ・h(x), hは実係数
X,Yが実数のとき
X+iY=0 ⇔ X=Y=0 ⇔ X-iY=0
>>542
不可能です。
(Luzinの問題の3次元版)
・参考資料
数セミ増刊「数学の問題」第２集、日本評論社、p.185 (1978)
付録－10 立方体のある分割について
不可能です。
(Luzinの問題の3次元版)
・参考資料
数セミ増刊「数学の問題」第２集、日本評論社、p.185 (1978)
付録－10 立方体のある分割について
別スレでもレスしたんですが
荒れてそうだったのでこちらでも質問させて頂きます
対数方程式の問題についてで、解説では
log_{3}(x)＋log_{3}(x-8)=2を変形してlog_{3}(x(x-8))=2
x(x-8)=3^2
(x＋1)(x-9)=0
となっているのですが
log_{3}((x)(x-8))-2log_{3}(3)=0
[log_{3}((x)(x-8))]／[2log_{3}(3)]=0
(x(x-8))/(3^2)=０
とならないのでしょうか？
荒れてそうだったのでこちらでも質問させて頂きます
対数方程式の問題についてで、解説では
log_{3}(x)＋log_{3}(x-8)=2を変形してlog_{3}(x(x-8))=2
x(x-8)=3^2
(x＋1)(x-9)=0
となっているのですが
log_{3}((x)(x-8))-2log_{3}(3)=0
[log_{3}((x)(x-8))]／[2log_{3}(3)]=0
(x(x-8))/(3^2)=０
とならないのでしょうか？
ならないだろ
x=0で成り立つわけがない
x=0で成り立つわけがない
そうやるなら
log_{3}(x(x-8))-2log_{3}(3)=0
log_{3}(x(x-8))-log_{3}(3^2)=0
log_{3}(（x(x-8)）/(3^2))=0
(x(x-8))/(3^2)=1
となるんじゃ？
log_{3}(x(x-8))-2log_{3}(3)=0
log_{3}(x(x-8))-log_{3}(3^2)=0
log_{3}(（x(x-8)）/(3^2))=0
(x(x-8))/(3^2)=1
となるんじゃ？
>>541
AB = 2a,
CD = 2b,
a ≧ b > 0,
とおくと
K = 4a∫[0,π/2] √{1 -(k･sinφ)^2}dφ = 4a E(k), k=√(1-bb/aa),
L = 2πa,
M = 2πb,
K ≧ π(a+b) = (L+M)/2.
AB = 2a,
CD = 2b,
a ≧ b > 0,
とおくと
K = 4a∫[0,π/2] √{1 -(k･sinφ)^2}dφ = 4a E(k), k=√(1-bb/aa),
L = 2πa,
M = 2πb,
K ≧ π(a+b) = (L+M)/2.
cos π/5 +i sin π/5
>>552
〔補題〕
0<k<1 のとき
√{1 - (k･sinφ)^2} ≧ (cosφ)^2 + (sinφ)^2･√(1-kk),
(略証)
マクローリン級数
√(1-X) = 1 - (1/2)X - (1/8)X^2 - (1/16)X^3 - (5/128)X^4 - (7/256)X^5 - ････
より
√{1 - (k･sinφ)^2}
= 1 - (1/2)(k･sinφ)^2 - (1/8)(k･sinφ)^4 - (1/16)(k･sinφ)^6 - (5/128)(k･sinφ)^8 - ････
≧ (cosφ)^2 + (sinφ)^2･{1 - (1/2)k^2 -(1/8)k^4 -(1/16)k^6 -(5/128)k^8 - ････ }
= (cosφ)^2 + (sinφ)^2･√(1-kk), (終)
これより
K = 4a∫[0,π/2] √{1 - (k･sinφ)^2} dφ
≧ 4a∫[0,π/2] {(cosφ)^2 + (sinφ)^2･√(1-kk)} dφ
= πa{1 + √(1-kk)}
= π(a+b)
= (L+M)/2,
〔補題〕
0<k<1 のとき
√{1 - (k･sinφ)^2} ≧ (cosφ)^2 + (sinφ)^2･√(1-kk),
(略証)
マクローリン級数
√(1-X) = 1 - (1/2)X - (1/8)X^2 - (1/16)X^3 - (5/128)X^4 - (7/256)X^5 - ････
より
√{1 - (k･sinφ)^2}
= 1 - (1/2)(k･sinφ)^2 - (1/8)(k･sinφ)^4 - (1/16)(k･sinφ)^6 - (5/128)(k･sinφ)^8 - ････
≧ (cosφ)^2 + (sinφ)^2･{1 - (1/2)k^2 -(1/8)k^4 -(1/16)k^6 -(5/128)k^8 - ････ }
= (cosφ)^2 + (sinφ)^2･√(1-kk), (終)
これより
K = 4a∫[0,π/2] √{1 - (k･sinφ)^2} dφ
≧ 4a∫[0,π/2] {(cosφ)^2 + (sinφ)^2･√(1-kk)} dφ
= πa{1 + √(1-kk)}
= π(a+b)
= (L+M)/2,
(別証)
1 - (k･sinφ)^2 - {(cosφ)^2 + (sinφ)^2･√(1-kk)}^2
= (sinφ･cosφ)^2 {(1 - kk/2) - √(1-kk)}
= (sinφ･cosφ)^2 (kk/2)^2 / {(1 - kk/2) + √(1-kk)}
≧ 0,
1 - (k･sinφ)^2 - {(cosφ)^2 + (sinφ)^2･√(1-kk)}^2
= (sinφ･cosφ)^2 {(1 - kk/2) - √(1-kk)}
= (sinφ･cosφ)^2 (kk/2)^2 / {(1 - kk/2) + √(1-kk)}
≧ 0,
(別証)
kk = L(2-L) とおく。
L = 1 - √(1-kk) ≧ 0,
1^2 - (ks)^2 = 1^2 - L(2-L)s^2 = (1-Lss)^2 + (1-ss)(Ls)^2,
s = sinφ,
kk = L(2-L) とおく。
L = 1 - √(1-kk) ≧ 0,
1^2 - (ks)^2 = 1^2 - L(2-L)s^2 = (1-Lss)^2 + (1-ss)(Ls)^2,
s = sinφ,
10,11,12,13,14,15,16,17,20,22,24,31,100,121,10000,1111111111111111
16項からなる数列の定義は？
16項からなる数列の定義は？
〔補題〕
0<k<1 のとき
(1) √{1 - (k･sinφ)^2} + √{1 -(k･cosφ)^2} ≦ 2√(1 - kk/2),
(2) E(k) ≦ (π/2)√(1 - kk/2),
0<k<1 のとき
(1) √{1 - (k･sinφ)^2} + √{1 -(k･cosφ)^2} ≦ 2√(1 - kk/2),
(2) E(k) ≦ (π/2)√(1 - kk/2),
0<x<π/2で
√((a cos x)^2+(b sin x)^2)+√((b cos x)^2+(a sin x)^2)＞a+b
を示すのが吉
√((a cos x)^2+(b sin x)^2)+√((b cos x)^2+(a sin x)^2)＞a+b
を示すのが吉
y = √x は上に凸だからJensenで
√{(a cos x)^2 + (b sin x))^2} ≧ a(cos x)^2 + b(sin x)^2,
√{(b cos x)^2 + (a sin x)^2} ≧ b(cos x)^2 + a(sin x)^2,
辺々たす。
>>554 も同様
√{(a cos x)^2 + (b sin x))^2} ≧ a(cos x)^2 + b(sin x)^2,
√{(b cos x)^2 + (a sin x)^2} ≧ b(cos x)^2 + a(sin x)^2,
辺々たす。
>>554 も同様
>>538 は緩かったでござる。
(1+z)e^(-z) -1 = -zz + (1+z)g(z)
= -zz + (1+z)Σ[k=2,∞] (1/k!)(-z)^k
= -Σ[k=2,∞] {1/(k-1)! - 1/k!}(-z)^k,
(左辺) ≦ Σ[k=2,∞] {1/(k-1)! - 1/k!}|z|^k
≦ |z|^2・Σ[k=2,∞] {1/(k-1)! - 1/k!} (|z|≦1)
= |z|^2,
等号成立は z=-1 のとき。
(1+z)e^(-z) -1 = -zz + (1+z)g(z)
= -zz + (1+z)Σ[k=2,∞] (1/k!)(-z)^k
= -Σ[k=2,∞] {1/(k-1)! - 1/k!}(-z)^k,
(左辺) ≦ Σ[k=2,∞] {1/(k-1)! - 1/k!}|z|^k
≦ |z|^2・Σ[k=2,∞] {1/(k-1)! - 1/k!} (|z|≦1)
= |z|^2,
等号成立は z=-1 のとき。
>>511
微分方程式にすればxの0近傍を除けばリプシッツ連続だし
fは連続関数だから0近傍で有界
合わせれば初期値ごとに唯一解
それを積分方程式に戻せばいいんじゃない？
微分方程式にすればxの0近傍を除けばリプシッツ連続だし
fは連続関数だから0近傍で有界
合わせれば初期値ごとに唯一解
それを積分方程式に戻せばいいんじゃない？
0<a<b<cとする。
BC=a,CA=b,AB=cの△ABCのある辺の上に点Pをとり、残りの二辺についてPの対称点Q,Rをとる。
（1）PQ+PRが最大となるとき、Pはどの辺上の、どの位置にあるか。
（2）PQ+QRが最大となるとき、Pはどの辺上の、どの位置にあるか。
BC=a,CA=b,AB=cの△ABCのある辺の上に点Pをとり、残りの二辺についてPの対称点Q,Rをとる。
（1）PQ+PRが最大となるとき、Pはどの辺上の、どの位置にあるか。
（2）PQ+QRが最大となるとき、Pはどの辺上の、どの位置にあるか。
１０進法よりも１２進法にした方が掛け算割り算でパターンが簡単になる計算が増えるから
便利だったのに！っていう主張は正しいのですか？
便利だったのに！っていう主張は正しいのですか？
圏論の問題で基本群を位相空間から群への関手と見たとき充満か、という問題が分かりません
答えはノーらしいのですが、基本群の間の群準同型で位相空間の連続写像から誘導されないようなものは何があるのか
分かる方いたら教えてください
答えはノーらしいのですが、基本群の間の群準同型で位相空間の連続写像から誘導されないようなものは何があるのか
分かる方いたら教えてください
>>567
algebraic topology 専門でないので自信ないけどm>nのときの
π_1(PR(m)), π_1(PR(m))はともにZ/2Zだけど連続写像から引き起こされるのは自明な準同型だけだと思う。
algebraic topology 専門でないので自信ないけどm>nのときの
π_1(PR(m)), π_1(PR(m))はともにZ/2Zだけど連続写像から引き起こされるのは自明な準同型だけだと思う。
>>563
(左辺) ≦ Σ[k=2,∞] {1/(k-1)! - 1/k!} |z|^k
= 1 - (1-|z|) exp(|z|)
≦ 1 - (1-|z|) (1+|z|)
= |z|^2,
（ マクローリン係数（の絶対値）が単調減少だから）
(左辺) ≦ Σ[k=2,∞] {1/(k-1)! - 1/k!} |z|^k
= 1 - (1-|z|) exp(|z|)
≦ 1 - (1-|z|) (1+|z|)
= |z|^2,
（ マクローリン係数（の絶対値）が単調減少だから）
簡単≠煩雑
指が10本だから１０進法になったのは残念
もしも人類が６本ずつ１２本だったら数学嫌いが半減したはず
指が10本だから１０進法になったのは残念
もしも人類が６本ずつ１２本だったら数学嫌いが半減したはず
ComplexExpand[(1+E^(I(1+n)Pi)+2n)/4]
のPiとは何ですか？
のPiとは何ですか？
>>576妖怪人間ベム、ベラ、ベロの指はたしか三本だったと思います。指が左右の手をあわせて六本、足が六本で十二本、六進法か十二進法だったら数学が得意だったかというとそうは思えません。
前>>574とくにベロは。性格的に。落ちつきも足りないし。ただ細胞分裂が永遠にでき劣化しないならあるいは数学も時間をかけて得意になる可能性はありました。
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前>>574とくにベロは。性格的に。落ちつきも足りないし。ただ細胞分裂が永遠にでき劣化しないならあるいは数学も時間をかけて得意になる可能性はありました。
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パイπじゃないか？
Piは無機リン酸！
n次元ルベーグ測度μ_n に対して、
E⊂R^2, (μ_2)(E)=0 ⇒ (μ_3)(E×[0,1])=0
は正しいですか？
正しいなら証明を教えて下さい
E⊂R^2, (μ_2)(E)=0 ⇒ (μ_3)(E×[0,1])=0
は正しいですか？
正しいなら証明を教えて下さい
n次正方行列A=(a_ij)でa_ii=1, |a_ij|<1/(n-1) (i≠j)のときAが正則行列であることを示せ
どなたか教えていただけませんか解けそうで解けません
どなたか教えていただけませんか解けそうで解けません
R^3上の合同変換が群をなすことってどう示せばいいですか？
全射性が上手く示せず逆元の存在が言えなくて困っています
全射性が上手く示せず逆元の存在が言えなくて困っています
平行移動、回転、鏡映のうちどれが全単射だと思えない？
>>584
感覚では全単射だとわかるのですが式等で形式的に証明しようとすると上手く出来ず困っています
単に私が経験不足なだけの話ですが…
感覚では全単射だとわかるのですが式等で形式的に証明しようとすると上手く出来ず困っています
単に私が経験不足なだけの話ですが…
>>582
もし det(A)=0 ならば
非自明な従属関係: Σ{j=1..n} cj a[ij] = 0
が存在します.
max{|c1|,...,|cn|} = |ck| ≠ 0 とすると,
1= | ck/ck a[kk] | = | Σ{j≠k} cj/ck a[kj] | ≦ Σ{j≠k} | a[kj] | < 1 (∵ | cj/ck | ≦ 1 )
矛盾(1 < 1)が引き出されたので det(A)≠0 が証明できました.
もし det(A)=0 ならば
非自明な従属関係: Σ{j=1..n} cj a[ij] = 0
が存在します.
max{|c1|,...,|cn|} = |ck| ≠ 0 とすると,
1= | ck/ck a[kk] | = | Σ{j≠k} cj/ck a[kj] | ≦ Σ{j≠k} | a[kj] | < 1 (∵ | cj/ck | ≦ 1 )
矛盾(1 < 1)が引き出されたので det(A)≠0 が証明できました.
>>585
平行移動x+vならx-vが逆の操作
回転θなら-θが逆の操作
鏡映は軸で折り返すだけだからもう一回やれば元に戻る=自分自身が逆
よって平行移動、回転、鏡映は全単射
それらの合成である合成変換も全単射
平行移動x+vならx-vが逆の操作
回転θなら-θが逆の操作
鏡映は軸で折り返すだけだからもう一回やれば元に戻る=自分自身が逆
よって平行移動、回転、鏡映は全単射
それらの合成である合成変換も全単射
なんや合成変換って……
合同変化ね
合同変化ね
……合同変換な
2×2行列A=(a b に対して|A|=√(a^2+b^2+c^2+d^2)と
c d)
する。
また、f:R^2→R をf(x)=|Ax|としたとき、fの集合
{u∈R^2 | |u|=1}での最大値を||A||とする。
(1)2次単位行列I(大文字のi)に対して |I |と||I|| を求めよ。
(2)2×2行列Aに対して、次が成立することを示せ。
||A|| ≦ |A| ≦ √2 × ||A||
非常に分かりにくい記述となってしまっていますがよろしくお願いします。
c d)
する。
また、f:R^2→R をf(x)=|Ax|としたとき、fの集合
{u∈R^2 | |u|=1}での最大値を||A||とする。
(1)2次単位行列I(大文字のi)に対して |I |と||I|| を求めよ。
(2)2×2行列Aに対して、次が成立することを示せ。
||A|| ≦ |A| ≦ √2 × ||A||
非常に分かりにくい記述となってしまっていますがよろしくお願いします。
計算するだけやん
>>591
定義より
ある x について |x|=1, |Ax|^2 = ||A||^2 である.
任意の y について |Ay|^2 ≦ ||A||^2 |y|^2 である.
||A||^2
= Σ{ij} (a_ij x_j )^2
= Σ{ij} (a_ij)^2 (x_j)^2
≦ Σ{ij} (a_ij)^2 Σ{k}(x_k)^2 = |A|^2 ( ∵ x_j^2 ≦ Σ{k} (x_k)^2 = |x|^2 = 1)
= Σ{ij} (a_ij y_j)^2 ( y_j = 1 (j=1,..,n) と置いた)
≦ ||A||^2 |y|^2
= n ||A||^2
以上より ||A|| ≦ |A| ≦ (√n ) ||A||.
定義より
ある x について |x|=1, |Ax|^2 = ||A||^2 である.
任意の y について |Ay|^2 ≦ ||A||^2 |y|^2 である.
||A||^2
= Σ{ij} (a_ij x_j )^2
= Σ{ij} (a_ij)^2 (x_j)^2
≦ Σ{ij} (a_ij)^2 Σ{k}(x_k)^2 = |A|^2 ( ∵ x_j^2 ≦ Σ{k} (x_k)^2 = |x|^2 = 1)
= Σ{ij} (a_ij y_j)^2 ( y_j = 1 (j=1,..,n) と置いた)
≦ ||A||^2 |y|^2
= n ||A||^2
以上より ||A|| ≦ |A| ≦ (√n ) ||A||.
とりあえず前半の訂正
||A||^2
= Σ{i} (Σ{j}a_ij x_j )^2
≦ Σ{i} Σ{j}(a_ij)^2 Σ{k}(x_k)^2 (∵ シュワルツ不等式)
= Σ{ij} (a_ij)^2 = |A|^2
||A||^2
= Σ{i} (Σ{j}a_ij x_j )^2
≦ Σ{i} Σ{j}(a_ij)^2 Σ{k}(x_k)^2 (∵ シュワルツ不等式)
= Σ{ij} (a_ij)^2 = |A|^2
後半の訂正
|A|^2 = Σ{i} Σ{j} |a_ij||a_ij|
≦ Σ{i}√( Σ{j} |a_ij|^2 )√( Σ{j} |a_ij|^2 ) (∵ シュワルツ不等式)
≦ Σ{i} (Σ{j} |a_ij| )^2 (∵ √( |v1|^2+ |v2|^2 + … ) ≦ |v1| + |v2| + … )
= Σ{i} (Σ{j} a_ij y_j)^2 ( y_j = ±1 (j=1,..,n) と置いた)
≦ ||A||^2 |y|^2
= n ||A||^2
やっとできた...
|A|^2 = Σ{i} Σ{j} |a_ij||a_ij|
≦ Σ{i}√( Σ{j} |a_ij|^2 )√( Σ{j} |a_ij|^2 ) (∵ シュワルツ不等式)
≦ Σ{i} (Σ{j} |a_ij| )^2 (∵ √( |v1|^2+ |v2|^2 + … ) ≦ |v1| + |v2| + … )
= Σ{i} (Σ{j} a_ij y_j)^2 ( y_j = ±1 (j=1,..,n) と置いた)
≦ ||A||^2 |y|^2
= n ||A||^2
やっとできた...
2×2行列なんだから恰好つけなくても力技でいいじゃん
だって一般の次元の方が楽じゃん。
a b c d で一度に４つも変数を相手にするの嫌だよ。
a b c d で一度に４つも変数を相手にするの嫌だよ。
やっとできた
やっとできた
やっとできた
どの口がほざくのかねえｗｗｗｗｗ
やっとできた
やっとできた
どの口がほざくのかねえｗｗｗｗｗ
すぐ解けたっていうならなんで解答書いてあげなかったのさ
数理論理学に自信ニキ
X->(Y->X)
(X->(Y->Z))->((X->Y)->(X->Z))
(~X->~Y)->(Y->X)
この3つの公理と
推論規則mpを使って
((X->Y)->Y)->((Y->X)->X)
の証明のしかたを教えてください
X->(Y->X)
(X->(Y->Z))->((X->Y)->(X->Z))
(~X->~Y)->(Y->X)
この3つの公理と
推論規則mpを使って
((X->Y)->Y)->((Y->X)->X)
の証明のしかたを教えてください
まともな解答がつかなかったので、もう一度お願いします。
0<a<b<cとする。
BC=a,CA=b,AB=cの△ABCのある辺の上に点Pをとり、残りの二辺についてPの対称点Q,Rをとる。
（1）PQ+PRが最大となるとき、Pはどの辺上の、どの位置にあるか。
（2）PQ+QRが最大となるとき、Pはどの辺上の、どの位置にあるか。
0<a<b<cとする。
BC=a,CA=b,AB=cの△ABCのある辺の上に点Pをとり、残りの二辺についてPの対称点Q,Rをとる。
（1）PQ+PRが最大となるとき、Pはどの辺上の、どの位置にあるか。
（2）PQ+QRが最大となるとき、Pはどの辺上の、どの位置にあるか。
>>591
Aが行列でもベクトルでも
|A| = √{tr(AA~)}, ただし A~ はAの転置
だな？
Aが行列でもベクトルでも
|A| = √{tr(AA~)}, ただし A~ はAの転置
だな？
>>591
回答ありがとうございます
追記なんですがuとxが太字になってます
uとxの違いを教えていただけませんでしょうか
あと(1)の|I|は分かったんですが||I||が解けてないのでぜひお願いします
回答ありがとうございます
追記なんですがuとxが太字になってます
uとxの違いを教えていただけませんでしょうか
あと(1)の|I|は分かったんですが||I||が解けてないのでぜひお願いします
あと計算するだけ、力業といったご指摘をいただいていますが全くそんな簡単な形になってません
そういった解き方があるのなら教えていただけると幸いです
そういった解き方があるのなら教えていただけると幸いです
具体的には|Ax|がx=(x, y)と置いたとき、√((ax+by)^2+(cx+dy)^2)となると思うんですがこれの最大値が||A||となるという理解であっていますでしょうか？
>>604
A を Lxn 行列、B を nxm 行列とする。
A~A と BB~ は nxn行列（Grammian 行列）で
|AB|^2 = tr{(AB) (B~A~)}
= tr{(A~A) (BB~)}
= Σ[i=1,n] [j=1,n] (A~A)ij (BB~)ji
ここで
(A~A)ij ≦ {(A~A)ii + (A~A)jj} /2,
(BB~)ji ≦ {(BB~)ii + (BB~)jj} /2,
より
|AB|^2 ≦ n Σ[i=1,n] (A~A)ii Σ[j=1,n] (BB~)jj
= n tr(A~A) tr(BB~)
= n(|A||B|)^2,
|AB| ≦ (√n)|A||B|,
A を Lxn 行列、B を nxm 行列とする。
A~A と BB~ は nxn行列（Grammian 行列）で
|AB|^2 = tr{(AB) (B~A~)}
= tr{(A~A) (BB~)}
= Σ[i=1,n] [j=1,n] (A~A)ij (BB~)ji
ここで
(A~A)ij ≦ {(A~A)ii + (A~A)jj} /2,
(BB~)ji ≦ {(BB~)ii + (BB~)jj} /2,
より
|AB|^2 ≦ n Σ[i=1,n] (A~A)ii Σ[j=1,n] (BB~)jj
= n tr(A~A) tr(BB~)
= n(|A||B|)^2,
|AB| ≦ (√n)|A||B|,
算数オリンピックの問題です。
>>608
A、B、Cがお互いにそれぞれが積、和、差を聞かされたということを教えられていないとわかるわけないと思うのだが、
それは問題になっている以上聞かされていると判断するってのも問題のうちなのかな？
A、B、Cがお互いにそれぞれが積、和、差を聞かされたということを教えられていないとわかるわけないと思うのだが、
それは問題になっている以上聞かされていると判断するってのも問題のうちなのかな？
2と9
朝の頭の体操にピッタリだった
朝の頭の体操にピッタリだった
>>447
この例だと商写像になってないと言われたんですがどういうことなんでしょうか
自然な射影も商写像と呼ぶのではなかったんでしょうか
この例だと商写像になってないと言われたんですがどういうことなんでしょうか
自然な射影も商写像と呼ぶのではなかったんでしょうか
【衝撃】ヒカキンの年収・月収を暴露！広告収入が15億円超え！？
https://nicotubers.com/yutuber/hikakin-nensyu-gessyu/
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ヒカキンの月収は１億円！読唇術でダウンタウンなうの坂上忍を検証！
https://mitarashi-highland.com/blog/fun/hikakin
なぜか観てしまう！！サバイバル系youtuberまとめ
http://tokyohitori.hatenablog.com/entry/2016/10/01/102830
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https://www.businessinsider.jp/post-242
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http://mogumogunews.com/2018/12/topic_24722/
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https://forbesjapan.com/articles/detail/14474
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https://matomenewsxx.com/hikaru-income-8181.html
はじめしゃちょーの年収は6億？2017年は30億突破か？
https://2xmlabs.com/archives/1873
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1年で何十億円も稼ぐ高収入ユーチューバー世界ランキングトップ10
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ヒカルの収入が日収80万、月収2400万、年収3億と判明www
https://matomenewsxx.com/hikaru-income-8181.html
はじめしゃちょーの年収は6億？2017年は30億突破か？
https://2xmlabs.com/archives/1873
>>608
文中の
「B君、C君『ぼくたちもわからない。』」
は不適当。
「たちも」と言う言葉が使われているが、これでは、B君はC君もわからないことを、
C君はB君もわからないことを知っていると読み取れる。これでは、問題としておかしい。
例えば、
「先生がB君、C君に、『君たちはわかったかい？』と尋ねたら、二人同時に『いいえ』と答えた」
等と修正すればよい。
文中の
「B君、C君『ぼくたちもわからない。』」
は不適当。
「たちも」と言う言葉が使われているが、これでは、B君はC君もわからないことを、
C君はB君もわからないことを知っていると読み取れる。これでは、問題としておかしい。
例えば、
「先生がB君、C君に、『君たちはわかったかい？』と尋ねたら、二人同時に『いいえ』と答えた」
等と修正すればよい。
B君とC君は付き合ってると考えれば
何も不思議はない
夜は突き合ってる
何も不思議はない
夜は突き合ってる
ゴニョゴニョ……
~∩∩ ∩∩あ､
( (`)(-_-))そうなんだ
(っц)(～っ) ――
｢￣￣￣￣￣￣]
｢A君、積は12だよ｣
前>>619
~∩∩ ∩∩あ､
( (`)(-_-))そうなんだ
(っц)(～っ) ――
｢￣￣￣￣￣￣]
｢A君、積は12だよ｣
前>>619
積12で和が7なら3、4って分かるからB君の時点で分かるんちゃうんか？
「B君、話はほかでもない。じつはな、和は7なんだよ」
~∩∩ ∩∩へー
((-_-)(~e~))そうなんや
(っц)(～っ) ――
｢￣￣￣￣￣￣]
B君の心の声｢それだけじゃわからへんなぁ｣前>>620
~∩∩ ∩∩へー
((-_-)(~e~))そうなんや
(っц)(～っ) ――
｢￣￣￣￣￣￣]
B君の心の声｢それだけじゃわからへんなぁ｣前>>620
~∩∩！ 前>>622∩∩
((-.-) C君――(`) )
[￣]_) 差は1よ U⌒U､
￣￣]/＼___∩∩ノ(γ)
＿＿/＼/,,(`.`))⌒ﾞ,|
￣￣＼/彡`-`ﾐυ`υυ|
￣￣|＼_U⌒U､___／| |
□ | ∥~U~U~￣∥ | /
＿＿| ∥ □ □ ∥ |/
_____`∥_______∥／
￣￣￣￣￣￣￣￣
C君の心の声「1か！ じゃあわかった。3と4だ。積は6か8か12で、和は7しかないってわかったけど、差が(1,6)で5か(3,4)で1かどっちかわからんかったんや」
((-.-) C君――(`) )
[￣]_) 差は1よ U⌒U､
￣￣]/＼___∩∩ノ(γ)
＿＿/＼/,,(`.`))⌒ﾞ,|
￣￣＼/彡`-`ﾐυ`υυ|
￣￣|＼_U⌒U､___／| |
□ | ∥~U~U~￣∥ | /
＿＿| ∥ □ □ ∥ |/
_____`∥_______∥／
￣￣￣￣￣￣￣￣
C君の心の声「1か！ じゃあわかった。3と4だ。積は6か8か12で、和は7しかないってわかったけど、差が(1,6)で5か(3,4)で1かどっちかわからんかったんや」
f(n) = Σ[k=1 to n] k!
が平方数になる自然数nを2つ求めよ。
さらにf(n)が平方数になるnはそれらのみであることを示せ。
が平方数になる自然数nを2つ求めよ。
さらにf(n)が平方数になるnはそれらのみであることを示せ。
>>624
n=1の時の1、n=3の時の9のみが平方数。
nが4以上の時、Σ_[k=1,n]k! ≡ Σ_[k=1,4]k! ≡ 3 (mod5) で平方剰余にならない。
n=1の時の1、n=3の時の9のみが平方数。
nが4以上の時、Σ_[k=1,n]k! ≡ Σ_[k=1,4]k! ≡ 3 (mod5) で平方剰余にならない。
入力が出来なかったので
画像から失礼します、
この問題の解き方を丁寧に
教えて頂ければ助かります
画像から失礼します、
この問題の解き方を丁寧に
教えて頂ければ助かります
>>627
一般に 0<A, 0<B の時、A+B = (√A - √B)^2 + 2√(AB) ≧ 2√(AB)
つまり √A = √B のとき、 A+B は最小値 2√(AB) となります.
f(a)= (√a - 3/√a)^2 + 6
a=3 のとき、最小値 6 となります.
g(a,b) = ab + 4/(ab) + 5 = (√(ab) - 2/√(ab))^2 + 9
ab=2 のとき、 最小値 9 となります.
一般に 0<A, 0<B の時、A+B = (√A - √B)^2 + 2√(AB) ≧ 2√(AB)
つまり √A = √B のとき、 A+B は最小値 2√(AB) となります.
f(a)= (√a - 3/√a)^2 + 6
a=3 のとき、最小値 6 となります.
g(a,b) = ab + 4/(ab) + 5 = (√(ab) - 2/√(ab))^2 + 9
ab=2 のとき、 最小値 9 となります.
>>627
なぜあなたに丁寧にしなくてはいけないのですか？
答えだけでもありがたいと思えないのですか？
なぜあなたに丁寧にしなくてはいけないのですか？
答えだけでもありがたいと思えないのですか？
ここは分からない問題を書くスレです。
お願いごとをするスレでも分からない問題に答えてもらえるスレでもありません。
お願いごとをするスレでも分からない問題に答えてもらえるスレでもありません。
円柱の曲面に点が複数個あって、その点をすべて含む最小の面を切り取りたいんですが、どのようにすれば取れるでしょうか。
点のX座標、Y座標はすでにわかっています。
縦は簡単に一番上と一番下がわかるんですが、横がわかりません。
一番点と点が離れている場所を探して、その点が両端になるという考えでいいんでしょうか？
点のX座標、Y座標はすでにわかっています。
縦は簡単に一番上と一番下がわかるんですが、横がわかりません。
一番点と点が離れている場所を探して、その点が両端になるという考えでいいんでしょうか？
面という言葉をどういう意味で使っているのか
画用紙を丸めて作った円柱の曲面を切り抜いて長方形の画用紙を作りたいといえば伝わるでしょうか？
意味がわからなすぎる
馬鹿な頭で曲解して省力して説明不足にするな
馬鹿な頭で曲解して省力して説明不足にするな
長方形かよなぜ最初から言わんのだこの馬鹿は
言葉足らずだったようで、すみません。
その点が実際にどこにあるのかによるんじゃないか？
円柱の側面部分いたるところに点があるなら円柱の側面を展開して出来る長方形ってことになるだろう
側面のどこかを鉛直に切って展開して、それを複数用意して繋げて考えるとかかなあ？
立体なのにX座標とY座標しかないのもどういう想定をしているのかよくわからないし、賢い人にリアルで直接聞いた方がいいんでないか？
円柱の側面部分いたるところに点があるなら円柱の側面を展開して出来る長方形ってことになるだろう
側面のどこかを鉛直に切って展開して、それを複数用意して繋げて考えるとかかなあ？
立体なのにX座標とY座標しかないのもどういう想定をしているのかよくわからないし、賢い人にリアルで直接聞いた方がいいんでないか？
円周方向に隣り合う点の間隔が最も広いところを残すように切り取れば
それが最小じゃね？
それが最小じゃね？
数学の問題解いたのですが、極限操作など適当にやってしまったので、もし間違っていれば指摘して頂きたいです
>>644
・3頁１行目 が怪しい
1/R ≦ R^{n-1} /2 つまり 2 ≦ R^n の時、
|1/R + R^{n-1} e^{inθ} |
≧ | R^{n-1} e^{inθ} | - | 1/R |
≧ R^{n-1} /2
∴ 1 / |1/R + R^{n-1} e^{inθ} | ≦ 2/R^{n-1}
・留数計算はもっと簡単に
f(x) = 1/g(x) の形で x=α を g(x) の1位の零点とする. g(α)=0
Res(f, α) = lim{x→α} (x-α)/g(x) = lim{x→α} (x-α)/ ( g(x) - g(α) ) = 1/g'(α)
・説明用なら積分路の図を添えると良いかも
図さえあれば式はこれ↓くらいでも伝わる(たぶん)
α = (-1)^{1/n} = e^{iπ/n}
(1-α^2) I = 2πi Res(f,α) = 2πi/( nα^{n-1}) = 2πi(- α/n)
∴ I = 2πi/(α-α^{-1}) = π/( n sin(π/n) )
・3頁１行目 が怪しい
1/R ≦ R^{n-1} /2 つまり 2 ≦ R^n の時、
|1/R + R^{n-1} e^{inθ} |
≧ | R^{n-1} e^{inθ} | - | 1/R |
≧ R^{n-1} /2
∴ 1 / |1/R + R^{n-1} e^{inθ} | ≦ 2/R^{n-1}
・留数計算はもっと簡単に
f(x) = 1/g(x) の形で x=α を g(x) の1位の零点とする. g(α)=0
Res(f, α) = lim{x→α} (x-α)/g(x) = lim{x→α} (x-α)/ ( g(x) - g(α) ) = 1/g'(α)
・説明用なら積分路の図を添えると良いかも
図さえあれば式はこれ↓くらいでも伝わる(たぶん)
α = (-1)^{1/n} = e^{iπ/n}
(1-α^2) I = 2πi Res(f,α) = 2πi/( nα^{n-1}) = 2πi(- α/n)
∴ I = 2πi/(α-α^{-1}) = π/( n sin(π/n) )
１～13までの数字が１つずつ書かれた13枚のカードがあります。
いま、先生がこの中から２枚をひいて、その２つの数字について、Ａ君には積を、Ｂ君には和を、Ｃ君には差を教えました。３人は先生がひいた２枚のカードの数字を当てようとして、次のように順に会話しています。
Ａ君「わからないな。」
Ｂ君「ぼくもわからないよ。」
Ｃ君「うーん、やっぱりわからないなあ。」
Ａ君「まだわからない。」
Ｂ君、Ｃ君「ぼくたちもわからない。」
先生がひいた２枚のカードの数字を２つとも答えなさい。
いま、先生がこの中から２枚をひいて、その２つの数字について、Ａ君には積を、Ｂ君には和を、Ｃ君には差を教えました。３人は先生がひいた２枚のカードの数字を当てようとして、次のように順に会話しています。
Ａ君「わからないな。」
Ｂ君「ぼくもわからないよ。」
Ｃ君「うーん、やっぱりわからないなあ。」
Ａ君「まだわからない。」
Ｂ君、Ｃ君「ぼくたちもわからない。」
先生がひいた２枚のカードの数字を２つとも答えなさい。
任意の自然数nに対して、n³－1は平方数にならないこと
>>648
n^3-1=(n-1)(n^2+n+1)
平方数になるとき
n-1=n^2+n+1
n^2=2
よりならない
n^3-1=(n-1)(n^2+n+1)
平方数になるとき
n-1=n^2+n+1
n^2=2
よりならない
>>647
二回目のA君のコメントの後、候補は (2,9)、(3,6)、(3,10)、(5,6) の四通り。
和が9であったらB君は(3,6)と答えるし、13であったら(3,10)と答える。
わからないと答えたのは、和が11で、(2,9)か(5,6)か を迷ったと言うこと。
同様に、差が1であったらC君は(5,6)と答えるし、3であったら(3,6)と答える。
わからないと答えたのは、差が7で、(2,9)か(3,10)か を迷ったと言うこと。
このように、両者が『独立に』わからないと答えたとして、両者の共通解(2,9)が
先生が選んだ二つのカードに書かれた数字と考えられる。
前回も指摘したが、A君の二回目のコメントの後の、
「Ｂ君、Ｃ君「ぼくたちもわからない。」 」
は、問題として不適当。この表現では、B君、C君がお互い、相手もわからないと答えることを
知っているかのような表現。実際は、B君Yes/No、C君Yes/No の組み合わせ4通りの可能性がある。
4パターンどれでも、問題として作り得る。
下に、A君、B君、C君、A君 のコメントの後、どのように候補が残っていったかをプログラムした。
http://codepad.org/GO74afNo
二回目のA君のコメントの後、候補は (2,9)、(3,6)、(3,10)、(5,6) の四通り。
和が9であったらB君は(3,6)と答えるし、13であったら(3,10)と答える。
わからないと答えたのは、和が11で、(2,9)か(5,6)か を迷ったと言うこと。
同様に、差が1であったらC君は(5,6)と答えるし、3であったら(3,6)と答える。
わからないと答えたのは、差が7で、(2,9)か(3,10)か を迷ったと言うこと。
このように、両者が『独立に』わからないと答えたとして、両者の共通解(2,9)が
先生が選んだ二つのカードに書かれた数字と考えられる。
前回も指摘したが、A君の二回目のコメントの後の、
「Ｂ君、Ｃ君「ぼくたちもわからない。」 」
は、問題として不適当。この表現では、B君、C君がお互い、相手もわからないと答えることを
知っているかのような表現。実際は、B君Yes/No、C君Yes/No の組み合わせ4通りの可能性がある。
4パターンどれでも、問題として作り得る。
下に、A君、B君、C君、A君 のコメントの後、どのように候補が残っていったかをプログラムした。
http://codepad.org/GO74afNo
>>648
n^3 - 1 = m^2 (m,n:整数) とする
n^3 = (m+i)(m-i)
Z[i]は素元分解整域であるから、m+i = (a+bi)^3 (a,b:整数) となる
両辺の虚部を比較すると 1 = b(3a^2 - b^2) であるから、a=0, b=-1
よって、n^3 - 1 = m^2 となる整数m,nはm=0, n=1のみ
n^3 - 1 = m^2 (m,n:整数) とする
n^3 = (m+i)(m-i)
Z[i]は素元分解整域であるから、m+i = (a+bi)^3 (a,b:整数) となる
両辺の虚部を比較すると 1 = b(3a^2 - b^2) であるから、a=0, b=-1
よって、n^3 - 1 = m^2 となる整数m,nはm=0, n=1のみ
R^nに埋め込まれたk次元多様体Mは、Mの点xの近傍では、R^kの開部分集合からR^(n-k)への滑らかな写像のグラフと同一視できますか？
前>>651
A君が先生から積を聴いてなにを迷っているか、およびB君が先生から聴いた和、C君が先生から聴いた差をそれぞれ積で場合分けすると、
積6(1,6)､(2,3)和7､5差5､1
積8(1,8)､(2,4)和9､6差7､2
積10(1,10)､(2,5)和11､7差9､3
積12(1,12)､(2,6)､(3,4)和13､8､7差11､4､1
積18(2,9)､(3,6)和11､9差7､3
積20(2,10)､(4,5)和12､9差8､1
積24(2,12)､(3,8)､(4,6)和14､11､10差10､5､2
積30(3,10)､(5,6)和13､11差7､1
積36(3,12)､(4,9)和15､13差9､5
積40(4,10)､(5,8)和14､13差6､3
積48(4,12)､(6,8)和16､14差8､2
積60(5,12)､(6,10)和17､16差7､4
積72(6,12)､(8,9)和18､17差6､1
A君は先生から上記13通りのうちどの積を言われても迷っていたが、B君はこの結果により先生から和について7､9､11､13､14､16､17のいずれかを言われたとわかる。∵和がただ一つしか現れない組み合わせを言われていたら、B君は2つの数が特定できるから
同様に迷っているB君を見たC君は差について先生から1､3､5､7のいずれかを言われたはずで、
差が1なら(3,4)､(5,6)､
差が3なら(2,5)､(3,6)､(5,8)､
差が5なら(1,6)､(3,8)､
差が7なら(2,9)､(3,10)だがまだわからない。
ここでA君は、
積を先生から18と言われてたら(2,9)､(3,6)で迷ってる。
積を先生から30と言われてたら(3,10)､(5,6)で迷ってる。
もしも和が9でB君が先生から和は9だって言われてたら、B君は(3,6)だぁ!! って特定するはずなんで、
和は11で、2つの数は、
(2,9)､(5,6)のどちらかだと推定したはず。
もしも差が1でC君が先生から差は1だって言われてたら、C君は(5,6)だぁ!! って特定するはずなんで、
和は7で、2つの数は、
(答え)2,9
こういうこと？
A君が先生から積を聴いてなにを迷っているか、およびB君が先生から聴いた和、C君が先生から聴いた差をそれぞれ積で場合分けすると、
積6(1,6)､(2,3)和7､5差5､1
積8(1,8)､(2,4)和9､6差7､2
積10(1,10)､(2,5)和11､7差9､3
積12(1,12)､(2,6)､(3,4)和13､8､7差11､4､1
積18(2,9)､(3,6)和11､9差7､3
積20(2,10)､(4,5)和12､9差8､1
積24(2,12)､(3,8)､(4,6)和14､11､10差10､5､2
積30(3,10)､(5,6)和13､11差7､1
積36(3,12)､(4,9)和15､13差9､5
積40(4,10)､(5,8)和14､13差6､3
積48(4,12)､(6,8)和16､14差8､2
積60(5,12)､(6,10)和17､16差7､4
積72(6,12)､(8,9)和18､17差6､1
A君は先生から上記13通りのうちどの積を言われても迷っていたが、B君はこの結果により先生から和について7､9､11､13､14､16､17のいずれかを言われたとわかる。∵和がただ一つしか現れない組み合わせを言われていたら、B君は2つの数が特定できるから
同様に迷っているB君を見たC君は差について先生から1､3､5､7のいずれかを言われたはずで、
差が1なら(3,4)､(5,6)､
差が3なら(2,5)､(3,6)､(5,8)､
差が5なら(1,6)､(3,8)､
差が7なら(2,9)､(3,10)だがまだわからない。
ここでA君は、
積を先生から18と言われてたら(2,9)､(3,6)で迷ってる。
積を先生から30と言われてたら(3,10)､(5,6)で迷ってる。
もしも和が9でB君が先生から和は9だって言われてたら、B君は(3,6)だぁ!! って特定するはずなんで、
和は11で、2つの数は、
(2,9)､(5,6)のどちらかだと推定したはず。
もしも差が1でC君が先生から差は1だって言われてたら、C君は(5,6)だぁ!! って特定するはずなんで、
和は7で、2つの数は、
(答え)2,9
こういうこと？
前>>656訂正。
A君が先生から積を聴いてなにを迷っているか、およびB君が先生から聴いた和、C君が先生から聴いた差をそれぞれ積で場合分けすると、
積6(1,6)､(2,3)和7､5差5､1
積8(1,8)､(2,4)和9､6差7､2
積10(1,10)､(2,5)和11､7差9､3
積12(1,12)､(2,6)､(3,4)和13､8､7差11､4､1
積18(2,9)､(3,6)和11､9差7､3
積20(2,10)､(4,5)和12､9差8､1
積24(2,12)､(3,8)､(4,6)和14､11､10差10､5､2
積30(3,10)､(5,6)和13､11差7､1
積36(3,12)､(4,9)和15､13差9､5
積40(4,10)､(5,8)和14､13差6､3
積48(4,12)､(6,8)和16､14差8､2
積60(5,12)､(6,10)和17､16差7､4
積72(6,12)､(8,9)和18､17差6､1
A君は先生から上記13通りのうちどの積を言われても迷っていたが、B君はこの結果により先生から和について7､9､11､13､14､16､17のいずれかを言われたとわかる。∵和がただ一つしか現れない組み合わせを言われていたら、B君は2つの数が特定できるから
同様に迷っているB君を見たC君は差について先生から1､3､5､7のいずれかを言われたはずで、
差が1なら(3,4)､(5,6)､
差が3なら(2,5)､(3,6)､(5,8)､
差が5なら(1,6)､(3,8)､
差が7なら(2,9)､(3,10)だがまだわからない。
ここでA君は、
積を先生から18と言われてたら(2,9)､(3,6)で迷ってる。
積を先生から30と言われてたら(3,10)､(5,6)で迷ってる。
もしも和が9でB君が先生から和は9だって言われてたら、B君は(3,6)だぁ!! って特定するはずなんで、
和は11で、2つの数は、
(2,9)､(5,6)のどちらかだと推定したはず。
もしも差が1でC君が先生から差は1だって言われてたら、C君は(5,6)だぁ!! って特定するはずなんで、
差は7で、2つの数は、
(答え)2,9
A君が先生から積を聴いてなにを迷っているか、およびB君が先生から聴いた和、C君が先生から聴いた差をそれぞれ積で場合分けすると、
積6(1,6)､(2,3)和7､5差5､1
積8(1,8)､(2,4)和9､6差7､2
積10(1,10)､(2,5)和11､7差9､3
積12(1,12)､(2,6)､(3,4)和13､8､7差11､4､1
積18(2,9)､(3,6)和11､9差7､3
積20(2,10)､(4,5)和12､9差8､1
積24(2,12)､(3,8)､(4,6)和14､11､10差10､5､2
積30(3,10)､(5,6)和13､11差7､1
積36(3,12)､(4,9)和15､13差9､5
積40(4,10)､(5,8)和14､13差6､3
積48(4,12)､(6,8)和16､14差8､2
積60(5,12)､(6,10)和17､16差7､4
積72(6,12)､(8,9)和18､17差6､1
A君は先生から上記13通りのうちどの積を言われても迷っていたが、B君はこの結果により先生から和について7､9､11､13､14､16､17のいずれかを言われたとわかる。∵和がただ一つしか現れない組み合わせを言われていたら、B君は2つの数が特定できるから
同様に迷っているB君を見たC君は差について先生から1､3､5､7のいずれかを言われたはずで、
差が1なら(3,4)､(5,6)､
差が3なら(2,5)､(3,6)､(5,8)､
差が5なら(1,6)､(3,8)､
差が7なら(2,9)､(3,10)だがまだわからない。
ここでA君は、
積を先生から18と言われてたら(2,9)､(3,6)で迷ってる。
積を先生から30と言われてたら(3,10)､(5,6)で迷ってる。
もしも和が9でB君が先生から和は9だって言われてたら、B君は(3,6)だぁ!! って特定するはずなんで、
和は11で、2つの数は、
(2,9)､(5,6)のどちらかだと推定したはず。
もしも差が1でC君が先生から差は1だって言われてたら、C君は(5,6)だぁ!! って特定するはずなんで、
差は7で、2つの数は、
(答え)2,9
0<a<b<c<a+bとする。
BC=a,CA=b,AB=cの△ABCの1つの辺を選び、その上に点Pをとる。
残りの2辺についての、Pの対称点Q,Rをとる。
（1）PQ+PRが最大となるとき、Pはどの辺上の、どの位置にあるか。
（2）PQ+QRが最大となるとき、Pはどの辺上の、どの位置にあるか。
BC=a,CA=b,AB=cの△ABCの1つの辺を選び、その上に点Pをとる。
残りの2辺についての、Pの対称点Q,Rをとる。
（1）PQ+PRが最大となるとき、Pはどの辺上の、どの位置にあるか。
（2）PQ+QRが最大となるとき、Pはどの辺上の、どの位置にあるか。
f(n)=(n^2+1)(2n^2+k)
とする。次の性質を持つ自然数kは無数に存在することを示せ。
「任意の自然数nに対して、f(n)は平方数にならない」
とする。次の性質を持つ自然数kは無数に存在することを示せ。
「任意の自然数nに対して、f(n)は平方数にならない」
k=3 (mod 4)
>>647問題文こうあるべき
Ａ君「先生が1～13までの数字のうち、異なる2数を選んだという。ぼくは先生からその2数の積を聞いたんだけど、その積からだけじゃ2数がどれとどれなのか特定できない」
Ｂ君「ぼくは先生からその2数の和を聞いた。Ａ君が特定できないことを考え合わせても、ぼくにも特定ができない」
Ｃ君「ぼくは先生からその2数の差を聞いた。Ａ君とＢ君が特定できないことを考え合わせても、ぼくにも特定ができない」
Ａ君「Ｂ君とＣ君がまだ特定できないことを考え合わせても、ぼくにも特定できない」
Ｂ君、Ｃ君「Ａ君がまだ特定できないことを考え合わせても、ぼくにも特定できない」(同時に発言)
ここまで、Ａ君Ｂ君Ｃ君はそれぞれ先生から聞いた数字そのものを互いに教えあっていない。
これらの条件より先生が選んだ2数を答えなさい
Ａ君「先生が1～13までの数字のうち、異なる2数を選んだという。ぼくは先生からその2数の積を聞いたんだけど、その積からだけじゃ2数がどれとどれなのか特定できない」
Ｂ君「ぼくは先生からその2数の和を聞いた。Ａ君が特定できないことを考え合わせても、ぼくにも特定ができない」
Ｃ君「ぼくは先生からその2数の差を聞いた。Ａ君とＢ君が特定できないことを考え合わせても、ぼくにも特定ができない」
Ａ君「Ｂ君とＣ君がまだ特定できないことを考え合わせても、ぼくにも特定できない」
Ｂ君、Ｃ君「Ａ君がまだ特定できないことを考え合わせても、ぼくにも特定できない」(同時に発言)
ここまで、Ａ君Ｂ君Ｃ君はそれぞれ先生から聞いた数字そのものを互いに教えあっていない。
これらの条件より先生が選んだ2数を答えなさい
>>662
「A君B君C君は論理的思考力を有しており、仮に数字の組み合わせを特定できる状況であれば確実に特定できるものとする。
さらに、彼らは互いに相手がその能力を有していることを理解しており、誰かが「特定できない」と答えた時は、「その時点では論理的に考えて特定できない状況である」という前提で考えるものとする。」
も追加で
「A君B君C君は論理的思考力を有しており、仮に数字の組み合わせを特定できる状況であれば確実に特定できるものとする。
さらに、彼らは互いに相手がその能力を有していることを理解しており、誰かが「特定できない」と答えた時は、「その時点では論理的に考えて特定できない状況である」という前提で考えるものとする。」
も追加で
過剰数＝その数自身を除く約数の総和が元の数より大きい数
＞自然数のうち過剰数が占める割合は 0.2474 から 0.2480 の間であると証明されている。
過剰数が約1/4
不足数が約3/4
であることの定性的な「説明」って可能？
＞自然数のうち過剰数が占める割合は 0.2474 から 0.2480 の間であると証明されている。
過剰数が約1/4
不足数が約3/4
であることの定性的な「説明」って可能？
曲線y=e^x上にx座標がそれぞれx=a,x=bとなる2点A,Bがある。ただし0<a<bである。このとき直線ABと平行となる曲線の接線の接点のx座標をcとすると、(a+b)/2<cとなることを証明せよ
>>665
f(x) = e^x , f’(x) = e^x
f’( (a+ b)/2 )
= e^{(a+ b)/2} < ( e^a + e^b )/2 ( ∵ y=f(x) は下に凸なグラフ)
= f’(c)
(a+ b)/2 < c ( ∵ f’(x) は単調増加関数 )
f(x) = e^x , f’(x) = e^x
f’( (a+ b)/2 )
= e^{(a+ b)/2} < ( e^a + e^b )/2 ( ∵ y=f(x) は下に凸なグラフ)
= f’(c)
(a+ b)/2 < c ( ∵ f’(x) は単調増加関数 )
前提条件より f(c) = e^c = f’(c) = (e^b - e^a) /(b-a)
e^{(a+b)/2 } < (e^b - e^a) /(b-a) ← これを示すには...
(e^b - e^a) - (b-a) e^{(a+b)/2 }
= e^a ( e^{b-a} - 1 - (b-a) e^{(b-a)/2 )
= e^a g(b-a) ( g(x) := e^x - 1 - x e^{x/2} と置いた)
x ＞ 0 のとき g(x) ＞ 0 を示せば良い.
g(0) = 0
g’(x) = e^x -(1+ x/2) e^{x/2} = e^{x/2} (e^{x/2} -(1+ x/2) ) = e^{x/2} h(x)
h(x) := e^{x/2} -(1+ x/2) と置いた.
h(0) = 0 , h’(x) = (1/2)( e^{x/2} - 1 ) ＞ 0, h(x)＞０
よって g(x) ＞ 0
e^{(a+b)/2 } < (e^b - e^a) /(b-a) が示された.
e^x の単調増加性により (以下略)
e^{(a+b)/2 } < (e^b - e^a) /(b-a) ← これを示すには...
(e^b - e^a) - (b-a) e^{(a+b)/2 }
= e^a ( e^{b-a} - 1 - (b-a) e^{(b-a)/2 )
= e^a g(b-a) ( g(x) := e^x - 1 - x e^{x/2} と置いた)
x ＞ 0 のとき g(x) ＞ 0 を示せば良い.
g(0) = 0
g’(x) = e^x -(1+ x/2) e^{x/2} = e^{x/2} (e^{x/2} -(1+ x/2) ) = e^{x/2} h(x)
h(x) := e^{x/2} -(1+ x/2) と置いた.
h(0) = 0 , h’(x) = (1/2)( e^{x/2} - 1 ) ＞ 0, h(x)＞０
よって g(x) ＞ 0
e^{(a+b)/2 } < (e^b - e^a) /(b-a) が示された.
e^x の単調増加性により (以下略)
>>665
(e^b - e^a)/(b - a) = e^cより
c=log{(e^b - e^a)/(b - a)} > (a + b)/2
⇔ (e^b - e^a)/(b - a) > e^{(a + b)/2}
⇔ e^b - e^a > (b - a) e^{(a + b)/2} ･･･① を示せばよい。
α=(a + b)/2とおく。
(α, e^α)におけるy=e^xの接線をf(x)とおく。
(1) f(a) ≧ 0のとき
①の左辺e^b - e^aは
x = a, x = b, y = 0, y = e^xで囲まれた部分の面積。
右辺はヨコ(b - a)とタテe^{(a + b)/2}の長方形の面積で
これはx = a, x = b, y = 0, y = f(x)で囲まれた台形(f(a)=0のときは三角形)の面積Sに等しい。
従って、y = e^xの凸性より
①の左辺 > S = (b - a) e^{(a + b)/2}
(2)
f(a) < 0 のときは、
∃δ > 0 s.t. f(a) > -δ
s = δ(b - a)とおいて、（1)と同様に
x = a, x = b, y = -δ, y = e^xで囲まれた部分の面積と
x = a, x = b, y = -δ, y = f(x)で囲まれた台形の面積を比較して
e^b - e^a + s > (b - a)[δ + e^{(a + b)/2}] = (b - a) e^{(a + b)/2} + s
両辺からsを引くと①が成り立つ。
(e^b - e^a)/(b - a) = e^cより
c=log{(e^b - e^a)/(b - a)} > (a + b)/2
⇔ (e^b - e^a)/(b - a) > e^{(a + b)/2}
⇔ e^b - e^a > (b - a) e^{(a + b)/2} ･･･① を示せばよい。
α=(a + b)/2とおく。
(α, e^α)におけるy=e^xの接線をf(x)とおく。
(1) f(a) ≧ 0のとき
①の左辺e^b - e^aは
x = a, x = b, y = 0, y = e^xで囲まれた部分の面積。
右辺はヨコ(b - a)とタテe^{(a + b)/2}の長方形の面積で
これはx = a, x = b, y = 0, y = f(x)で囲まれた台形(f(a)=0のときは三角形)の面積Sに等しい。
従って、y = e^xの凸性より
①の左辺 > S = (b - a) e^{(a + b)/2}
(2)
f(a) < 0 のときは、
∃δ > 0 s.t. f(a) > -δ
s = δ(b - a)とおいて、（1)と同様に
x = a, x = b, y = -δ, y = e^xで囲まれた部分の面積と
x = a, x = b, y = -δ, y = f(x)で囲まれた台形の面積を比較して
e^b - e^a + s > (b - a)[δ + e^{(a + b)/2}] = (b - a) e^{(a + b)/2} + s
両辺からsを引くと①が成り立つ。
YouTubeのおすすめ動画に
√((11^4 + 100^4 + 111^4) / 2)
を計算せよという動画があります。
動画自体は見ていませんが、簡単な問題ですね。
(11^4 + 100^4 + 111^4) / 2)
=
((10 + 1)^4 + 10^8 + (10^2 + 10 + 1)^4) / 2
=
(1 + 2 * 10 + 2 * 10^2 + 10^3 + 10^4)^2
なので
√((11^4 + 100^4 + 111^4) / 2) = 1 + 2 * 10 + 2 * 10^2 + 10^3 + 10^4
です。
√((11^4 + 100^4 + 111^4) / 2)
を計算せよという動画があります。
動画自体は見ていませんが、簡単な問題ですね。
(11^4 + 100^4 + 111^4) / 2)
=
((10 + 1)^4 + 10^8 + (10^2 + 10 + 1)^4) / 2
=
(1 + 2 * 10 + 2 * 10^2 + 10^3 + 10^4)^2
なので
√((11^4 + 100^4 + 111^4) / 2) = 1 + 2 * 10 + 2 * 10^2 + 10^3 + 10^4
です。
>>665
以下、素直なやり方。略証。
((a + b)/2, e^{(a + b)/2})におけるf(x)=e^xの接線をg(x),
d(x) = e^x - g(x)とおくとf'(x)=e^xは単調増加なので
d(a) < d(b)
これから
e^{(a + b)/2} < (e^b - e^a)/(b - a)
が成り立つ。
以下、素直なやり方。略証。
((a + b)/2, e^{(a + b)/2})におけるf(x)=e^xの接線をg(x),
d(x) = e^x - g(x)とおくとf'(x)=e^xは単調増加なので
d(a) < d(b)
これから
e^{(a + b)/2} < (e^b - e^a)/(b - a)
が成り立つ。
前>>671補足。
y=e^xのグラフは、
y'=e^xであり、傾きはxの増加に伴って単調増加であるため、下に凸である。
y=e^xのグラフは、
y'=e^xであり、傾きはxの増加に伴って単調増加であるため、下に凸である。
>>665 訂正
以下、素直なやり方。略証。
((a + b)/2, e^{(a + b)/2})におけるf(x)=e^xの接線をg(x),
d(x) = e^x - g(x)とおくとf''(x)=e^xは単調増加なので
d(a) < d(b)
これから
e^{(a + b)/2} < (e^b - e^a)/(b - a)
が成り立つ。
以下、素直なやり方。略証。
((a + b)/2, e^{(a + b)/2})におけるf(x)=e^xの接線をg(x),
d(x) = e^x - g(x)とおくとf''(x)=e^xは単調増加なので
d(a) < d(b)
これから
e^{(a + b)/2} < (e^b - e^a)/(b - a)
が成り立つ。
>>665です、皆さん解答ありがとうございます。
それで思ったのですが、2次関数と同様にx=aでの接線とx=bにおける接線との交点のx座標がcとなるのでないか？と言う予想が思いついたのですが、それは飛躍しすぎでしょうか？
もちろん証明できたわけではないのですが、それを手がかりにして面積とか下に凸とかの話をミックスさせるとわかりやすくなる気もします。
が、私の能力ではうまくいきません。
それで思ったのですが、2次関数と同様にx=aでの接線とx=bにおける接線との交点のx座標がcとなるのでないか？と言う予想が思いついたのですが、それは飛躍しすぎでしょうか？
もちろん証明できたわけではないのですが、それを手がかりにして面積とか下に凸とかの話をミックスさせるとわかりやすくなる気もします。
が、私の能力ではうまくいきません。
>>648
n^3 - 1 = (n-1)(nn+n+1),
nn+n+1 = (n-1)^2 + 3(n-1) + 3,
∴ gcd(n-1, nn+n+1) = 1 or 3.
gcd = 1 のとき n^2 < nn+n+1 < (n+1)^2, nn+n+1 は平方数でない。
gcd = 3 のとき n-1 = 3q, nn+n+1 = 9q(q+1) +3, gcd(q, 3q(q+1)+1) = 1, qは平方数。
さて．．．．
n^3 - 1 = (n-1)(nn+n+1),
nn+n+1 = (n-1)^2 + 3(n-1) + 3,
∴ gcd(n-1, nn+n+1) = 1 or 3.
gcd = 1 のとき n^2 < nn+n+1 < (n+1)^2, nn+n+1 は平方数でない。
gcd = 3 のとき n-1 = 3q, nn+n+1 = 9q(q+1) +3, gcd(q, 3q(q+1)+1) = 1, qは平方数。
さて．．．．
阪急バスhanica
チャージ金額の10パーセントのプレミアがつく
2000円で2200円分買って、220円区間に1回だけ乗り1980円残った。
この1回の乗車の負担額
カード使用金額がプレミア部分に到達してないから220円で乗ったに過ぎないの？
それともカード残額にかかわらず、220＊10/11=200の200円でいいの？
どっちの理解をするかによって、1か月定期9240円の元を取る日数が変わってくるんだ
チャージ金額の10パーセントのプレミアがつく
2000円で2200円分買って、220円区間に1回だけ乗り1980円残った。
この1回の乗車の負担額
カード使用金額がプレミア部分に到達してないから220円で乗ったに過ぎないの？
それともカード残額にかかわらず、220＊10/11=200の200円でいいの？
どっちの理解をするかによって、1か月定期9240円の元を取る日数が変わってくるんだ
>>672
aa=A, bb=B, ab=C とおく。
√{(a^4 + b^4 + (a+b)^4)/2}
= √{(AA + BB + (A+B+2C)^2)/2}
= √{AA + BB + (AB + 2AC + 2BC + 2CC)}
= √(AA + BB + CC + 2AB + 2AC + 2BC) (← CC=AB)
= A + B + C,
aa=A, bb=B, ab=C とおく。
√{(a^4 + b^4 + (a+b)^4)/2}
= √{(AA + BB + (A+B+2C)^2)/2}
= √{AA + BB + (AB + 2AC + 2BC + 2CC)}
= √(AA + BB + CC + 2AB + 2AC + 2BC) (← CC=AB)
= A + B + C,
前>>674
点Aにおける接線は、
y=e^a(x-a)+e^a
点Bにおける接線は、
y=e^b(x-b)+e^b
yを消去し、
x={(a-1)e^a-(b-1)e^b}/(e^a-e^b)
一方、点Cにおける接線の傾きは、
(e^b-e^a)/(b-a)
これがe^[{(a-1)e^a-(b-1)e^b}/(e^a-e^b)]と一致するかどうか。
(e^b-e^a)/(b-a)=e^[{(a-1)e^a-(b-1)e^b}/(e^a-e^b)]と仮定すると、
(e^b-e^a)=(b-a)e^[{(a-1)e^a-(b-1)e^b}/(e^a-e^b)]
……
点Aにおける接線は、
y=e^a(x-a)+e^a
点Bにおける接線は、
y=e^b(x-b)+e^b
yを消去し、
x={(a-1)e^a-(b-1)e^b}/(e^a-e^b)
一方、点Cにおける接線の傾きは、
(e^b-e^a)/(b-a)
これがe^[{(a-1)e^a-(b-1)e^b}/(e^a-e^b)]と一致するかどうか。
(e^b-e^a)/(b-a)=e^[{(a-1)e^a-(b-1)e^b}/(e^a-e^b)]と仮定すると、
(e^b-e^a)=(b-a)e^[{(a-1)e^a-(b-1)e^b}/(e^a-e^b)]
……
>>679
hanicaの残高をどう考えるかによるんじゃないかな
2000円で2200円分買ったけど1回しか使わずに一生を終わってしまったら1回2000円で乗ったことになる
残高をちょうど使い切ることを前提とするなら2000円で220円区間を10回乗れるので1回200円
でも、どのように考えても定期の方が得になるのはIヶ月に47回以上乗る場合じゃないのかな？（220円区間しか乗らないとして）
1ヶ月46回乗る場合
定期：9240円
hanicaの残高はいつか使い切るので1回200円で乗れると考える場合：9200円
hanicaに残高を残さず使うために9000円チャージして9900円（45回）分と現金220円：9220円
となるのでいずれの場合も定期の方が損
47回目から定期の方が得になる
元を取る日数が変わってくるってのは一体どういう計算をしたんだ？
hanicaの残高をどう考えるかによるんじゃないかな
2000円で2200円分買ったけど1回しか使わずに一生を終わってしまったら1回2000円で乗ったことになる
残高をちょうど使い切ることを前提とするなら2000円で220円区間を10回乗れるので1回200円
でも、どのように考えても定期の方が得になるのはIヶ月に47回以上乗る場合じゃないのかな？（220円区間しか乗らないとして）
1ヶ月46回乗る場合
定期：9240円
hanicaの残高はいつか使い切るので1回200円で乗れると考える場合：9200円
hanicaに残高を残さず使うために9000円チャージして9900円（45回）分と現金220円：9220円
となるのでいずれの場合も定期の方が損
47回目から定期の方が得になる
元を取る日数が変わってくるってのは一体どういう計算をしたんだ？
Mathieu Moonshine 現象とは何かね？(´･ω･`)
Oを中心とする半径1の円C上に異なる2点A,Bがあり、∠OAB=θ(0<θ≤π)である。
A,BによりCの周は2つの弧に分割されるが、その一方をK、他方をLとする。
K上を点Pが、L上を点Qが、それぞれ自由に動く。
このとき、PQの中点となりうる点全体からなる領域は、1つ以上の楕円の和集合であることを示せ。
ただし、PとQはそれぞれKとLの両端点にも到達でき、PとQの位置が一致する場合はPをPQの中点とする。
A,BによりCの周は2つの弧に分割されるが、その一方をK、他方をLとする。
K上を点Pが、L上を点Qが、それぞれ自由に動く。
このとき、PQの中点となりうる点全体からなる領域は、1つ以上の楕円の和集合であることを示せ。
ただし、PとQはそれぞれKとLの両端点にも到達でき、PとQの位置が一致する場合はPをPQの中点とする。
そもそもならんやろ？
領域の境界は円弧をいくつか貼り合わせた物になるが、領域そのものは有限個の楕円の合併にはならん。
領域の境界は円弧をいくつか貼り合わせた物になるが、領域そのものは有限個の楕円の合併にはならん。
点の片方を止めて動かせば半径 0.5 の円弧になる事に気づけば後は簡単です.
一応、境界値を考慮すると欠けた円弧の集まりになりますが、
最終的には円領域二つの合併になりますね.
一応、境界値を考慮すると欠けた円弧の集まりになりますが、
最終的には円領域二つの合併になりますね.
>>682さんありがとう
「hanicaに残高を残さず使うために9000円チャージして9900円（45回）分と現金220円：9220円」
この端数の220円を又カード買って残額余らせたとしたら、
200円で乗ったとみなして9200円となるのか、220円で乗ったとして9220円になってしまうのかが知りたいです。
「元を取る日数が変わってくるってのは一体どういう計算をしたんだ？」
3000円3回だとおっしゃる通りですが、2000円4回だと９３２０円で23日になるなどチャージ金額の組み合わせで変わります。
「hanicaに残高を残さず使うために9000円チャージして9900円（45回）分と現金220円：9220円」
この端数の220円を又カード買って残額余らせたとしたら、
200円で乗ったとみなして9200円となるのか、220円で乗ったとして9220円になってしまうのかが知りたいです。
「元を取る日数が変わってくるってのは一体どういう計算をしたんだ？」
3000円3回だとおっしゃる通りですが、2000円4回だと９３２０円で23日になるなどチャージ金額の組み合わせで変わります。
x,yは自然数で、x<yである。
f(x,y)=(x+y){(1/x)+(1/y)}
について、以下の問に答えよ。
（1）x,yが共通の素因数を持つとき、f(x,y)が整数となる組(x,y)を2組求めよ。
さらに、xとyが互いに素であるとする。
（2）f(x,y)が整数となる組(x,y)は存在しないことを示せ。
（3）g(x,y)=(x^2+y^2)f(x,y)についてはどうか。
f(x,y)=(x+y){(1/x)+(1/y)}
について、以下の問に答えよ。
（1）x,yが共通の素因数を持つとき、f(x,y)が整数となる組(x,y)を2組求めよ。
さらに、xとyが互いに素であるとする。
（2）f(x,y)が整数となる組(x,y)は存在しないことを示せ。
（3）g(x,y)=(x^2+y^2)f(x,y)についてはどうか。
>>691
それならやっぱり、hanicaの残高をどのように扱うかの問題だから、それを先に決めないと答えは出ない
それならやっぱり、hanicaの残高をどのように扱うかの問題だから、それを先に決めないと答えは出ない
センター試験2019IA赤本の問題の解説が気に入りません
∠BACが鈍角のときACの垂直二等分線は直線BAのB側ではなく、A側で交わる
ということを証明抜きで使っています
確かに図を描けばわかりますが、ちゃんとした論理的根拠を教えてください
図形的センスがないのでこういう問題が一番困ります
∠BACが鈍角のときACの垂直二等分線は直線BAのB側ではなく、A側で交わる
ということを証明抜きで使っています
確かに図を描けばわかりますが、ちゃんとした論理的根拠を教えてください
図形的センスがないのでこういう問題が一番困ります
/__アメリゴ・人人_/__
/＿/ヴェス （＿^_) __
/＿/_プッチ｡(____) __
/＿/＿/＿/_（`-`))bﾞ_
/＿人人＿/__(＿っ┓__
/_(＿)_)_/_◎┻υ◎__
/_( ___)_/＿/＿/＿/＿
/_(_（`)_/＿/＿/＿/＿
/_(υ＿)┓＿/＿/__/＿
/◎υ┻-◎＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/だれかが果たした功績あっての新大陸やいうことやな。前>>686
/＿/ヴェス （＿^_) __
/＿/_プッチ｡(____) __
/＿/＿/＿/_（`-`))bﾞ_
/＿人人＿/__(＿っ┓__
/_(＿)_)_/_◎┻υ◎__
/_( ___)_/＿/＿/＿/＿
/_(_（`)_/＿/＿/＿/＿
/_(υ＿)┓＿/＿/__/＿
/◎υ┻-◎＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/だれかが果たした功績あっての新大陸やいうことやな。前>>686
Aを軸に垂直二等分線と共にCを回転させれば感覚的に明らかなはずだが...勿論角度を比較してもいいけれども
ちなみに2017年数1A第5問はそういった疑問点がある
方べきでCE=3.5とBE=4.5までは簡単にいけるが、この交点Fが三角形の上か下かを判断するのは難しい
ちなみに2017年数1A第5問はそういった疑問点がある
方べきでCE=3.5とBE=4.5までは簡単にいけるが、この交点Fが三角形の上か下かを判断するのは難しい
>>695
>平行線公準（へいこうせんこうじゅん）とは、ユークリッド幾何学における特色のある公準である。
>ユークリッド（エウクレイデス）の第5公準（公理）とも呼ばれる。これは2次元幾何学において次のようなことを述べている。
>平行線公理、ユークリッド原論における5番目の公準であったことから、
>ユークリッド（エウクレイデス）の第5公準（公理）とも呼ばれる。
>これは2次元幾何学において次のようなことを述べている。
>
>1つの線分が2つの直線に交わり、同じ側の内角の和が2直角より小さいならば、
>この2つの直線は限りなく延長されると、2直角より小さい角のある側において交わる。
学校で習うかどうか知りませんが、これがそのまま使えますね。
公理(公準) は証明のしようがない大前提です。
・∠BAC ＞ 90° (鈍角)
内角和が 180° 未満の側で交わる. つまり 直線AB のA側で交わる.
・∠BAC < 90° (鋭角)
内角和が 180° 未満の側で交わる. つまり 直線AB のB側で交わる.
>平行線公準（へいこうせんこうじゅん）とは、ユークリッド幾何学における特色のある公準である。
>ユークリッド（エウクレイデス）の第5公準（公理）とも呼ばれる。これは2次元幾何学において次のようなことを述べている。
>平行線公理、ユークリッド原論における5番目の公準であったことから、
>ユークリッド（エウクレイデス）の第5公準（公理）とも呼ばれる。
>これは2次元幾何学において次のようなことを述べている。
>
>1つの線分が2つの直線に交わり、同じ側の内角の和が2直角より小さいならば、
>この2つの直線は限りなく延長されると、2直角より小さい角のある側において交わる。
学校で習うかどうか知りませんが、これがそのまま使えますね。
公理(公準) は証明のしようがない大前提です。
・∠BAC ＞ 90° (鈍角)
内角和が 180° 未満の側で交わる. つまり 直線AB のA側で交わる.
・∠BAC < 90° (鋭角)
内角和が 180° 未満の側で交わる. つまり 直線AB のB側で交わる.
10秒で考え終わるし図を書けばわかるしセンス以前に普通の頭の回転があるかどうかだけどな
まぁさすがに池沼でも努力すれば解ける問題はなかなかない
まぁさすがに池沼でも努力すれば解ける問題はなかなかない
ミンコフスキー空間におけるローレンツ変換の条件式の記述で4×4行列(Λ)が1以上(Λ≧1)というものがあったんですが行列自体が1以上とはどういう意味でしょうか？
00成分が1以上とかじゃないですか？
>>665
b-a = δ とおく。
(e^b - e^a)/(b-a) = (1/δ) e^{(a+b)/2} ∫[-δ/2, δ/2] e^t dt
= (1/δ) e^{(a+b)/2} ∫[0,δ/2] {e^t + e^(-t)} dt
≧ (1/δ) e^{(a+b)/2} ∫[0,δ/2] 2dt (←上に凸)
= e^{(a+b)/2},
b-a = δ とおく。
(e^b - e^a)/(b-a) = (1/δ) e^{(a+b)/2} ∫[-δ/2, δ/2] e^t dt
= (1/δ) e^{(a+b)/2} ∫[0,δ/2] {e^t + e^(-t)} dt
≧ (1/δ) e^{(a+b)/2} ∫[0,δ/2] 2dt (←上に凸)
= e^{(a+b)/2},
>>677
b-a = δ とおく。
{f(b) - f(a)}/(b-a) = (1/δ)∫[-δ/2, δ/2] f '((a+b)/2 +t) dt
= (1/δ)∫[0,δ/2] {f '((a+b)/2 + t) + f '((a+b)/2 - t)} dt
≧ (1/δ) f '((a+b)/2)∫[0,δ/2] 2dt (← f ' が上に凸)
= f '((a+b)/2),
b-a = δ とおく。
{f(b) - f(a)}/(b-a) = (1/δ)∫[-δ/2, δ/2] f '((a+b)/2 +t) dt
= (1/δ)∫[0,δ/2] {f '((a+b)/2 + t) + f '((a+b)/2 - t)} dt
≧ (1/δ) f '((a+b)/2)∫[0,δ/2] 2dt (← f ' が上に凸)
= f '((a+b)/2),
前>>705訂正。括弧が抜けた。
△CAB∽△CEDより、
DE=3/2、CE=7/2、BE=8-7/2=9/2
Bを起点にメネラウスの定理より、
(BE/EC)(CD/DA)(AF/FB)=1
(9/7)(4/3){AF/(AF+3)}=1
12AF=7(AF+3)
AF=21/5
同様にFを起点にメネラウスの定理より、
(FA/AB)(BC/CE)(ED/DF)=1
{(21/5)/3}{8/(7/2)}{(3/2)/DF}=1
21･8･3=5･3･7DF
DF=24/5
△CAB∽△CEDより、
DE=3/2、CE=7/2、BE=8-7/2=9/2
Bを起点にメネラウスの定理より、
(BE/EC)(CD/DA)(AF/FB)=1
(9/7)(4/3){AF/(AF+3)}=1
12AF=7(AF+3)
AF=21/5
同様にFを起点にメネラウスの定理より、
(FA/AB)(BC/CE)(ED/DF)=1
{(21/5)/3}{8/(7/2)}{(3/2)/DF}=1
21･8･3=5･3･7DF
DF=24/5
>>677
b-a = δ とおく。
{f(b) - f(a)}/(b-a) - f '((a+b)/2) = (1/δ)∫[-δ/2, δ/2] {f '((a+b)/2 + t) - f '((a+b)/2)} dt
= (1/δ)∫[0,δ/2] {f '((a+b)/2 + t) + f '((a+b)/2 - t) - 2f '((a+b)/2)} dt
= (1/δ) ∫[0,δ/2] ∫[0,t] {f "((a+b)/2 + u) - f "((a+b)/2 - u)} du dt
= (1/δ) ∫[0,δ/2] ∫[0,t] ∫[-u,u] f '''((a+b)/2 + v) dv du dt,
∴ f ''' の符号による。
>>703 >>704 は 「下に凸」
b-a = δ とおく。
{f(b) - f(a)}/(b-a) - f '((a+b)/2) = (1/δ)∫[-δ/2, δ/2] {f '((a+b)/2 + t) - f '((a+b)/2)} dt
= (1/δ)∫[0,δ/2] {f '((a+b)/2 + t) + f '((a+b)/2 - t) - 2f '((a+b)/2)} dt
= (1/δ) ∫[0,δ/2] ∫[0,t] {f "((a+b)/2 + u) - f "((a+b)/2 - u)} du dt
= (1/δ) ∫[0,δ/2] ∫[0,t] ∫[-u,u] f '''((a+b)/2 + v) dv du dt,
∴ f ''' の符号による。
>>703 >>704 は 「下に凸」
>>707
平均値の定理より
f '(c) - f '((a+b)/2) = {c - (a+b)/2}f "(θ), (a<θ<b)
a<x<b で
f '''(x) / f "(x) > 0 ⇒ c > (a+b)/2,
f '''(x) / f "(x) < 0 ⇒ c < (a+b)/2,
平均値の定理より
f '(c) - f '((a+b)/2) = {c - (a+b)/2}f "(θ), (a<θ<b)
a<x<b で
f '''(x) / f "(x) > 0 ⇒ c > (a+b)/2,
f '''(x) / f "(x) < 0 ⇒ c < (a+b)/2,
S(n) = Σ[k=1 to n] 1/k^2
とおく。
極限
lim[n→∞] (n^a){S(n)-(π^2)/6}
が0でない有限の値に収束するような有理数aを求めよ。
またその極限値を求めよ。
とおく。
極限
lim[n→∞] (n^a){S(n)-(π^2)/6}
が0でない有限の値に収束するような有理数aを求めよ。
またその極限値を求めよ。
>>695
A、ACの中点、問題の交点で出来る三角形を考えたら、内角の一つが直角なんだから残りの二つはどちらも鋭角
だから、鋭角側に交点がある
A、ACの中点、問題の交点で出来る三角形を考えたら、内角の一つが直角なんだから残りの二つはどちらも鋭角
だから、鋭角側に交点がある
>>709
S(n) - (π^2)/6 = -Σ[k=n+1 to ∞] 1/kk
= -Σ[k=n+1,∞] {1/(kk-1/4) - 1/(kk(4kk-1))}
= -Σ[k=n+1,∞] {1/(k-1/2) - 1/(k+1/2) - 1/(kk(4kk-1))}
= -1/(n+1/2) + Σ[k=n+1,∞] 1/(kk(4kk-1))
～ -1/(n+1/2) + 1/(12k^3) - ････
= - 1/n + 1/(2nn) - 1/(6n^3) + 1/(30n^5) - ････
a=1
lim[n→∞] n{S(n) - (π^2)/6} = -1
S(n) - (π^2)/6 = -Σ[k=n+1 to ∞] 1/kk
= -Σ[k=n+1,∞] {1/(kk-1/4) - 1/(kk(4kk-1))}
= -Σ[k=n+1,∞] {1/(k-1/2) - 1/(k+1/2) - 1/(kk(4kk-1))}
= -1/(n+1/2) + Σ[k=n+1,∞] 1/(kk(4kk-1))
～ -1/(n+1/2) + 1/(12k^3) - ････
= - 1/n + 1/(2nn) - 1/(6n^3) + 1/(30n^5) - ････
a=1
lim[n→∞] n{S(n) - (π^2)/6} = -1
正四面体ABCDの△BCDの重心をGとする。
△ABCの内接円をAGを軸として反時計回りに180°回転させてできる立体をD_1、△ACDの内接円をAGを軸として反時計回りに180°回転させてできる立体をD_2とする。
領域(D_1)∩(D_2)の体積は、D_1の体積の何倍か。
△ABCの内接円をAGを軸として反時計回りに180°回転させてできる立体をD_1、△ACDの内接円をAGを軸として反時計回りに180°回転させてできる立体をD_2とする。
領域(D_1)∩(D_2)の体積は、D_1の体積の何倍か。
今回の数検1級二次の最終問題
うまく計算できなかったのでどなたか教えていただけますか？
xyz空間において
x=rcosθ
y=rsinθ
z=kθ
(0≦r≦1)
(0≦θ≦2π)
kは正の定数
で表される常螺旋面の面積を求めよ。
円柱座標に置き換えてみたりしたけど、どうもうまくいかない
π√(k^2+1)
ではないよなあ…
うまく計算できなかったのでどなたか教えていただけますか？
xyz空間において
x=rcosθ
y=rsinθ
z=kθ
(0≦r≦1)
(0≦θ≦2π)
kは正の定数
で表される常螺旋面の面積を求めよ。
円柱座標に置き換えてみたりしたけど、どうもうまくいかない
π√(k^2+1)
ではないよなあ…
xは実数で、0≤x<50を満たす。
このとき、
tan(10+x°)=tan(20+x°)*tan(30+x°)*tan(40+x°)を満たすxは何個あるか。
またそのxの値を求めよ。
このとき、
tan(10+x°)=tan(20+x°)*tan(30+x°)*tan(40+x°)を満たすxは何個あるか。
またそのxの値を求めよ。
>>714
学ぶ資格ってなんだ？そんな物が誰かに定義できるのか？
気に入らない意見だからって中身のない文学的表現で否定するのはちょっと
学ぶ資格ってなんだ？そんな物が誰かに定義できるのか？
気に入らない意見だからって中身のない文学的表現で否定するのはちょっと
> まぁさすがに池沼でも努力すれば解ける問題はなかなかない
こんなのを「意見」として受け入れるのか....
こんなのを「意見」として受け入れるのか....
大学で数学取ってるんだけど全くわからないので解説が多い参考書とか教えてください
分野を言わないと意味ないと思いますよ
idコロコロ
勝手に変わるから仕方ない。
口が悪いだけで700の内容は正しいと思う
まあそこは賛否あるだろうけど、とにかく714は全くもって意味不明
捨て台詞にしてもよく意味が分からない
まあそこは賛否あるだろうけど、とにかく714は全くもって意味不明
捨て台詞にしてもよく意味が分からない
原点を中心とする単位円x^2+y^2+z^2=1が平面x+y+z=1できられるとき、その原点から遠い曲面をS、Sの縁をCとする。この時（→A)=[3y^2*z, xy, y^2*x]に対してストークスの定理が成り立つことを示せ。
よろしくお願いします。
途中式もお願いしたいです。
よろしくお願いします。
途中式もお願いしたいです。
円？
論理的を装って結局ダブスタで批判したいもの批判したいだけなの透けてんだよ
スレ違いだから消えろ
スレ違いだから消えろ
>>729
なにそれ？
SとCに対してストークスの定理使うならS上でもC上でも3次元のベクトルって何？
自作問題だろうけど意味全くわかってないね。
なにそれ？
SとCに対してストークスの定理使うならS上でもC上でも3次元のベクトルって何？
自作問題だろうけど意味全くわかってないね。
>>734
http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/StokesTheorem/
このページの１番下にある演習問題にもそうありますが、これも間違っているんでしょうか？
それともしよろしければこの演習問題の解き方を教えていただきたいです。
http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/StokesTheorem/
このページの１番下にある演習問題にもそうありますが、これも間違っているんでしょうか？
それともしよろしければこの演習問題の解き方を教えていただきたいです。
（1）a,xは正の実数で、0<a-(1/x)とする。以下の定積分を求めよ。
∫[a-(1/x) to a+(1/x)] ln(t) dt
（2）0.7-0.02 < ln(2) < 0.7+0.02 を示せ。
∫[a-(1/x) to a+(1/x)] ln(t) dt
（2）0.7-0.02 < ln(2) < 0.7+0.02 を示せ。
>>735
それは閉曲面で囲われた3次元の領域と境界の面に対してのストークスの定理。
3次元領域なので1 form も2 formも三成分あるのでそれで問題ない。
しかし
面上のの微分形式は0 form、1 form、2 formの成分数は1、2、1、
曲線上のの微分形式は0 form、1 formの成分数は1、1で三成分のベクトルなんかそもそもない。
今書いたことはベクトル解析の計算云々以前にそもそもベクトル場とは何かの定義がわかってない。
問題解く前にまず教科書の言葉の意味理解するとこから始めないと何にも始まらん。
それは閉曲面で囲われた3次元の領域と境界の面に対してのストークスの定理。
3次元領域なので1 form も2 formも三成分あるのでそれで問題ない。
しかし
面上のの微分形式は0 form、1 form、2 formの成分数は1、2、1、
曲線上のの微分形式は0 form、1 formの成分数は1、1で三成分のベクトルなんかそもそもない。
今書いたことはベクトル解析の計算云々以前にそもそもベクトル場とは何かの定義がわかってない。
問題解く前にまず教科書の言葉の意味理解するとこから始めないと何にも始まらん。
その三成分の関数を空間の2 formとみなして局面に引き戻すのかな？
その成分表示は第1成分がdydzの係数なんかな？
もう眠いからやんないけど。
その成分表示は第1成分がdydzの係数なんかな？
もう眠いからやんないけど。
違うやん。
今ページ見てきたけど勝手に記号変えたら伝わらんよ？
その三成分は空間の中の1 formで曲線の方に引き戻したものと曲面でのストークスの定理ですな。
ページに書いてある通りやって下さい。
今ページ見てきたけど勝手に記号変えたら伝わらんよ？
その三成分は空間の中の1 formで曲線の方に引き戻したものと曲面でのストークスの定理ですな。
ページに書いてある通りやって下さい。
>>724
> 正接tanx°は0≦x＜50において単調増加だから、
> 実数xの値はただ一つ。
> ∴x=0
> xの増加にともなって、
> tan(x+10)°≦tan(x+20)°･tan(x+30)°･tan(x+40)°は左辺より右辺が大きくなる。
そんなこと言える？
> 正接tanx°は0≦x＜50において単調増加だから、
> 実数xの値はただ一つ。
> ∴x=0
> xの増加にともなって、
> tan(x+10)°≦tan(x+20)°･tan(x+30)°･tan(x+40)°は左辺より右辺が大きくなる。
そんなこと言える？
数理統計の勉強を最近始めました
S^2の期待値を求める問題で、2枚目の一番上の等式を利用しているのですが
この等式はどうやって導けるのでしょうか
S^2の期待値を求める問題で、2枚目の一番上の等式を利用しているのですが
この等式はどうやって導けるのでしょうか
>>743
こんなHP見て課題出す奴なんているんだwww
とりあえずHPのとおりの出題なら意味は通るしとける。
というかどこがわからないかわからない。
とりあえず
rot Xを計算する
面のパラメータを選ぶ。
面積分計算する。
曲線のパラメーターを選ぶ。
線積分計算する。
だけ。
こんなHP見て課題出す奴なんているんだwww
とりあえずHPのとおりの出題なら意味は通るしとける。
というかどこがわからないかわからない。
とりあえず
rot Xを計算する
面のパラメータを選ぶ。
面積分計算する。
曲線のパラメーターを選ぶ。
線積分計算する。
だけ。
>>746
ホント無知で申し訳ないですが、
時間があるときでいいので途中計算とかお願いしたいできませんか…
ホント無知で申し訳ないですが、
時間があるときでいいので途中計算とかお願いしたいできませんか…
>>744
(X_i - X~) + (X~ -μ) = X_i -μ,
を２乗して
(X_i - X~)^2 = (X_i -μ)^2 - 2(X~ -μ)(X_i - X~) - (X~ -μ)^2
これを i=1･･･n についてたすと
(左辺) = Σ[i=1･･･n] (X_i -μ)^2 - 2(X~ -μ)Σ[i=1･･･n] (X_i - X~) - n(X~ -μ)^2
= Σ[i=1,n] (X_i-μ)^2 - n(X~ -μ)^2 (← *)
= (右辺)
* 標本平均の定義 X~ = (1/n)Σ[i=1･･･n] X_i から Σ[i=1･･･n] (X_i - X~) = 0,
(X_i - X~) + (X~ -μ) = X_i -μ,
を２乗して
(X_i - X~)^2 = (X_i -μ)^2 - 2(X~ -μ)(X_i - X~) - (X~ -μ)^2
これを i=1･･･n についてたすと
(左辺) = Σ[i=1･･･n] (X_i -μ)^2 - 2(X~ -μ)Σ[i=1･･･n] (X_i - X~) - n(X~ -μ)^2
= Σ[i=1,n] (X_i-μ)^2 - n(X~ -μ)^2 (← *)
= (右辺)
* 標本平均の定義 X~ = (1/n)Σ[i=1･･･n] X_i から Σ[i=1･･･n] (X_i - X~) = 0,
Memo.
tanθ = t とおくと
tan(2θ) = 2t/(1-tt),
tan(4θ) = 4t(1-tt)/(1-6tt+t^4),
これを
tanθ = tan(2θ) tan(30ﾟ) tan(4θ),
に入れると、t≠0 から
1 = (8/√3)t / (1-6tt+t^4),
ゆえ
t = 0.176326980708465 = tan(10ﾟ),
θ = 10ﾟ
また
1 = tanθ･tan(30ﾟ) tan(2θ) tan(4θ),
にいれると
1 = (8/√3)t^3 / (1-6tt+t^4),
より
t = 0.363970234266202 = tan(20ﾟ),
θ = 20ﾟ
tanθ = t とおくと
tan(2θ) = 2t/(1-tt),
tan(4θ) = 4t(1-tt)/(1-6tt+t^4),
これを
tanθ = tan(2θ) tan(30ﾟ) tan(4θ),
に入れると、t≠0 から
1 = (8/√3)t / (1-6tt+t^4),
ゆえ
t = 0.176326980708465 = tan(10ﾟ),
θ = 10ﾟ
また
1 = tanθ･tan(30ﾟ) tan(2θ) tan(4θ),
にいれると
1 = (8/√3)t^3 / (1-6tt+t^4),
より
t = 0.363970234266202 = tan(20ﾟ),
θ = 20ﾟ
（1）a,xは正の実数で、0<a-(1/x)とする。以下の定積分を求めよ。
∫[a-(1/x) to a+(1/x)] 1/t dt
（2）0.7-0.02 < ln(2) < 0.7+0.02 を示せ。
∫[a-(1/x) to a+(1/x)] 1/t dt
（2）0.7-0.02 < ln(2) < 0.7+0.02 を示せ。
log(1+x) = x - (1/2)x^2 + (1/3)x^3 - ････
log(1-x) = - x - (1/2)x^2 - (1/3)x^3 - ････
辺々引いて
log[(1+x)/(1-x)] = 2x + (2/3)x^3 + (2/5)x^5 + ････ (9)
対数の計算には (9) が用いられる。 (9)において x=1/(2n+1) (n≧1) とすれば
log(n+1) - log(n) = 2/(2n+1) + 2/[3･(2n+1)^3] + 2/[5･(2n+1)^5] + ････ (10)
この級数は急速に（特にnが大きいとき）収束する。
n=1 としても（5項を取れば)
log(2) = 2/3 + 2/(3･3^3) + 2/(5･3^5) + 2/(7･3^7) + 2/(9･3^9) = 0.693146
を得る。
高木：「解析概論」改訂第三版、岩波書店 (1961)
第４章 §52．巾級数 p.187
log(1-x) = - x - (1/2)x^2 - (1/3)x^3 - ････
辺々引いて
log[(1+x)/(1-x)] = 2x + (2/3)x^3 + (2/5)x^5 + ････ (9)
対数の計算には (9) が用いられる。 (9)において x=1/(2n+1) (n≧1) とすれば
log(n+1) - log(n) = 2/(2n+1) + 2/[3･(2n+1)^3] + 2/[5･(2n+1)^5] + ････ (10)
この級数は急速に（特にnが大きいとき）収束する。
n=1 としても（5項を取れば)
log(2) = 2/3 + 2/(3･3^3) + 2/(5･3^5) + 2/(7･3^7) + 2/(9･3^9) = 0.693146
を得る。
高木：「解析概論」改訂第三版、岩波書店 (1961)
第４章 §52．巾級数 p.187
n を任意の自然数とする。
∀k ∈ {0, 1, 2, …, (1/2) * n * (n - 1)} に対し、全単射 σ ： {1, 2, …, n} → {{1, 2, …, n} で、
以下の性質を満たすものが存在することを証明せよ。
k = #{(i, j) | i < j, σ(i) > σ(j)}
∀k ∈ {0, 1, 2, …, (1/2) * n * (n - 1)} に対し、全単射 σ ： {1, 2, …, n} → {{1, 2, …, n} で、
以下の性質を満たすものが存在することを証明せよ。
k = #{(i, j) | i < j, σ(i) > σ(j)}
f(x)はすべての実数xにおいて微分可能で、以下の条件を満たす。
・f'(0)=1
・f(2x)=(exp(x)+1)*f(x)
f(x)を求めよ。
・f'(0)=1
・f(2x)=(exp(x)+1)*f(x)
f(x)を求めよ。
両辺をラプラス変換
>>748
ありがとうございます、理解できました
しかし最初の (X_i - X~) + (X~ -μ) = X_i -μ という式をどこから持ってきたのでしょうか…
ありがとうございます、理解できました
しかし最初の (X_i - X~) + (X~ -μ) = X_i -μ という式をどこから持ってきたのでしょうか…
2008年東工大前期第４問の（２）ですが問題文に「点Rの軌跡はある楕円の一部であることを
示せ」とあり、解答ではOP,ORとも消去して楕円の式をだしてるのですが・・・
「ある楕円」とあるのでここまでやらなくてはならないのでしょうか？
楕円の式にOP,ORをのこしても（OP>0、OR＞０）なので楕円であることは
示されてる気が・・・これだけだと不十分ですか？
示せ」とあり、解答ではOP,ORとも消去して楕円の式をだしてるのですが・・・
「ある楕円」とあるのでここまでやらなくてはならないのでしょうか？
楕円の式にOP,ORをのこしても（OP>0、OR＞０）なので楕円であることは
示されてる気が・・・これだけだと不十分ですか？
>>761
問題文と解答載せろよバカ
お前の言い方だと解答見ないと分からねえだろアホ
Oって何だ？Pって何だ？
問題文と解答載せろよバカ
お前の言い方だと解答見ないと分からねえだろアホ
Oって何だ？Pって何だ？
横からで申し訳ないんだけど、なんでそんなに高圧的なの？
A を Lxn 行列、B を nxm 行列とする。 転置を ~ で表わす。
A~A と BB~ は nxn行列（Grammian 行列)
右側は >>607
A~A と BB~ は nxn行列（Grammian 行列)
右側は >>607
-2<k<2とする。
2次方程式x^2+kx+1=0の2解をα、β（|α|≤|β|）とし、数列a[n]を以下の漸化式で定める。
a[1]=α、a[2]=β
a[n+2]+k*a[n+1]+1=0
このとき、数列a[n]の一般項を求めよ。
2次方程式x^2+kx+1=0の2解をα、β（|α|≤|β|）とし、数列a[n]を以下の漸化式で定める。
a[1]=α、a[2]=β
a[n+2]+k*a[n+1]+1=0
このとき、数列a[n]の一般項を求めよ。
>>766
漸化式は a[n+2]+k*a[n+1]+a[n]=0 だと思います. だとすると、
a[n] = s α^n + t β^n が漸化式を満たします.
初期条件も満たすように係数 s, t を決めてやればそれが答えです.
-2<k<2 , x^2+kx+1 = (x+k/2)^2 + 1-k^2/4 = 0 から α, β は複素数で、『重根でなく』『０でもない』と分かります.
この条件から s, t は必ず求まる事が保証されます.
漸化式は a[n+2]+k*a[n+1]+a[n]=0 だと思います. だとすると、
a[n] = s α^n + t β^n が漸化式を満たします.
初期条件も満たすように係数 s, t を決めてやればそれが答えです.
-2<k<2 , x^2+kx+1 = (x+k/2)^2 + 1-k^2/4 = 0 から α, β は複素数で、『重根でなく』『０でもない』と分かります.
この条件から s, t は必ず求まる事が保証されます.
>>750
f(t) = 1/t
∫ dt f(t) = log(a+1/x) - log(a-1/x) = log((ax+1)/(ax-1))
= F(ax) と置く.
・t=a での接線 y = g(t)
・２点 ( a-1/x, f(a-1/x) ) ( a+1/x, f(a+1/x) ) を結ぶ直線 y = h(t)
について考える.
g(t) = f ’(a)(t-a) + 1/a = (-1/a^2)t + 2/a
∫ dt g(t) =(-1/a^2){(a+1/x)^2 - (a-1/x)^2}/2 + 4/ax
={(1-1/ax)^2 - (1+1/ax)^2}/2 + 4/ax
= 2/ax = G(ax) と置く.
h(t) = (x/2){(a+1/x)-t}/(a-1/x) + (x/2){t-(a-1/x)}/(a+1/x) (線形補間式)
∫ dt h(t) = 1/(ax-1) + 1/(ax+1) = H(ax) と置く.
積分範囲で g(t) ≦ f(t) ≦ h(t) (左辺等号はt=1, 右辺等号は端点 t=a±1/x のみ )
よって G(ax) < F(ax) < G(ax) である.
2*F(7) + F(17) = log(2)
2*G(7) + G(17) = 82/119 = 0.689...
2*H(7) + H(17) = 101/144 = 0.701...
∴ 0.7-0.02 < 0.689 < log(2) < 0.702 < 0.7+0.02
2*F(11) + F(17) + 2*F(19) = log(2)
2*G(11) + G(17) + 2*G(19) = 2458/3553 =0.6918...
2*H(11) + H(17) + 2*H(19) = 167/240 = 0.6958...
∴ 0.7-0.02 < 0.6918 < log(2) < 0.6959 < 0.7+0.02
(※ log(2) = 0.6931... )
f(t) = 1/t
∫ dt f(t) = log(a+1/x) - log(a-1/x) = log((ax+1)/(ax-1))
= F(ax) と置く.
・t=a での接線 y = g(t)
・２点 ( a-1/x, f(a-1/x) ) ( a+1/x, f(a+1/x) ) を結ぶ直線 y = h(t)
について考える.
g(t) = f ’(a)(t-a) + 1/a = (-1/a^2)t + 2/a
∫ dt g(t) =(-1/a^2){(a+1/x)^2 - (a-1/x)^2}/2 + 4/ax
={(1-1/ax)^2 - (1+1/ax)^2}/2 + 4/ax
= 2/ax = G(ax) と置く.
h(t) = (x/2){(a+1/x)-t}/(a-1/x) + (x/2){t-(a-1/x)}/(a+1/x) (線形補間式)
∫ dt h(t) = 1/(ax-1) + 1/(ax+1) = H(ax) と置く.
積分範囲で g(t) ≦ f(t) ≦ h(t) (左辺等号はt=1, 右辺等号は端点 t=a±1/x のみ )
よって G(ax) < F(ax) < G(ax) である.
2*F(7) + F(17) = log(2)
2*G(7) + G(17) = 82/119 = 0.689...
2*H(7) + H(17) = 101/144 = 0.701...
∴ 0.7-0.02 < 0.689 < log(2) < 0.702 < 0.7+0.02
2*F(11) + F(17) + 2*F(19) = log(2)
2*G(11) + G(17) + 2*G(19) = 2458/3553 =0.6918...
2*H(11) + H(17) + 2*H(19) = 167/240 = 0.6958...
∴ 0.7-0.02 < 0.6918 < log(2) < 0.6959 < 0.7+0.02
(※ log(2) = 0.6931... )
容器Aにはx％の食塩水が300g、容器Bには6％の食塩水がyg入っている。Aから100g食塩水を取り出し、Bに入れたところBの濃度は8％になった。さらに、Bの容器に入っている食塩水を五分の一を取り出しAに入れてかき混ぜたところAの濃度は12％になった。x、yの値を求めよ。
途中式が分からないです。すみません:w:
途中式が分からないです。すみません:w:
>>768
今見返して見たら、g(t) や h(t) の具体式はわざわざ求める必要なかった. (線形補間式でドヤってるみたいで恥ずかしい...)
中点か両端が既知の台形面積だと分かれば G, H はすぐ求まる.
>>769
>容器Aにはx％の食塩水が300g、容器Bには6％の食塩水がyg入っている。
>Aから100g食塩水を取り出し、Bに入れたところBの濃度は8％になった。
A食塩: 300.x/100 -100.x/100=2x , A液体: 300 -100 = 200
B食塩: 100.x/100 + y.6/100 , B液体: 100 + y
B濃度: (100.x/100 + y.6/100) / (100 + y) = 8/100
>さらに、Bの容器に入っている食塩水を五分の一を取り出しAに入れてかき混ぜたところAの濃度は12％になった。x、yの値を求めよ。
A食塩: 2x + (100.x/100 + y.6/100)/5
A液体: 200 + (100 + y)/5
A濃度: ( 2x + (100.x/100 + y.6/100)/5 ) / ( 200 + (100 + y)/5 ) = 12/100
この辺りを整理して連立式を解けばいいでしょう.
数値間違ってたら適当に修正してください.
今見返して見たら、g(t) や h(t) の具体式はわざわざ求める必要なかった. (線形補間式でドヤってるみたいで恥ずかしい...)
中点か両端が既知の台形面積だと分かれば G, H はすぐ求まる.
>>769
>容器Aにはx％の食塩水が300g、容器Bには6％の食塩水がyg入っている。
>Aから100g食塩水を取り出し、Bに入れたところBの濃度は8％になった。
A食塩: 300.x/100 -100.x/100=2x , A液体: 300 -100 = 200
B食塩: 100.x/100 + y.6/100 , B液体: 100 + y
B濃度: (100.x/100 + y.6/100) / (100 + y) = 8/100
>さらに、Bの容器に入っている食塩水を五分の一を取り出しAに入れてかき混ぜたところAの濃度は12％になった。x、yの値を求めよ。
A食塩: 2x + (100.x/100 + y.6/100)/5
A液体: 200 + (100 + y)/5
A濃度: ( 2x + (100.x/100 + y.6/100)/5 ) / ( 200 + (100 + y)/5 ) = 12/100
この辺りを整理して連立式を解けばいいでしょう.
数値間違ってたら適当に修正してください.
m, n を正の整数とする。
m^n と表せる整数および m が与えられたとき、 n を求める高速なアルゴリズムってありますか？
m^n と表せる整数および m が与えられたとき、 n を求める高速なアルゴリズムってありますか？
モチビック・ホモトピーは、モチビック・(コ)ホモロジーと具体的に何が違うんですか?
単体のホモトピーとコホモロジーは違うとは分かるんですが
大差なかったら別名称にしなくていいはず
単体のホモトピーとコホモロジーは違うとは分かるんですが
大差なかったら別名称にしなくていいはず
>>774
ありがとうございます。
問題を訂正します：
正の整数 a および n が与えられたとき、
a = m^n
となる m が存在するかしないか判定し、存在する場合には、 m を求めるアルゴリズムはありますか？
実際にプログラミングすることを考えています。
浮動小数点数を使っても構いませんが、結果は厳密に正しい必要はあります。
ありがとうございます。
問題を訂正します：
正の整数 a および n が与えられたとき、
a = m^n
となる m が存在するかしないか判定し、存在する場合には、 m を求めるアルゴリズムはありますか？
実際にプログラミングすることを考えています。
浮動小数点数を使っても構いませんが、結果は厳密に正しい必要はあります。
前>>745
>>769
B容器内の8％食塩水の食塩の量について、
6y/100+x=(100+y)×8/100――①
最終的な食塩の量について、
(100+y)(8/100)(1/5)+2x
=(200+100/5+y/5)(12/100)
――②
①を簡単にすると、
6y+100x=800+8y
y=50x-100――①'
②を簡単にすると、
8(100+y)+1000x=12(1100+y)
800+8y+1000x=13200+12y
4y=1000x-12400
y=250x-3100――②'
①'②'より、
50x-100=250x-3100
200x=3000
x=15
①'に代入し、
y=750-100=650
>>769
B容器内の8％食塩水の食塩の量について、
6y/100+x=(100+y)×8/100――①
最終的な食塩の量について、
(100+y)(8/100)(1/5)+2x
=(200+100/5+y/5)(12/100)
――②
①を簡単にすると、
6y+100x=800+8y
y=50x-100――①'
②を簡単にすると、
8(100+y)+1000x=12(1100+y)
800+8y+1000x=13200+12y
4y=1000x-12400
y=250x-3100――②'
①'②'より、
50x-100=250x-3100
200x=3000
x=15
①'に代入し、
y=750-100=650
>>766
2次方程式から
α + β = -k, αβ = 1,
a[n] = s･α^n + t･β^n
とおくと
s = -β/(1+α),
t = αα + α/(1+α),
k = -2cosθ (θ≠mπ)
とおくと
α = e^(-iθ), β = e^(iθ), |α| = |β| = 1,
a[n] = s･α^n + t･β^n
= (1/2) (s+t) cos(nθ) + (i/2) (t-s) sin(nθ),
2次方程式から
α + β = -k, αβ = 1,
a[n] = s･α^n + t･β^n
とおくと
s = -β/(1+α),
t = αα + α/(1+α),
k = -2cosθ (θ≠mπ)
とおくと
α = e^(-iθ), β = e^(iθ), |α| = |β| = 1,
a[n] = s･α^n + t･β^n
= (1/2) (s+t) cos(nθ) + (i/2) (t-s) sin(nθ),
a[n] = s･α^n + t･β^n
= (s+t) cos(nθ) + i (t-s) sin(nθ),
| a[n] |^2 = a[n]・a[n]~
= ss~ + tt~ + (st~+s~t)cos(2nθ) - i(st~-s~t)sin(2nθ)
= |s|^2 + |t|^2 + 2|s||t|cosφ cos(2nθ) - 2|s||t|sinφ sin(2nθ)
= |s|^2 + |t|^2 + 2|s||t|cos(2nθ+φ),
ここに φ = arg(t/s),
||s| - |t|| ≦ | a[n] | ≦ |s| + |t|,
楕円上にある。
= (s+t) cos(nθ) + i (t-s) sin(nθ),
| a[n] |^2 = a[n]・a[n]~
= ss~ + tt~ + (st~+s~t)cos(2nθ) - i(st~-s~t)sin(2nθ)
= |s|^2 + |t|^2 + 2|s||t|cosφ cos(2nθ) - 2|s||t|sinφ sin(2nθ)
= |s|^2 + |t|^2 + 2|s||t|cos(2nθ+φ),
ここに φ = arg(t/s),
||s| - |t|| ≦ | a[n] | ≦ |s| + |t|,
楕円上にある。
■ tan(20)tan(30)tan(40)=tan(10) の件
tan(10)=t = t1
tan(20)=t2 =tan(10+10) = 2t/(1-t^2) = tan(30-10) = (t3 -t)/(1 +t3*t)
tan(30)=t3 =tan(30) = (t +t2)/(1 -t*t2) = t(3 -t^2)/(1 -3t^2)
tan(40)=t4 =tan(30+10) = (t3 +t)/(1 -t3*t)
t2*t3*t4 = (t3 -t)/(1 +t3*t) * t3 * (t3 +t)/(1 -t3*t)
= (t3^2 -t^2)/(1 -t3^2*t^2) * t3
= (1 -3t^2)/(3 -t^2) * t3 (∵ t3= 1/√3)
= t
よって tan(20)tan(30)tan(40)=tan(10)
*** 気になる事 ***
tan(15)tan(25)tan(35)=tan(5)
どうもこれが成立しそうです. どうしたら示せるでしょうか？
tan(10)=t = t1
tan(20)=t2 =tan(10+10) = 2t/(1-t^2) = tan(30-10) = (t3 -t)/(1 +t3*t)
tan(30)=t3 =tan(30) = (t +t2)/(1 -t*t2) = t(3 -t^2)/(1 -3t^2)
tan(40)=t4 =tan(30+10) = (t3 +t)/(1 -t3*t)
t2*t3*t4 = (t3 -t)/(1 +t3*t) * t3 * (t3 +t)/(1 -t3*t)
= (t3^2 -t^2)/(1 -t3^2*t^2) * t3
= (1 -3t^2)/(3 -t^2) * t3 (∵ t3= 1/√3)
= t
よって tan(20)tan(30)tan(40)=tan(10)
*** 気になる事 ***
tan(15)tan(25)tan(35)=tan(5)
どうもこれが成立しそうです. どうしたら示せるでしょうか？
tan 3x = P(tan x)
となる有理式P(t)持ってきて方程式
P(t)=tan15°
の解がtan5°、tan65°、-tan55°であることを利用したらいけるかな？
となる有理式P(t)持ってきて方程式
P(t)=tan15°
の解がtan5°、tan65°、-tan55°であることを利用したらいけるかな？
ミスがあるはずなのですが、模範解答と解法が異なり、発見できません
どなたかミスを指摘していただけないでしょうか
どなたかミスを指摘していただけないでしょうか
答案が汚えよ 書き直せそしたら自分で分かるかもしれないし俺も判断しやすい
これが解ければ高校1年生以上の
頭脳の持ち主、
頭脳の持ち主、
もういっちょぶっこむ、
これが解ければ高校一年生以上の
頭脳の持ち主
これが解ければ高校一年生以上の
頭脳の持ち主
高校一年生らしくて偽りなしやね
宿題を教えてもらいたいなら
高校生向けスレの方がいいとおもうよ
高校数学の質問スレPart400
http://2chb.net/r/math/1559743596/
高校生向けスレの方がいいとおもうよ
高校数学の質問スレPart400
http://2chb.net/r/math/1559743596/
>>780
tan(α-π/3) + tanα + tan(α+π/3) = 3tan(3α),
tan(α-π/3)・tanα・tan(α+π/3) = - tan(3α),
(略証)
ド・モアヴルから
cos(3x) + i･sin(3x) = e^(3ix)
= {e^(ix)}^3
= {cos(x) + i sin(x)}^3
= {cos(x)^3 - 3cos(x)sin(x)^2} + i{3sin(x)cos(x)^2 - sin(x)^3}
= cos(x)^3 {(1-3tt) + i(3t-t^3)},
tan(3x) = sin(3x)/cos(3x) = (3t-t^3)/(1-3tt) = P(t),
P(t) = tan(3α) とおくと tの3次方程式となる。（|α| <30ﾟ）
t^3 - 3tan(3α)tt - 3t + tan(3α) = 0,
3根 tan(α-60ﾟ), tanα, tan(α+60ﾟ) と係数の関係から出る。
tan(α-π/3) + tanα + tan(α+π/3) = 3tan(3α),
tan(α-π/3)・tanα・tan(α+π/3) = - tan(3α),
(略証)
ド・モアヴルから
cos(3x) + i･sin(3x) = e^(3ix)
= {e^(ix)}^3
= {cos(x) + i sin(x)}^3
= {cos(x)^3 - 3cos(x)sin(x)^2} + i{3sin(x)cos(x)^2 - sin(x)^3}
= cos(x)^3 {(1-3tt) + i(3t-t^3)},
tan(3x) = sin(3x)/cos(3x) = (3t-t^3)/(1-3tt) = P(t),
P(t) = tan(3α) とおくと tの3次方程式となる。（|α| <30ﾟ）
t^3 - 3tan(3α)tt - 3t + tan(3α) = 0,
3根 tan(α-60ﾟ), tanα, tan(α+60ﾟ) と係数の関係から出る。
α=5ﾟ のとき
tan(-55ﾟ)tan(5ﾟ)tan(65ﾟ) = - tan(15ﾟ),
α=10ﾟ のとき
tan(-50ﾟ)tan(10ﾟ)tan(70ﾟ) = - tan(30ﾟ),
tan(-55ﾟ)tan(5ﾟ)tan(65ﾟ) = - tan(15ﾟ),
α=10ﾟ のとき
tan(-50ﾟ)tan(10ﾟ)tan(70ﾟ) = - tan(30ﾟ),
0 または 1 を成分に持つ n × n 行列を A とする。
以下の条件をみたす正方行列 B の行数（列数）の最大値を O(n^2) で計算するアルゴリズムを述べよ。
1. B は A の部分行列である。
2. B の要素は 1 のみから成る。
以下の条件をみたす正方行列 B の行数（列数）の最大値を O(n^2) で計算するアルゴリズムを述べよ。
1. B は A の部分行列である。
2. B の要素は 1 のみから成る。
なんか図形的に解けたりはしないのかね
部分行列なんて初耳なんだけど。
>>788
t = tan(α)
a = f(α) = tan(α-60)
P(x) = x (3-xx)/(1- 3xx) = x {(√3-x)(√3+x)} / {(1- √3 x)(1+ √3 x)}
a = (t - √3)/(1 + t √3)
√3 + a = (√3+3t + t - √3)/(1+ t √3) = 4t /(1+ t √3)
√3 - a = (√3+ 3t - t + √3)/(1+ t √3) = 2(√3 +t)/(1+ t √3)
(1+ √3.a)= √3 (1/√3+ t + t - √3)/(1+ t √3) = -2(1 -√3.t ) /(1+ t √3)
(1- √3.a) = √3 (1/√3+ t - t + √3)/(1+ t √3) = 4 /(1+ t √3)
よって
P(a) = a { (√3 - a)(√3 + a) }/ {(1- √3.a)(1+ √3.a) }
= t(tt-3)/(3tt-1)
= P (t) = tan(3α)
なるほど確かに解ですね.
α=25 の場合
tan(-35)tan(25)tan(85) = -tan(75)
-tan(35)tan(25)cot(5) = -cot(15)
∴ tan(15)tan(25)tan(35) = tan(5)
すごいです.
>>780
最初意味が分からなくてスルーしてしまいました. こういう事だったんですね.
t = tan(α)
a = f(α) = tan(α-60)
P(x) = x (3-xx)/(1- 3xx) = x {(√3-x)(√3+x)} / {(1- √3 x)(1+ √3 x)}
a = (t - √3)/(1 + t √3)
√3 + a = (√3+3t + t - √3)/(1+ t √3) = 4t /(1+ t √3)
√3 - a = (√3+ 3t - t + √3)/(1+ t √3) = 2(√3 +t)/(1+ t √3)
(1+ √3.a)= √3 (1/√3+ t + t - √3)/(1+ t √3) = -2(1 -√3.t ) /(1+ t √3)
(1- √3.a) = √3 (1/√3+ t - t + √3)/(1+ t √3) = 4 /(1+ t √3)
よって
P(a) = a { (√3 - a)(√3 + a) }/ {(1- √3.a)(1+ √3.a) }
= t(tt-3)/(3tt-1)
= P (t) = tan(3α)
なるほど確かに解ですね.
α=25 の場合
tan(-35)tan(25)tan(85) = -tan(75)
-tan(35)tan(25)cot(5) = -cot(15)
∴ tan(15)tan(25)tan(35) = tan(5)
すごいです.
>>780
最初意味が分からなくてスルーしてしまいました. こういう事だったんですね.
>>775
a^(1/n) (浮動小数点計算) にもっとも近い整数を仮に m と置き、
m^n (整数計算) == a ならそれが解で、!= a なら解なし
m^n (整数計算) は O(log(n)) で計算可能
a^(1/n) (浮動小数点計算) にもっとも近い整数を仮に m と置き、
m^n (整数計算) == a ならそれが解で、!= a なら解なし
m^n (整数計算) は O(log(n)) で計算可能
>>793
a+b =-t + 3tan3α
= -t + 3t(3-t^2)/(1-3t^2) = 8t /{(1 + √3.t)(1 - √3.t)} = (t - √3)/(1 + √3.t) + (t + √3)/(1 - √3.t) = tan(α-60) + tan(α+60)
ab = 1/t . (-tan3α)
= (t^2-3)/(1-3t^2) = {(t - √3)(t + √3)}/{(1 + √3.t)(1 - √3.t)} = (t - √3)/(1 + √3.t) * (t + √3)/(1 - √3.t) = tan(α-60) tan(α+60)
検算はこっちの方が簡単か.
a+b =-t + 3tan3α
= -t + 3t(3-t^2)/(1-3t^2) = 8t /{(1 + √3.t)(1 - √3.t)} = (t - √3)/(1 + √3.t) + (t + √3)/(1 - √3.t) = tan(α-60) + tan(α+60)
ab = 1/t . (-tan3α)
= (t^2-3)/(1-3t^2) = {(t - √3)(t + √3)}/{(1 + √3.t)(1 - √3.t)} = (t - √3)/(1 + √3.t) * (t + √3)/(1 - √3.t) = tan(α-60) tan(α+60)
検算はこっちの方が簡単か.
>>798
そうなんだよ。
連続してないといけないのか、まばらにとっていいのかで意味違ってくるからエスパー不能なんだよ。
そこは書かないと意味通じないと分かりそうなもんだけど。
そうなんだよ。
連続してないといけないのか、まばらにとっていいのかで意味違ってくるからエスパー不能なんだよ。
そこは書かないと意味通じないと分かりそうなもんだけど。
>>781 (上)
14・13
xyz空間に4点 P(0, 0, 2), A(0, 2, 0), B(√3, -1, 0), C(-√3, -1, 0) をとる。
四面体PABCの xx+yy≧1 をみたす部分の体積を求めよ。
(12 東京工大)
14・13
xyz空間に4点 P(0, 0, 2), A(0, 2, 0), B(√3, -1, 0), C(-√3, -1, 0) をとる。
四面体PABCの xx+yy≧1 をみたす部分の体積を求めよ。
(12 東京工大)
>>783
[16] 有理数と無理数 ☆2ch
a,bを有理数とする。(2+3√2)a + (1-2√2)b = 7 を満たすとき、
a = [ア], b = [イ] である。
(2a+b) + (3a-2b)√2 = 7 + 0√2 より
a=2, b=3
注)
m-n√2 = 0 となる自然数m, n があったとすると mm=2nn
素因数分解すると2のべき指数が偶数、奇数となって矛盾する。
∴ m=n=0,
>>784
[29] つねに成り立つ不等式
aは定数とする。
すべての実数xに対して不等式 axx+4x+a>0 が成り立つ
ようなaの値の範囲は、a > [ア] である。
a≦0 は不可 (x=0)
a>0 のとき a(x+2/a)^2 + (aa-4)/a ≧ (a+2)(a-2)/a,
∴ a-2 >0,
[16] 有理数と無理数 ☆2ch
a,bを有理数とする。(2+3√2)a + (1-2√2)b = 7 を満たすとき、
a = [ア], b = [イ] である。
(2a+b) + (3a-2b)√2 = 7 + 0√2 より
a=2, b=3
注)
m-n√2 = 0 となる自然数m, n があったとすると mm=2nn
素因数分解すると2のべき指数が偶数、奇数となって矛盾する。
∴ m=n=0,
>>784
[29] つねに成り立つ不等式
aは定数とする。
すべての実数xに対して不等式 axx+4x+a>0 が成り立つ
ようなaの値の範囲は、a > [ア] である。
a≦0 は不可 (x=0)
a>0 のとき a(x+2/a)^2 + (aa-4)/a ≧ (a+2)(a-2)/a,
∴ a-2 >0,
>>788
序にもう一つ。
1/tan(α-60ﾟ) + 1/tanα + 1/tan(α+60ﾟ) = 3/tan(3α),
序にもう一つ。
1/tan(α-60ﾟ) + 1/tanα + 1/tan(α+60ﾟ) = 3/tan(3α),
>>804 なるほど
tan(α-60) ◇ tan(α) ◇ tan(α+60) = ☆ tan(3α) より
-cot(α-60 -90) ◇ -cot(α -90) ◇ -cot(α+60 -90) = ☆ -cot(3α -90)
cot(α-90 -60) ◇ cot(α-90) ◇ cot(α-90 +60) = ☆ cot(3 (α-90) + 180)
α-90 を α に取り直して
cot(α-60) + cotα + cot(α+60) = 3 cot(3α)
cot(α-60) . cotα . cot(α+60) = - cot(3α)
tan(α-60) ◇ tan(α) ◇ tan(α+60) = ☆ tan(3α) より
-cot(α-60 -90) ◇ -cot(α -90) ◇ -cot(α+60 -90) = ☆ -cot(3α -90)
cot(α-90 -60) ◇ cot(α-90) ◇ cot(α-90 +60) = ☆ cot(3 (α-90) + 180)
α-90 を α に取り直して
cot(α-60) + cotα + cot(α+60) = 3 cot(3α)
cot(α-60) . cotα . cot(α+60) = - cot(3α)
>>781 (そのノートの解読はしたくない ), >>801
図を付けたので理解は難しくないかと思います.
微小体積(四角柱 ÷ 2): d(sinθ + tanθ).(1-cosθ)^2
体積: V = 6 ∫ [θ=0～π/3] {微小体積} = (以下略)
y < 0 側のパーツを選んだのは、斜面の式: z/(2) + y/(-1) = 1 のように２変数で済むからです.
y = -cosθ と合わせて 稜線の式: z = 2( 1-cosθ ) が簡単に求まります.
計算で ∫ dθ /cosθ が出てきて、初見だと面食らうかもしれません.
∫ dθ cosθ /cosθ^2 = ∫ d(sinθ) /( 1-sinθ^2 ) = (1/2)( log(1+sinθ) - log(1-sinθ) )
こんな感じでいけます.
図を付けたので理解は難しくないかと思います.
微小体積(四角柱 ÷ 2): d(sinθ + tanθ).(1-cosθ)^2
体積: V = 6 ∫ [θ=0～π/3] {微小体積} = (以下略)
y < 0 側のパーツを選んだのは、斜面の式: z/(2) + y/(-1) = 1 のように２変数で済むからです.
y = -cosθ と合わせて 稜線の式: z = 2( 1-cosθ ) が簡単に求まります.
計算で ∫ dθ /cosθ が出てきて、初見だと面食らうかもしれません.
∫ dθ cosθ /cosθ^2 = ∫ d(sinθ) /( 1-sinθ^2 ) = (1/2)( log(1+sinθ) - log(1-sinθ) )
こんな感じでいけます.
分からない問題はここに書いてね453
ふうL@Fu_L12345654321
学コン1傑いただきました！
とても嬉しいです！
https://twitter.com/Fu_L12345654321/status/1144528199654633477
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)
ふうL@Fu_L12345654321
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aを自然数の定数とする。
以下の不等式を満たす自然数nがただ一つ存在するように実数pを定めたい。
pの取りうる範囲をaで表せ。
2018 < n^2+an+(p/n) < 2019
以下の不等式を満たす自然数nがただ一つ存在するように実数pを定めたい。
pの取りうる範囲をaで表せ。
2018 < n^2+an+(p/n) < 2019
>>806 微小体積のとこ間違えてた.
(横になった)三角柱と三角錐を斜め変形した形になってる.
四角柱 ÷ 2 なんかではない.
この方向の斜め変形は体積が不変(右図)なので...
微小体積: d(sinθ) (1-cosθ)^2 + (1/3). d(tanθ -sinθ). (1-cosθ)^2
= d( (2/3).sinθ + (1/3).tanθ ) (1-cosθ)^2
たぶんこれで合ってるんじゃないかな...
(横になった)三角柱と三角錐を斜め変形した形になってる.
四角柱 ÷ 2 なんかではない.
この方向の斜め変形は体積が不変(右図)なので...
微小体積: d(sinθ) (1-cosθ)^2 + (1/3). d(tanθ -sinθ). (1-cosθ)^2
= d( (2/3).sinθ + (1/3).tanθ ) (1-cosθ)^2
たぶんこれで合ってるんじゃないかな...
前>>776
>>801
直線ABの方程式は、
y=-(√3)x+2――①
原点から直線AB型に引いた垂線の方程式は、
y=x/√3――②
①②より交点は、
-(√3)x+2=x/√3
3x+x=2√3
x=√3/2
②に代入し、y=1/2
(√3/2,1/2)
これはx^2+y^2=1上の点であり、図形の対称性より、
x^2+y^2=1は正三角形ABCの内接円とわかる。
正四面体PABCから、
円柱x^2+y^2＜1をくりぬくと、とがった三点、
(0,1,1)､(√3/2,-1/2,1)､(-√3/2,-1/2,1)が浮かび上がる。
z軸からA方向とB方向にそれぞれケーキ入刀のように求める立体の1/3を切り出すなら、正四面体は三角錐だから3つあわせて三角柱の体積と同じ。
すなわち三角柱の体積から円柱の体積を引く。
2･√3･1-π1^2･1=2√3-π
=2･1.7320508-3.14159258
=0.3225……
>>801
直線ABの方程式は、
y=-(√3)x+2――①
原点から直線AB型に引いた垂線の方程式は、
y=x/√3――②
①②より交点は、
-(√3)x+2=x/√3
3x+x=2√3
x=√3/2
②に代入し、y=1/2
(√3/2,1/2)
これはx^2+y^2=1上の点であり、図形の対称性より、
x^2+y^2=1は正三角形ABCの内接円とわかる。
正四面体PABCから、
円柱x^2+y^2＜1をくりぬくと、とがった三点、
(0,1,1)､(√3/2,-1/2,1)､(-√3/2,-1/2,1)が浮かび上がる。
z軸からA方向とB方向にそれぞれケーキ入刀のように求める立体の1/3を切り出すなら、正四面体は三角錐だから3つあわせて三角柱の体積と同じ。
すなわち三角柱の体積から円柱の体積を引く。
2･√3･1-π1^2･1=2√3-π
=2･1.7320508-3.14159258
=0.3225……
前>>811πの値、訂正。
>>801
直線ABの方程式は、
y=-(√3)x+2――①
原点から直線AB型に引いた垂線の方程式は、
y=x/√3――②
①②より交点は、
-(√3)x+2=x/√3
3x+x=2√3
x=√3/2
②に代入し、y=1/2
(√3/2,1/2)
これはx^2+y^2=1上の点であり、図形の対称性より、
x^2+y^2=1は正三角形ABCの内接円とわかる。
正四面体PABCから、
円柱x^2+y^2＜1をくりぬくと、とがった三点、
(0,1,1)､(√3/2,-1/2,1)､(-√3/2,-1/2,1)が浮かび上がる。
z軸からA方向とB方向にそれぞれケーキ入刀のように求める立体の1/3を切り出すなら、正四面体は三角錐だから3つあわせて三角柱の体積と同じ。
すなわち三角柱の体積から円柱の体積を引く。
2･√3･1-π1^2･1=2√3-π
=2･1.7320508-3.14159265
=0.3225……
>>801
直線ABの方程式は、
y=-(√3)x+2――①
原点から直線AB型に引いた垂線の方程式は、
y=x/√3――②
①②より交点は、
-(√3)x+2=x/√3
3x+x=2√3
x=√3/2
②に代入し、y=1/2
(√3/2,1/2)
これはx^2+y^2=1上の点であり、図形の対称性より、
x^2+y^2=1は正三角形ABCの内接円とわかる。
正四面体PABCから、
円柱x^2+y^2＜1をくりぬくと、とがった三点、
(0,1,1)､(√3/2,-1/2,1)､(-√3/2,-1/2,1)が浮かび上がる。
z軸からA方向とB方向にそれぞれケーキ入刀のように求める立体の1/3を切り出すなら、正四面体は三角錐だから3つあわせて三角柱の体積と同じ。
すなわち三角柱の体積から円柱の体積を引く。
2･√3･1-π1^2･1=2√3-π
=2･1.7320508-3.14159265
=0.3225……
4325×2415＝
前>>812違うかもしれない。
z=t(0≦z≦1)で立体の1/6の部分を切ってt=0～1を足しあつめて、あとで6倍する。
z=tによる切り口の座標は、
(0,2-t,t)､
(0,1,t)、
あと一点は、
y=-√3x+2-tをx^2+y^2=1に代入し、
({√3(2-t)-√(4t-t^2)}/4,{2-t+√3(4t-t^2)}/4)
三角形から扇形を引けば、z=tによる切り口の面積は出る。
三角形の面積は、
(1/2)(2-t){√3(2-t)-√(4t-t^2)}/4
={√3(2-t)^2-√(2-t)^2(4t-t^2)}/8
切りとる扇形の面積を知るには中心角θか円弧の長さ2π･(θ/2π)=θが必要。
tで表せないか。
tanθ={√3(2-t)-√(4t-t^2)}/{2-t+√3(4t-t^2)}
z=tによる切り口の面積は、
{√3(2-t)^2-√(2-t)^2(4t-t^2)}/8-π･(θ/2π)
{√3(2-t)^2-√(2-t)^2(4t-t^2)}/8-θ/2
求める立体の体積は、
6∫[t=0～1]{√3(2-t)^2-(2-t)√(4t-t^2)}/8-θ/2dt
=
z=t(0≦z≦1)で立体の1/6の部分を切ってt=0～1を足しあつめて、あとで6倍する。
z=tによる切り口の座標は、
(0,2-t,t)､
(0,1,t)、
あと一点は、
y=-√3x+2-tをx^2+y^2=1に代入し、
({√3(2-t)-√(4t-t^2)}/4,{2-t+√3(4t-t^2)}/4)
三角形から扇形を引けば、z=tによる切り口の面積は出る。
三角形の面積は、
(1/2)(2-t){√3(2-t)-√(4t-t^2)}/4
={√3(2-t)^2-√(2-t)^2(4t-t^2)}/8
切りとる扇形の面積を知るには中心角θか円弧の長さ2π･(θ/2π)=θが必要。
tで表せないか。
tanθ={√3(2-t)-√(4t-t^2)}/{2-t+√3(4t-t^2)}
z=tによる切り口の面積は、
{√3(2-t)^2-√(2-t)^2(4t-t^2)}/8-π･(θ/2π)
{√3(2-t)^2-√(2-t)^2(4t-t^2)}/8-θ/2
求める立体の体積は、
6∫[t=0～1]{√3(2-t)^2-(2-t)√(4t-t^2)}/8-θ/2dt
=
前>>814方針変更。
>>801
正四面体PABCから、
正四面体PABCのz=1より上の部分を取り除き、
x^2+y^2＜1の0≦z≦1の円柱を引き、
円柱のうち引きすぎた部分を足す。
正四面体PABC=(1/6)･3･2√2･2
=2√3
正四面体PABCのz=1より上の部分=2√3･(1/8)
=√3/4
x^2+y^2＜1の0≦z≦1の円柱=π
円柱のうち引きすぎた部分=(π/3-√3/4)･1･(1/2)･3
=(4π-3√3)/8
求める立体の体積=2√3-√3/4-π+(4π-3√3)/8
=(16√3-2√3-3√3-8π+4π)/8
=(11√3-4π)/8
=0.810773534……
>>801
正四面体PABCから、
正四面体PABCのz=1より上の部分を取り除き、
x^2+y^2＜1の0≦z≦1の円柱を引き、
円柱のうち引きすぎた部分を足す。
正四面体PABC=(1/6)･3･2√2･2
=2√3
正四面体PABCのz=1より上の部分=2√3･(1/8)
=√3/4
x^2+y^2＜1の0≦z≦1の円柱=π
円柱のうち引きすぎた部分=(π/3-√3/4)･1･(1/2)･3
=(4π-3√3)/8
求める立体の体積=2√3-√3/4-π+(4π-3√3)/8
=(16√3-2√3-3√3-8π+4π)/8
=(11√3-4π)/8
=0.810773534……
二項分布の確率母関数を求める途中の展開が分かりません
納k=0,n]( nCk * (pz)^k * (1 - p)^(n-k) )
= (pz + q)^n
この間は何を行っているのでしょうか
納k=0,n]( nCk * (pz)^k * (1 - p)^(n-k) )
= (pz + q)^n
この間は何を行っているのでしょうか
2項定理をご存じないということですか
2015年以降の高校数学の新過程の統計を学ぶのに最適の参考書を教えて下さい
f(x)は定数でない多項式とする。
このとき、sin(f(x))が周期関数となるための必要十分条件は、f(x)の次数が1であることを示せ。
このとき、sin(f(x))が周期関数となるための必要十分条件は、f(x)の次数が1であることを示せ。
cos((f(a)+f(a+p))/2)≠0であるaをとればaの近傍でsin((f(x)-f(x+p))/2)=0により(f(x)-f(x+p))/2は定数。
∴ (f(x)-f(x+p))/2の次数は0以下。
∴ (f(x)-f(x+p))/2の次数は0以下。
(必要条件)
g(x) := sin(f(x)), 周期: T とする.
f(x) は定数ではないため g(α) ≠ 1 となる点 x=α が存在する.
g’(x) = cos(f(x)) f’(x) これも周期: T のはずである.
| g’(α) | = | g’(α+nT) | = √{ 1-g(α)^2 } * |f ’(a+nT)|
f(x)の次数が 2以上では lim{n→ ∞} |f ’(a+nT)| = ∞ つまり上の等式は成立しない.
よって f(x)の次数は1である.
(十分条件)
f(x) =ax + b (1次式, a≠0) とすると
g(x) := sin(f(x)) = sin(ax + b) = sin(ax ±2π + b) = sin(a*(x+2π/|a|) + b) = g(x+2π/|a|)
g(x) は周期 2π/|a| の関数である
g(x) := sin(f(x)), 周期: T とする.
f(x) は定数ではないため g(α) ≠ 1 となる点 x=α が存在する.
g’(x) = cos(f(x)) f’(x) これも周期: T のはずである.
| g’(α) | = | g’(α+nT) | = √{ 1-g(α)^2 } * |f ’(a+nT)|
f(x)の次数が 2以上では lim{n→ ∞} |f ’(a+nT)| = ∞ つまり上の等式は成立しない.
よって f(x)の次数は1である.
(十分条件)
f(x) =ax + b (1次式, a≠0) とすると
g(x) := sin(f(x)) = sin(ax + b) = sin(ax ±2π + b) = sin(a*(x+2π/|a|) + b) = g(x+2π/|a|)
g(x) は周期 2π/|a| の関数である
（必要条件）
f(x) はn次多項式とする。周期：Tとする。
区間[0,T] でのf(x)の値域 D(0,T) は有界である。
sin(y) = sinθ の根yは無数にあるが {θ, π-θ, 2π+θ, 3π-θ, ････}
D(0,T) 内の根は m個だったとする。
一方、f(x) = y を満たすxは 各yにつきn個以下である。
∴ sin(f(x)) = sinθ を満たすx も周期T内にmn個以下である。
因数定理より
f(x+T) - f(x) = T･Q(x,T)
商Q は(n-1)次多項式である。
n≧2 ならば十分大きいx に対して Q(x,T) > πmn/T
区間[x,x+T] でのyの値域幅 |D(x,x+T)| > πmn
sin(f(x)) = sinθ を満たすxも 2mn個以上ある。(矛盾)
・ビブンのことはビブンでせよ。(高木)
f(x) はn次多項式とする。周期：Tとする。
区間[0,T] でのf(x)の値域 D(0,T) は有界である。
sin(y) = sinθ の根yは無数にあるが {θ, π-θ, 2π+θ, 3π-θ, ････}
D(0,T) 内の根は m個だったとする。
一方、f(x) = y を満たすxは 各yにつきn個以下である。
∴ sin(f(x)) = sinθ を満たすx も周期T内にmn個以下である。
因数定理より
f(x+T) - f(x) = T･Q(x,T)
商Q は(n-1)次多項式である。
n≧2 ならば十分大きいx に対して Q(x,T) > πmn/T
区間[x,x+T] でのyの値域幅 |D(x,x+T)| > πmn
sin(f(x)) = sinθ を満たすxも 2mn個以上ある。(矛盾)
・ビブンのことはビブンでせよ。(高木)
69, 67, 65, 63, 61, 59, 57, 56,
52, 50, 48, 46, 44, 43, 42,
37, 35, 33, 32, 31, 30,
24, 23, 22, 21, 20,
15, 14, 13, 12,
8, 7, 6,
3, 2
規則性は？
2 6 12 20 30 42 56は三角数の位置
52, 50, 48, 46, 44, 43, 42,
37, 35, 33, 32, 31, 30,
24, 23, 22, 21, 20,
15, 14, 13, 12,
8, 7, 6,
3, 2
規則性は？
2 6 12 20 30 42 56は三角数の位置
>>809
2018 < nn + an + (p/n) < 2019,
より
n(2018 - nn - an) < p < n(2019 - nn - an),
〔例〕
n<45, a = 2(45-n) のとき
n{(45-n)^2 - 7)n < p < n{(45-n)^2 - 6},
(45 - a/2)(aa/4 - 7) < p < (45 - a/2)(aa/4 - 6),
2018 < nn + an + (p/n) < 2019,
より
n(2018 - nn - an) < p < n(2019 - nn - an),
〔例〕
n<45, a = 2(45-n) のとき
n{(45-n)^2 - 7)n < p < n{(45-n)^2 - 6},
(45 - a/2)(aa/4 - 7) < p < (45 - a/2)(aa/4 - 6),
>>801
まず xx+yy≦1 の内側部分の体積を考え、正3角錐PABCの体積 2√3 から引く。
∠BOC に含まれる扇形部分の体積vを3倍すればよい。
その各点の極座標を (r,θ) とすると 0≦r≦1, -60ﾟ≦θ≦60ﾟ
各点における高さは h(r,θ) = 2(1+y) = 2(1-r･cosθ)
v = ∫[0,1] ∫[-60ﾟ,60ﾟ] h(r,θ) dθ rdr = 2(π-√3)/3,
V = (PABC) - 3v = 2√3 - 2(π-√3) = 4√3 - 2π = 0.6４5017923 (←訂正)
まず xx+yy≦1 の内側部分の体積を考え、正3角錐PABCの体積 2√3 から引く。
∠BOC に含まれる扇形部分の体積vを3倍すればよい。
その各点の極座標を (r,θ) とすると 0≦r≦1, -60ﾟ≦θ≦60ﾟ
各点における高さは h(r,θ) = 2(1+y) = 2(1-r･cosθ)
v = ∫[0,1] ∫[-60ﾟ,60ﾟ] h(r,θ) dθ rdr = 2(π-√3)/3,
V = (PABC) - 3v = 2√3 - 2(π-√3) = 4√3 - 2π = 0.6４5017923 (←訂正)
>>806, >>810 でやった俺の解法も計算が合わない.
確かに 値: 4√3 - 2π = 0.645... が正しいです (念のため数値計算でも確かめた)
立式では無視した赤い領域は高次の微小量だから積分には効かないはずで
V = 6 ∫ [θ=0～π/3] {微小体積} = 6 ∫ [θ=0～π/3] d( (2/3).sinθ + (1/3).tanθ ) (1-cosθ)^2
= (9/2)*√3 - 2π/3 - 2*log(7+4√3 ) = 0.4320... ≠ 0.645... (合わない...)
検算したので立式後の計算は間違いないと思います.
こちらの解法はどこでミスしているのでしょうか？ 誰か教えてください.
確かに 値: 4√3 - 2π = 0.645... が正しいです (念のため数値計算でも確かめた)
立式では無視した赤い領域は高次の微小量だから積分には効かないはずで
V = 6 ∫ [θ=0～π/3] {微小体積} = 6 ∫ [θ=0～π/3] d( (2/3).sinθ + (1/3).tanθ ) (1-cosθ)^2
= (9/2)*√3 - 2π/3 - 2*log(7+4√3 ) = 0.4320... ≠ 0.645... (合わない...)
検算したので立式後の計算は間違いないと思います.
こちらの解法はどこでミスしているのでしょうか？ 誰か教えてください.
>>591
これのA(2次正則行列)をa,b,c,d
さらにx=(x, y)
とおいたときの解法お願いします
これのA(2次正則行列)をa,b,c,d
さらにx=(x, y)
とおいたときの解法お願いします
この問題の解説お願いします><
ミスってた箇所が分かった.
d(sinθ) のとこは dθ/cosθ とすべきだった. d(tanθ) = dθ/(cosθ)^2 はそのままでよい.
微小体積: { (2/3). dθ /c + (1/3). dθ/c^2 }. (1-c)^2 [c :=cosθ ]
= (1/3). (2c+1)(1-2c+cc) /cc = (1/3).{ 1/c^2 -3 +2c }
V = 6 ∫ [θ=0～π/3] {微小体積} = 2 tan(π/3) - 6.(π/3) + 4sin(π/3) = 4√3 - 2π
正しい答えが得られた.
こうやって間違わなければ, かなりエレガントな解法ではないだろうか (自画自賛)
d(sinθ) のとこは dθ/cosθ とすべきだった. d(tanθ) = dθ/(cosθ)^2 はそのままでよい.
微小体積: { (2/3). dθ /c + (1/3). dθ/c^2 }. (1-c)^2 [c :=cosθ ]
= (1/3). (2c+1)(1-2c+cc) /cc = (1/3).{ 1/c^2 -3 +2c }
V = 6 ∫ [θ=0～π/3] {微小体積} = 2 tan(π/3) - 6.(π/3) + 4sin(π/3) = 4√3 - 2π
正しい答えが得られた.
こうやって間違わなければ, かなりエレガントな解法ではないだろうか (自画自賛)
m,M,a,b,c,dは整数で、それぞれ以下を満たすとする。
1<=m<=M
0<=a<=b<=c<=d<=mかつa+b+c+d=M
m,Mを定数とするとき、条件を満たすa,b,c,dの組は何組あるか？
↑どなたかこれお願いします…
考え方も書いてくれるとありがたいです。
よろしくお願いします
1<=m<=M
0<=a<=b<=c<=d<=mかつa+b+c+d=M
m,Mを定数とするとき、条件を満たすa,b,c,dの組は何組あるか？
↑どなたかこれお願いします…
考え方も書いてくれるとありがたいです。
よろしくお願いします
Aは3桁の整数である。A=100m+10n+lとして、m,n,lは全て1桁の奇数とする。
A(A+1)の全ての桁が偶数になる時、Aを求めよ。
ただし、m≠n≠lとする。
娘のテスト問題にあったのですが、総当たり以外で解く方法が思い付きません…。
A(A+1)の全ての桁が偶数になる時、Aを求めよ。
ただし、m≠n≠lとする。
娘のテスト問題にあったのですが、総当たり以外で解く方法が思い付きません…。
>>566 ６進数最善説
＞このことを考えると進法の b としては 6 を選ぶのが正しいと思う。
＞なぜなら適度な文字数ですべての数を表せ、
＞小さい素数 2, 3, 5, 7 での可除性が簡単に判定できる唯一の数が 6 なのである。
http://math.tsukuba.ac.jp/~akiyama/papers/proc/NumberTheory_DynSys_rev3.pdf
＞このことを考えると進法の b としては 6 を選ぶのが正しいと思う。
＞なぜなら適度な文字数ですべての数を表せ、
＞小さい素数 2, 3, 5, 7 での可除性が簡単に判定できる唯一の数が 6 なのである。
http://math.tsukuba.ac.jp/~akiyama/papers/proc/NumberTheory_DynSys_rev3.pdf
日常で使う小さな数の桁数が増えるのはよくない
日常では小さな数使う場合がほとんどなんだからな
日常では小さな数使う場合がほとんどなんだからな
10進数で7の倍数を判定する方法
①元の数を1の位(A)とそれ以上(B)に分ける
②Aの2倍とBとの差が7の倍数なら元の数は7の倍数
③上の②の数が大きすぎる場合は①～②を繰り返す
上の②を「AとBとの和が9の倍数なら元の数は9の倍数」に変えると9の倍数の判定方法になることを考えると、さほど難しくもないのでは
①元の数を1の位(A)とそれ以上(B)に分ける
②Aの2倍とBとの差が7の倍数なら元の数は7の倍数
③上の②の数が大きすぎる場合は①～②を繰り返す
上の②を「AとBとの和が9の倍数なら元の数は9の倍数」に変えると9の倍数の判定方法になることを考えると、さほど難しくもないのでは
S[n] = 4*Σ[k = 1 to n] {(-1)^(k-1)}/(2k-1)
T[n] = (6/π)*Σ[k = 1 to n] (1/k^2)
とおくとき、次の極限が0でない実数に収束するような有理数pを求めよ。
lim[n→∞] (n^p)*(S[n] - T[n])
これが難しくて一手目に何をすべきか分かりません。
関数でないので、展開して高次を切り捨てる方法も使えませんし、評価の仕方が分かりません。
ご教示ください。
T[n] = (6/π)*Σ[k = 1 to n] (1/k^2)
とおくとき、次の極限が0でない実数に収束するような有理数pを求めよ。
lim[n→∞] (n^p)*(S[n] - T[n])
これが難しくて一手目に何をすべきか分かりません。
関数でないので、展開して高次を切り捨てる方法も使えませんし、評価の仕方が分かりません。
ご教示ください。
>>840 7の倍数判定方法
10a + b ≡ 0 (mod 7) ⇔ -2*(10a + b) ≡ 0 (mod 7)
-2*(10a + b) ≡ -20a -2b ≡ a -2b ≡ 0 (mod 7)
なるほど... 。 3の倍数９の倍数とかはよく見かけるけど、これは初めて知った。
10a + b ≡ 0 (mod 7) ⇔ -2*(10a + b) ≡ 0 (mod 7)
-2*(10a + b) ≡ -20a -2b ≡ a -2b ≡ 0 (mod 7)
なるほど... 。 3の倍数９の倍数とかはよく見かけるけど、これは初めて知った。
>>830前>>827方針転換。
平面z=tで切った正四面体PABCの面積をt=0から1まで積分してみる。
高さ2-tの正三角形よりちょっとだけ広い黒い矢じり形を3つ。
黒い三角形から白い円を引いて引きすぎた3つの切れ端を足す。
底面ABCの面積は3√3、それが黒い三角形になるための倍率すなわち相似比は、
(2-t)/2
黒い三角形の面積は、
(3√3){(2-t)/2}^2
白い円の面積を引いて、
(3√3){(2-t)/2}^2-1
引きすぎた3つの切れ端の三日月形の面積は、
直線y=-√3x+2-tをx^2+y^2=1に代入し、
(√{4√3-3+(4-2√3)t-t^2}/2,±√{7-4√3-(4-2√3)t+t^2}/4)
半径1の扇形から面積(2-t/2)√{1-(2-t/2)^2}の三角形を引いて三日月形を出せないかと考える。
あるいは3つある扇形の1つがわかるかもしれない。x軸に水平なやつなら。
平面z=tで切った正四面体PABCの面積をt=0から1まで積分してみる。
高さ2-tの正三角形よりちょっとだけ広い黒い矢じり形を3つ。
黒い三角形から白い円を引いて引きすぎた3つの切れ端を足す。
底面ABCの面積は3√3、それが黒い三角形になるための倍率すなわち相似比は、
(2-t)/2
黒い三角形の面積は、
(3√3){(2-t)/2}^2
白い円の面積を引いて、
(3√3){(2-t)/2}^2-1
引きすぎた3つの切れ端の三日月形の面積は、
直線y=-√3x+2-tをx^2+y^2=1に代入し、
(√{4√3-3+(4-2√3)t-t^2}/2,±√{7-4√3-(4-2√3)t+t^2}/4)
半径1の扇形から面積(2-t/2)√{1-(2-t/2)^2}の三角形を引いて三日月形を出せないかと考える。
あるいは3つある扇形の1つがわかるかもしれない。x軸に水平なやつなら。
>>842
π - T[n] = (6/π)Σ[k=n+1 to ∞] (1/kk)
≒ (6/π)Σ[k=n+1 to ∞] 4/(4kk-1)
= (6/π)Σ[k=n+1 to ∞] {2/(2k-1) - 2/(2k+1)}
= 2(6/π)/(2n+1),
π - S[n] = 4Σ[k=n+1 to ∞] {(-1)^(k-1)}/(2k-1)
= 2(-1)^n /(2n+1) + 2Σ[k=n+1 to ∞] {(-1)^(k-1)} {1/(2k-1) - 1/(2k+1)}
= 2(-1)^n /(2n+1) + 4Σ[k=n+1 to ∞] {(-1)^(k-1)} /{(2k-1)(2k+1)}
= 2(-1)^n /(2n+1) + 4Σ[k=n+1 to ∞] {(-1)^(k-1)} /(4kk-1)
≒ 2(-1)^n /(2n+1),
S[n] - T[n] ≒ 2{(6/π) - (-1)^n}/(2n+1),
たしかに難しい....
π - T[n] = (6/π)Σ[k=n+1 to ∞] (1/kk)
≒ (6/π)Σ[k=n+1 to ∞] 4/(4kk-1)
= (6/π)Σ[k=n+1 to ∞] {2/(2k-1) - 2/(2k+1)}
= 2(6/π)/(2n+1),
π - S[n] = 4Σ[k=n+1 to ∞] {(-1)^(k-1)}/(2k-1)
= 2(-1)^n /(2n+1) + 2Σ[k=n+1 to ∞] {(-1)^(k-1)} {1/(2k-1) - 1/(2k+1)}
= 2(-1)^n /(2n+1) + 4Σ[k=n+1 to ∞] {(-1)^(k-1)} /{(2k-1)(2k+1)}
= 2(-1)^n /(2n+1) + 4Σ[k=n+1 to ∞] {(-1)^(k-1)} /(4kk-1)
≒ 2(-1)^n /(2n+1),
S[n] - T[n] ≒ 2{(6/π) - (-1)^n}/(2n+1),
たしかに難しい....
>>833
log_2(x) + log_2(y) + log_2(z) = 1 + log_2(x+y+z) を満たす自然数の組 (x,y,z) で、
x≦y≦z であるものをすべて求めよ。
(略解)
xyz = 2(x+y+z),
(x,y,z) = (1,3,8) (1,4,5) (2,2,4)
log_2(x) + log_2(y) + log_2(z) = 1 + log_2(x+y+z) を満たす自然数の組 (x,y,z) で、
x≦y≦z であるものをすべて求めよ。
(略解)
xyz = 2(x+y+z),
(x,y,z) = (1,3,8) (1,4,5) (2,2,4)
ある四角形Aの各辺の中点を頂点とする四角形Bの面積がAの1/2であることの証明をお願いします
対角線引くとわかる
A(i)－A(i+1) の中点を B(i) とする。
△B1A1B4 = (1/4)△A2A1A4,
△B2A2B1 = (1/4)△A1A2A3,
△B3A3B2 = (1/4)△A2A3A4,
△B4A4B3 = (1/4)△A3A4A1,
辺々たすと
S(A) - S(B) = (△A2A1A4 + △A2A3A4)/4 + (△A1A2A3 + △A3A4A1)/4
= S(A)/4 + S(A)/4
= S(A)/2,
∴ S(B) = S(A)/2,
△B1A1B4 = (1/4)△A2A1A4,
△B2A2B1 = (1/4)△A1A2A3,
△B3A3B2 = (1/4)△A2A3A4,
△B4A4B3 = (1/4)△A3A4A1,
辺々たすと
S(A) - S(B) = (△A2A1A4 + △A2A3A4)/4 + (△A1A2A3 + △A3A4A1)/4
= S(A)/4 + S(A)/4
= S(A)/2,
∴ S(B) = S(A)/2,
>>835
初等幾何ぢゃなくてもいいなら
平行線 AD、BC の間隔を１とする。
A (cot(48ﾟ), 1)
B (0, 0)
C (cot(48ﾟ)+cot(54ﾟ), 0)
D (cot(30ﾟ), 1)
cot(48ﾟ) = √{2 + (5+2√5) -2(√3)√(5+2√5)}
cot(54ﾟ) = tan(36ﾟ) = √(5-2√5)
cot(30ﾟ) = tan(60ﾟ) = √3,
より
cot(30ﾟ) - cot(48ﾟ) - cot(54ﾟ)
= √{2 + (5-2√5) -2(√3)√(5-2√5)}
= cot(84ﾟ)
∠BCD = 96ﾟ
∠ACD = 42ﾟ
初等幾何ぢゃなくてもいいなら
平行線 AD、BC の間隔を１とする。
A (cot(48ﾟ), 1)
B (0, 0)
C (cot(48ﾟ)+cot(54ﾟ), 0)
D (cot(30ﾟ), 1)
cot(48ﾟ) = √{2 + (5+2√5) -2(√3)√(5+2√5)}
cot(54ﾟ) = tan(36ﾟ) = √(5-2√5)
cot(30ﾟ) = tan(60ﾟ) = √3,
より
cot(30ﾟ) - cot(48ﾟ) - cot(54ﾟ)
= √{2 + (5-2√5) -2(√3)√(5-2√5)}
= cot(84ﾟ)
∠BCD = 96ﾟ
∠ACD = 42ﾟ
前>>845式はできた。
6∫[0～1]{∫[√(t-t^2/4)～√3/2](1-t-√(1-x^2)dx+∫[√3/2～√3-t√3/2](1-t-x/√3)dx}dt
sinθ=√(t-t^2/4),cosθ=1-t/2とおくと、白い三日月が出たほうがいいな、と思えてくる。
6∫[0～1]{∫[√(t-t^2/4)～√3/2](1-t-√(1-x^2)dx+∫[√3/2～√3-t√3/2](1-t-x/√3)dx}dt
sinθ=√(t-t^2/4),cosθ=1-t/2とおくと、白い三日月が出たほうがいいな、と思えてくる。
前>>852
正四面体PABCをz=tで切った断面は、開口部の中心角を2θとして、
3√3(2-t/2)^2-1+3θ-3sin2θ
0≦t≦1のとき0≦θ≦π/3
円柱でくりぬいて残ったガワの体積は、
∬3√3(2-t/2)^2-1+3θ-3sin2θdθdt[θ=0～π/3][t=0～1]
正四面体PABCをz=tで切った断面は、開口部の中心角を2θとして、
3√3(2-t/2)^2-1+3θ-3sin2θ
0≦t≦1のとき0≦θ≦π/3
円柱でくりぬいて残ったガワの体積は、
∬3√3(2-t/2)^2-1+3θ-3sin2θdθdt[θ=0～π/3][t=0～1]
いつまでやってんだこいつ
30分あれば十分な問題だろ
30分あれば十分な問題だろ
整級数P(z; 1)=納n=0,∞](1/2 C n)(z - 1)^n
の|z|=1の収束円周上の点を中心とするテイラー展開式ってどうなるのでしょうか
の|z|=1の収束円周上の点を中心とするテイラー展開式ってどうなるのでしょうか
前>>853
正四面体PABCをz=tで切った断面は、開口部の中心角を2θとして、
3√3(2-t/2)^2-1+3θ-3sin2θ
0≦t≦1のとき0≦θ≦π/3
円柱でくりぬいて残ったガワの体積は、
∬3√3(2-t/2)^2-1+3θ-3sin2θdθdt[θ=0～π/3][t=0～1]
t=2(1-cosθ)
∫3√3{2-(1-cosθ)}^2-1+3θ-3sin2θdθ[θ=0～π/3]
∫3√3(1+cosθ)^2-1+3θ-3sin2θdθ[θ=0～π/3]
=∫3√3(1+2cosθ+cos^2θ)-1+3θ-3sin2θdθ[θ=0～π/3]
=∫3√3(θ+2sinθ+θ/2+sin2θ/4)-1+3θ-3sin2θdθ[θ=0～π/3]
=3√3{π/3+2sin(π/3)+(π/3)/2+sin2(π/3)/4)-1+3(π/3)-3sin2(π/3)}
=3√3(π/3+√3+π/6+1/2)-1+π-3√3/2
=3√3(π/2+√3+1/2)-1+π-3√3/2
=3√3π/2+9+3√3/2-1+π-3√3/2
=(1+3√3/2)π+8
計算間違えたかな？
正四面体PABCをz=tで切った断面は、開口部の中心角を2θとして、
3√3(2-t/2)^2-1+3θ-3sin2θ
0≦t≦1のとき0≦θ≦π/3
円柱でくりぬいて残ったガワの体積は、
∬3√3(2-t/2)^2-1+3θ-3sin2θdθdt[θ=0～π/3][t=0～1]
t=2(1-cosθ)
∫3√3{2-(1-cosθ)}^2-1+3θ-3sin2θdθ[θ=0～π/3]
∫3√3(1+cosθ)^2-1+3θ-3sin2θdθ[θ=0～π/3]
=∫3√3(1+2cosθ+cos^2θ)-1+3θ-3sin2θdθ[θ=0～π/3]
=∫3√3(θ+2sinθ+θ/2+sin2θ/4)-1+3θ-3sin2θdθ[θ=0～π/3]
=3√3{π/3+2sin(π/3)+(π/3)/2+sin2(π/3)/4)-1+3(π/3)-3sin2(π/3)}
=3√3(π/3+√3+π/6+1/2)-1+π-3√3/2
=3√3(π/2+√3+1/2)-1+π-3√3/2
=3√3π/2+9+3√3/2-1+π-3√3/2
=(1+3√3/2)π+8
計算間違えたかな？
>>856 もっと単純に行きましょうよ....
円筒を引いて取りすぎた部分の体積(三日月って言ってたやつかな？) なら
↓こんな方針で求められます.
半径1高さ1の円筒を斜め切断した立体の体積 V を求めたい.
底辺の切断位置を a , cos(α) = a として c = cosθ と略記する
V(a) = ∫ [θ= -α ～ +α] dθ { (1/2).(a/cc) + (1/3).(1/c - a/cc) } (c-a)^2 . 1/(1-a)
= ∫ [θ= -α ～ +α] dθ (a + 2c)(cc -2ac +aa) /6cc. 1/(1-a)
= ∫ [θ= -α ～ +α] dθ ( 2c -3a +aaa/cc ) /6 . 1/(1-a)
= { 2.sinα -3a.α +aaa.tanα } / {3(1-a)}
= { (2+aa)√(1-aa) - 3a.acos(a) } / {3(1-a)}
これは 0 ≦ a ≦ 1 での証明ですが、-1 ≦ a < 0 でもそのまま同じ式が使えます. (証明は略す)
例えば V(-1) = π/2 が、きっちり半分体積になってるのは図形の対称性からも明らか.
円筒を引いて取りすぎた部分の体積(三日月って言ってたやつかな？) なら
↓こんな方針で求められます.
半径1高さ1の円筒を斜め切断した立体の体積 V を求めたい.
底辺の切断位置を a , cos(α) = a として c = cosθ と略記する
V(a) = ∫ [θ= -α ～ +α] dθ { (1/2).(a/cc) + (1/3).(1/c - a/cc) } (c-a)^2 . 1/(1-a)
= ∫ [θ= -α ～ +α] dθ (a + 2c)(cc -2ac +aa) /6cc. 1/(1-a)
= ∫ [θ= -α ～ +α] dθ ( 2c -3a +aaa/cc ) /6 . 1/(1-a)
= { 2.sinα -3a.α +aaa.tanα } / {3(1-a)}
= { (2+aa)√(1-aa) - 3a.acos(a) } / {3(1-a)}
これは 0 ≦ a ≦ 1 での証明ですが、-1 ≦ a < 0 でもそのまま同じ式が使えます. (証明は略す)
例えば V(-1) = π/2 が、きっちり半分体積になってるのは図形の対称性からも明らか.
￣]/＼______前>>856
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間をおいてもうちょい考える。
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間をおいてもうちょい考える。
2の2019乗を5で割った余り
合同式を利用してお願いします
合同式を利用してお願いします
2^2 = 4 ≡ -1 (mod 5)
2^(2*1009 + 1) = (2^2)^1009 * 2 ≡ (-1)^1009 * 2 = -2 ≡ 3 (mod 5)
2^(2*1009 + 1) = (2^2)^1009 * 2 ≡ (-1)^1009 * 2 = -2 ≡ 3 (mod 5)
前>>859
高さ1の単位円柱(体積π)の中心角120°の切頭三日月形柱が三日月形柱(体積はわかる)の1/2なのか2/3なのか、正四面体PABCの中と外でいくらに分けられるのか。答えから推定する。
高さ1の単位円柱(体積π)の中心角120°の切頭三日月形柱が三日月形柱(体積はわかる)の1/2なのか2/3なのか、正四面体PABCの中と外でいくらに分けられるのか。答えから推定する。
円柱は縦に切るのがコツ
前>>862やっと解けた。
正四面体PABC=1/3･3√3･2
=2√3
正四面体PABCのz=1より上の部分(正四面体PABCの1/8)を切り出し、
2√3(7/8)=7√3/4
x^2+y^2＜1の0≦z≦1の円柱(体積π)内部の正三角柱を切り出し、
7√3/4-3√3/4=√3
求める立体の体積=√3-(π-3√3/4)(2/3)
=3√3/2-2π/3
=0.503681109……
正四面体PABC=1/3･3√3･2
=2√3
正四面体PABCのz=1より上の部分(正四面体PABCの1/8)を切り出し、
2√3(7/8)=7√3/4
x^2+y^2＜1の0≦z≦1の円柱(体積π)内部の正三角柱を切り出し、
7√3/4-3√3/4=√3
求める立体の体積=√3-(π-3√3/4)(2/3)
=3√3/2-2π/3
=0.503681109……
突然πが出てきて何事wwwww
だからオイラーマクローリンで1/nで展開できるって。
前>>864
>>865πについて解説します。
正四面体PABC(体積2√3)から、
正四面体PABCのz=1より上の部分(正四面体PABCの1/8)を切り出し、
2√3(7/8)=7√3/4
x^2+y^2＜1の0≦z≦1の円柱(体積π)内部の正三角柱(3√3/4)を切り出し、
7√3/4-3√3/4=√3
ここまでだと正四面体内部をナイフで切り出したみたいな状態なわけです。
ここからさらにメロンの中の果肉をスプーンでこ削げ落とすみたいに切り出さないと。
πは高さ1の円柱です。
3√3/4は高さ1の正三角柱です。
求める立体の体積=√3-(π-3√3/4)(2/3) ←2/3というのは三日月形柱の内側を切り出したからです。
三日月形柱を、正四面体PABCの斜めの側面が、内側と外側に2:1に分けるんです。
中心角が120°なんで三日月形というか蒲鉾形です。
=3√3/2-2π/3
=0.503681109……
この(2/3)の比率に気づくのに時間がかかりました。
xy平面もz=1平面も三日月形柱の上底と下底は合同な蒲鉾形です。正四面体PABCの側面で斜めに切ったとき、下向きには一点に収束していく形ですが、上向きには直線に収束していく、すなわち両端の二点に。
これで2:1の比率になることが実感できました。
>>868z=t平面で切って積分するやり方が硬い(強力な)方法かもしれないと思ったんですが、より直感的で幾何学的な、メロンの切り出しのような方法に変更しました。
z=tで切るやり方で同じ値を出すとは、やっぱり0.6……が正解なのか。
>>865πについて解説します。
正四面体PABC(体積2√3)から、
正四面体PABCのz=1より上の部分(正四面体PABCの1/8)を切り出し、
2√3(7/8)=7√3/4
x^2+y^2＜1の0≦z≦1の円柱(体積π)内部の正三角柱(3√3/4)を切り出し、
7√3/4-3√3/4=√3
ここまでだと正四面体内部をナイフで切り出したみたいな状態なわけです。
ここからさらにメロンの中の果肉をスプーンでこ削げ落とすみたいに切り出さないと。
πは高さ1の円柱です。
3√3/4は高さ1の正三角柱です。
求める立体の体積=√3-(π-3√3/4)(2/3) ←2/3というのは三日月形柱の内側を切り出したからです。
三日月形柱を、正四面体PABCの斜めの側面が、内側と外側に2:1に分けるんです。
中心角が120°なんで三日月形というか蒲鉾形です。
=3√3/2-2π/3
=0.503681109……
この(2/3)の比率に気づくのに時間がかかりました。
xy平面もz=1平面も三日月形柱の上底と下底は合同な蒲鉾形です。正四面体PABCの側面で斜めに切ったとき、下向きには一点に収束していく形ですが、上向きには直線に収束していく、すなわち両端の二点に。
これで2:1の比率になることが実感できました。
>>868z=t平面で切って積分するやり方が硬い(強力な)方法かもしれないと思ったんですが、より直感的で幾何学的な、メロンの切り出しのような方法に変更しました。
z=tで切るやり方で同じ値を出すとは、やっぱり0.6……が正解なのか。
いや実感ではなくて証明をして下さい。
何故1:2になるの？
何故1:2になるの？
前>>869でも蒲鉾は斜めに切るほうがいいって……
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切断面を斜めや真横にスパッと切ると断面に円、楕円が生じて面倒。
>>869
2:1 が云々とあるのは 蒲鉾斜め切りが蒲鉾錐になってると思って 「底面 * 高さ * (1/3)」 を使いました？
水平横断面が全て相似形で 頂点からの距離に比例してサイズが変わる (○○錐の特徴) 場合は...
∫ [z=0～h] dz S (z/h)^2 = S.h.(1/3) のように 1/3 ファクターが現れます。
今回のはそうではありません。 例えば水平横断面は相似形ではありません。
>>857 で導出した斜め切断の式使えば
V(1/2) = { (2+1/4)√(1-1/4) - (3/2). acos(1/2) } / {3(1-1/2)} = (3/4).√3 - π/3
{四面体 - (1/2).四面体} - {円筒} + {円筒で削りすぎた分}
= (1- 1/8). 2√3 - π + 3. { (3/4).√3 - π/3 } = 4√3 - 2π
これが答えです。
2:1 が云々とあるのは 蒲鉾斜め切りが蒲鉾錐になってると思って 「底面 * 高さ * (1/3)」 を使いました？
水平横断面が全て相似形で 頂点からの距離に比例してサイズが変わる (○○錐の特徴) 場合は...
∫ [z=0～h] dz S (z/h)^2 = S.h.(1/3) のように 1/3 ファクターが現れます。
今回のはそうではありません。 例えば水平横断面は相似形ではありません。
>>857 で導出した斜め切断の式使えば
V(1/2) = { (2+1/4)√(1-1/4) - (3/2). acos(1/2) } / {3(1-1/2)} = (3/4).√3 - π/3
{四面体 - (1/2).四面体} - {円筒} + {円筒で削りすぎた分}
= (1- 1/8). 2√3 - π + 3. { (3/4).√3 - π/3 } = 4√3 - 2π
これが答えです。
a, b を実数とし、 a < b とする。閉区間 [a, b] は R と濃度が等しいことを以下のヒントを利用して示せ。
ヒント： A ⊂ (a, b) を可算無限集合とすれば、 A ～ A ∪ {a, b} は比較的簡単に示すことができる。これから (a, b) ～ [a, b] を導け。
ヒント： A ⊂ (a, b) を可算無限集合とすれば、 A ～ A ∪ {a, b} は比較的簡単に示すことができる。これから (a, b) ～ [a, b] を導け。
「A ～ A ∪ {a, b} は比較的簡単に示すことができる」
と書かれていますが、自明ではないのでしょうか？
と書かれていますが、自明ではないのでしょうか？
右辺は要素が増えてるのに濃度が等しくなってますね
自明ではないです
{1}と{1,2,3}明らかに濃度が違いますね
今回はなぜ濃度が等しくなるのでしょうね
自明ではないです
{1}と{1,2,3}明らかに濃度が違いますね
今回はなぜ濃度が等しくなるのでしょうね
可算無限集合の定義ですが、 N と濃度が等しいときに、可算無限集合と定義しています。
あ、「無限」という字が入っているので、書くまでもないことですね。
A = {a_0, a_1, a_2, … }
a_0 → a
a_1 → b
a_2 → a_0
…
a_k → a_{k-2}
…
a_0 → a
a_1 → b
a_2 → a_0
…
a_k → a_{k-2}
…
領域D_0の内部に正則点a_0をとり，a_0を中心としたテイラー展開式をf_0(z)とする．
f_0(z)の収束円D_1が完全にD_0に含まれている場合，D_1の境界の円周はD_0の境界の曲線に内接することを示せ．
f_0(z)の収束円D_1が完全にD_0に含まれている場合，D_1の境界の円周はD_0の境界の曲線に内接することを示せ．
D_0={|z|<1}で定義された関数1/(z-2)の収束円は|z|=2。
それがどうかしましたか？
>>D_0は|z|<1。
収束円 D_1 = {z| |z-a0|=R }
収束半径 R = {a_0 から f(z)の特異点までの距離(の最小値)}
収束半径 R = {a_0 から f(z)の特異点までの距離(の最小値)}
D_0には領域という指定しかない。
>>886
削りすぎたのは 斜め切り蒲鉾が３つです。 (緑色)
V(1/2) = (3/4).√3 - π/3
これが斜め切り蒲鉾１つの体積です。高さ１で中心から 1/2 だけズレたとこからの斜め切りです。
なので足す時には３倍しています。+3. { (3/4).√3 - π/3 }
削りすぎたのは 斜め切り蒲鉾が３つです。 (緑色)
V(1/2) = (3/4).√3 - π/3
これが斜め切り蒲鉾１つの体積です。高さ１で中心から 1/2 だけズレたとこからの斜め切りです。
なので足す時には３倍しています。+3. { (3/4).√3 - π/3 }
絵に感心した
田中一之・鈴木登志雄 著『数学のロジックと集合論』を読んでいます。
カントル・ベルンシュタイン・シュレーダーの定理の証明に使う補題1.12（p.57）の証明ですが、
致命的な誤りを発見しました。
このような基本的な命題の証明で誤るというのが信じられません。
しかも、厳密性がもっとも重んじられるロジックや集合論の本においてです。
この著者らは一体何を考えているのでしょうか？
カントル・ベルンシュタイン・シュレーダーの定理の証明に使う補題1.12（p.57）の証明ですが、
致命的な誤りを発見しました。
このような基本的な命題の証明で誤るというのが信じられません。
しかも、厳密性がもっとも重んじられるロジックや集合論の本においてです。
この著者らは一体何を考えているのでしょうか？
>>881
>>885 の言うように 「領域D_0で f(z) が正則」を付け加えると...
f(z) = (1/2πi) ∫_{C} dζ f(ζ) / (ζ - z) この公式が使えます。 (公式の証明はコーシーの積分定理を使う)
「収束円(半径R)が領域境界に接していない」なら
R< R' なる値をとって、中心 a 半径 R' の周回ルート C ＆その内側が D0 に含まれるようにできます。
|z-a| < R' となる任意点 z に対して、
f(z) = (1/2πi) ∫{C} dζ f(ζ) / ( (ζ-a) - (z-a) )
= (1/2πi) ∫{C} dζ f(ζ) Σ (ζ-a)^{-k-1} (z-a)^{k} ( |z-a|/|ζ-a| =|z-a|/R ' < 1 より級数は収束する)
= Σ g_k /k! (z-a)^k ( 展開係数: g_k = (k!/2πi) ∫{C} dζ f(ζ) (ζ-a)^{-k-1} は z に依存しません)
これは収束半径 が R' 以上である事を意味します。
よって「収束円(半径R)が領域境界に接していない」という前提は誤りです。
>>885 の言うように 「領域D_0で f(z) が正則」を付け加えると...
f(z) = (1/2πi) ∫_{C} dζ f(ζ) / (ζ - z) この公式が使えます。 (公式の証明はコーシーの積分定理を使う)
「収束円(半径R)が領域境界に接していない」なら
R< R' なる値をとって、中心 a 半径 R' の周回ルート C ＆その内側が D0 に含まれるようにできます。
|z-a| < R' となる任意点 z に対して、
f(z) = (1/2πi) ∫{C} dζ f(ζ) / ( (ζ-a) - (z-a) )
= (1/2πi) ∫{C} dζ f(ζ) Σ (ζ-a)^{-k-1} (z-a)^{k} ( |z-a|/|ζ-a| =|z-a|/R ' < 1 より級数は収束する)
= Σ g_k /k! (z-a)^k ( 展開係数: g_k = (k!/2πi) ∫{C} dζ f(ζ) (ζ-a)^{-k-1} は z に依存しません)
これは収束半径 が R' 以上である事を意味します。
よって「収束円(半径R)が領域境界に接していない」という前提は誤りです。
領域D_0で正則なんて加えてもダメなのは明らか。
最低でも定義できる極大な(実際にはそれは最大になる)がD_0にならない限りダメ。
ある点での収束半径 = 解析的に接続できない点で一番近い点までの距離
を使わせたいんだろうけどそのためにはD_0が今述べたような領域でないと成立しない。
まぁそう解釈すればギリギリ成立するけど、すると
正則関数 f の解析接続可能な最大領域が滑らかな曲線で囲まれている場合
というほとんど起こらないようなしょうもない設定になってしまう。
一応そういう例はムリクリ作れはするけど。
最低でも定義できる極大な(実際にはそれは最大になる)がD_0にならない限りダメ。
ある点での収束半径 = 解析的に接続できない点で一番近い点までの距離
を使わせたいんだろうけどそのためにはD_0が今述べたような領域でないと成立しない。
まぁそう解釈すればギリギリ成立するけど、すると
正則関数 f の解析接続可能な最大領域が滑らかな曲線で囲まれている場合
というほとんど起こらないようなしょうもない設定になってしまう。
一応そういう例はムリクリ作れはするけど。
なるほど
「収束円が D0の内側にある」と
「収束円(半径R)が領域境界に接していない」
は等価ではないですね。
f(z) = Σ g_k /k! (z-a)^k
は D0 を越えて収束する可能性がありますからね。
「収束円が D0の内側にある」と
「収束円(半径R)が領域境界に接していない」
は等価ではないですね。
f(z) = Σ g_k /k! (z-a)^k
は D0 を越えて収束する可能性がありますからね。
前>>886訂正。
>>890
削りすぎたのは斜め切り蒲鉾が３つ(同意)。
(削りすぎた斜め切り蒲鉾3つ)
=(π-3√3/4)(1/3)
(削りすぎた斜め切り蒲鉾１つ)
=(π-3√3/4)(1/3)(1/3)
高さ１で中心から1/2だけズレたとこからの斜め切り(同意)。
足す時には３倍(同意)。
(π-3√3/4)(1/3)(1/3)3
=(π-3√3/4)(1/3)
求める体積
=(2√3)(7/8)-π
+(π-√3/4)(1/3)
=(7/4)√3-π+π/3-√3/12
=(5/3)√3-(2/3)π
？＞(3/2)√3-(2/3)π
切り出しすぎないよう順に切り出した場合より大きくなった。なぜだ？
>>890
削りすぎたのは斜め切り蒲鉾が３つ(同意)。
(削りすぎた斜め切り蒲鉾3つ)
=(π-3√3/4)(1/3)
(削りすぎた斜め切り蒲鉾１つ)
=(π-3√3/4)(1/3)(1/3)
高さ１で中心から1/2だけズレたとこからの斜め切り(同意)。
足す時には３倍(同意)。
(π-3√3/4)(1/3)(1/3)3
=(π-3√3/4)(1/3)
求める体積
=(2√3)(7/8)-π
+(π-√3/4)(1/3)
=(7/4)√3-π+π/3-√3/12
=(5/3)√3-(2/3)π
？＞(3/2)√3-(2/3)π
切り出しすぎないよう順に切り出した場合より大きくなった。なぜだ？
> (削りすぎた斜め切り蒲鉾１つ)
> =(π-3√3/4)(1/3)(1/3)
> 高さ１で中心から1/2だけズレたとこからの斜め切り(同意)。
あわわ...
V(1/2) = (3/4)√3 - π/3
これには同意してくれないのな。
俺と同じ方針で積分計算やれとは言わんけど、かなり楽な方だよ。
ネットに転がってる解答見たら苦行かな？と思ったもの。
> =(π-3√3/4)(1/3)(1/3)
> 高さ１で中心から1/2だけズレたとこからの斜め切り(同意)。
あわわ...
V(1/2) = (3/4)√3 - π/3
これには同意してくれないのな。
俺と同じ方針で積分計算やれとは言わんけど、かなり楽な方だよ。
ネットに転がってる解答見たら苦行かな？と思ったもの。
座標空間上の格子点を、「任意の立方体について頂点のうち少なくとも一つは色が塗られている」ように有限数の色で塗る。
この時すべての頂点が同じ色で塗られているような立方体が存在することを示せ。
この時すべての頂点が同じ色で塗られているような立方体が存在することを示せ。
楽に解くなら求める領域の1/6を縦に切って
6∫[1/2,1] (2-2t)(√3t- √(1-t^2))dt
でいいんだけどな。
6∫[1/2,1] (2-2t)(√3t- √(1-t^2))dt
でいいんだけどな。
それホントに楽かなあ
1/6パーツを直接積分するなら >>834 (俺) こっちがもっと楽では？
最終計算までルートなんたらが出てこないのが美しい。
1/6パーツを直接積分するなら >>834 (俺) こっちがもっと楽では？
最終計算までルートなんたらが出てこないのが美しい。
前>>896蒲鉾の比率はやっぱり2:1じゃなかった。
蒲鉾3つどれでも3つすべてでも、蒲鉾の中と外の体積比をn:sとすると、
n:s=8:π√3
∵正三角錘台から正三角柱と蒲鉾3つの中(蒲鉾のn/n+s)を引いた体積と、正三角錘台から円柱を引いて引きすぎた蒲鉾3つの外(蒲鉾のs/n+s)を足した体積が一致するから
n:sが出た。これで計算すると求める体積は0.6……になるかもしれない。
蒲鉾3つどれでも3つすべてでも、蒲鉾の中と外の体積比をn:sとすると、
n:s=8:π√3
∵正三角錘台から正三角柱と蒲鉾3つの中(蒲鉾のn/n+s)を引いた体積と、正三角錘台から円柱を引いて引きすぎた蒲鉾3つの外(蒲鉾のs/n+s)を足した体積が一致するから
n:sが出た。これで計算すると求める体積は0.6……になるかもしれない。
まぁ好き好きはあるが、高校生くらいにやらせるならarccosを使うのが高校生にはそもそもハードルが高い。
計算そのものも>>899は実質
∫[1/2,1]t(1-t)dt
∫[1/2,1]t√(1-t^2)dt
∫[/2,1]√(1-t^2)dt
の三つ。
一番目は楽勝、しかもよくみると1/6公式の半分、二番目も置換で楽勝、三番目だけt=sin θの置換を知ってないと苦しいだけ。
もちろんある程度以上のレベルを目指すならarccosがらみも出来ないとダメだけどね。
円柱は縦に切ると帯領域になって楽になるというのは覚えさせられたし、第一感として縦に割る方から攻めてみるのは定石みたいなもんと思ってた。
受験期にしか役立たないけどwww
計算そのものも>>899は実質
∫[1/2,1]t(1-t)dt
∫[1/2,1]t√(1-t^2)dt
∫[/2,1]√(1-t^2)dt
の三つ。
一番目は楽勝、しかもよくみると1/6公式の半分、二番目も置換で楽勝、三番目だけt=sin θの置換を知ってないと苦しいだけ。
もちろんある程度以上のレベルを目指すならarccosがらみも出来ないとダメだけどね。
円柱は縦に切ると帯領域になって楽になるというのは覚えさせられたし、第一感として縦に割る方から攻めてみるのは定石みたいなもんと思ってた。
受験期にしか役立たないけどwww
z=tで切るのが一番素直だと思うけどね。変な置換いるわけでもなくそっちでも一発で出るし
この問題の解法教えていただけないでしょうか？
自分でやったらおそらく間違った答えになってるので・・・
https://imgur.com/eqrfmk0
https://imgur.com/YtAMHeU
自分でやったらおそらく間違った答えになってるので・・・
https://imgur.com/eqrfmk0
https://imgur.com/YtAMHeU
> t=sin θの置換を知ってないと苦しいだけ。
この計算苦手、というか嫌い...
∫ {t=0,x} √(1-t^2)dt = ∫ √(1-sinθ^2)d{sinθ} = ∫ cosθ^2 dθ
= (1/2). ∫ {1 + cos2θ} dθ = (1/2){ Θ + (1/2).sin2Θ }
= (1/2){ Θ + cosΘsinΘ } = (1/2){ asin(x) + x√(1-xx) } (これだって高校生には苦行では？)
まあ検算は楽だけど
(1/2){ asin(x) + x√(1-xx) }’ = (1/2){ 1/√(1-xx) + √(1-xx) - xx/√(1-xx) } = √(1-xx)
[t=1/2, 1 ]なら 図形的に値を出してしまいましょう。
∫[1/2,1]√(1-t^2)dt = (1/2).(π/3) - (1/2).{(1/2).(√3 /2)} = π/6 - (1/8).√3
この計算苦手、というか嫌い...
∫ {t=0,x} √(1-t^2)dt = ∫ √(1-sinθ^2)d{sinθ} = ∫ cosθ^2 dθ
= (1/2). ∫ {1 + cos2θ} dθ = (1/2){ Θ + (1/2).sin2Θ }
= (1/2){ Θ + cosΘsinΘ } = (1/2){ asin(x) + x√(1-xx) } (これだって高校生には苦行では？)
まあ検算は楽だけど
(1/2){ asin(x) + x√(1-xx) }’ = (1/2){ 1/√(1-xx) + √(1-xx) - xx/√(1-xx) } = √(1-xx)
[t=1/2, 1 ]なら 図形的に値を出してしまいましょう。
∫[1/2,1]√(1-t^2)dt = (1/2).(π/3) - (1/2).{(1/2).(√3 /2)} = π/6 - (1/8).√3
前>>901
正四面体が切った蒲鉾の立場はどうなる？
むだ死にか。
正四面体(体積2√3)が切った蒲鉾(π-3√3/4)の中と外の体積比率n:sからしか求めない。
正四面体が切った蒲鉾の立場はどうなる？
むだ死にか。
正四面体(体積2√3)が切った蒲鉾(π-3√3/4)の中と外の体積比率n:sからしか求めない。
円柱は縦に切るって意外に全国区のルールじゃないんだなww
まぁ受験期にしか役に立たないからね。
数学板の住人は受験数学ごときでは苦労しないし。
面積に帰着して置換しないのもアリだけどね。
しかし面積に帰着できないときもあるから受験期には置換の方をまず覚えろと言われたな。
今は昔のお話だけど。
こんな話ばっかりだと受験板くさくていかん。
まぁ受験期にしか役に立たないからね。
数学板の住人は受験数学ごときでは苦労しないし。
面積に帰着して置換しないのもアリだけどね。
しかし面積に帰着できないときもあるから受験期には置換の方をまず覚えろと言われたな。
今は昔のお話だけど。
こんな話ばっかりだと受験板くさくていかん。
>>905
定積分の置換だからacosに戻さないよ。
積分範囲もπ/6～π/2に変えてそのままぶち込むだけ。
定積分の置換だからacosに戻さないよ。
積分範囲もπ/6～π/2に変えてそのままぶち込むだけ。
2630
ふうL@Fu_L12345654321
学コン1傑いただきました！
とても嬉しいです！
https://twitter.com/Fu_L12345654321/status/1144528199654633477
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)
ふうL@Fu_L12345654321
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とても嬉しいです！
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前>>906
正四面体の側面の勾配が2だから1:2:√5の直角三角形を足しあつめたら蒲鉾を側面で切った外側が出るのかな？
正四面体の側面の勾配が2だから1:2:√5の直角三角形を足しあつめたら蒲鉾を側面で切った外側が出るのかな？
解析接続とか今まで勉強してきて一度も使ったことないんだけど何に役立つの？
前>>914
z=tで切った正四面体の切り口の1つの矢じりの面積を考えてるが、
t=0のときは、
6(√3/2-π/6)で、
z=tのとき矢じりの中心の長さは1から2-tまで2-t-1=1-tあるけど、これはz=0のときの図形と相似ではないよね。
t=0のときπ/6あった単位円の中心角が、tが増えるとだんだん減っていくから。
矢じりが小さくなるにつれて、矢じりの鋭さがなくなって矢じり自体が矢じりじゃなくなる。相似ではないものを相似とみなしてはだめだと思った。
z=tで切った正四面体の切り口の1つの矢じりの面積を考えてるが、
t=0のときは、
6(√3/2-π/6)で、
z=tのとき矢じりの中心の長さは1から2-tまで2-t-1=1-tあるけど、これはz=0のときの図形と相似ではないよね。
t=0のときπ/6あった単位円の中心角が、tが増えるとだんだん減っていくから。
矢じりが小さくなるにつれて、矢じりの鋭さがなくなって矢じり自体が矢じりじゃなくなる。相似ではないものを相似とみなしてはだめだと思った。
別スレでやってくれねぇか？
前>>915
>>801
四面体PABC=2√3
このうちの0≦z≦1の部分は、
2√3(7/8)=7√3/4
内部の高さ1の単位円柱を引くと、
7√3/4-π
引きすぎた蒲鉾形の、正四面体の側面より外の部分は、側面の勾配が2だから、
6∫[0～1/2](1/2)u･2udu
=6[0～1/2]u^2du
=6{(1/2)^3/3}
=6(1/24)
=1/4
これを足すと、
7√3/4-π+1/4=0.63949626……
最後に足すところでπを絡めたかったんですが。
それとも0≦t≦√3/2で、
ピタゴラスの定理より、
(x+1/2)^2+t^2=1で、
6∫[0～√3/2]x^2dx(dt/dx)
とかやるんでしょうか？
xの一次の項が出るんで、やなんですが。
>>801
四面体PABC=2√3
このうちの0≦z≦1の部分は、
2√3(7/8)=7√3/4
内部の高さ1の単位円柱を引くと、
7√3/4-π
引きすぎた蒲鉾形の、正四面体の側面より外の部分は、側面の勾配が2だから、
6∫[0～1/2](1/2)u･2udu
=6[0～1/2]u^2du
=6{(1/2)^3/3}
=6(1/24)
=1/4
これを足すと、
7√3/4-π+1/4=0.63949626……
最後に足すところでπを絡めたかったんですが。
それとも0≦t≦√3/2で、
ピタゴラスの定理より、
(x+1/2)^2+t^2=1で、
6∫[0～√3/2]x^2dx(dt/dx)
とかやるんでしょうか？
xの一次の項が出るんで、やなんですが。
前>>917
仮に4√3-2πが正解の場合、
2√3(7/8)-π+蒲鉾外=4√3-2π
∴蒲鉾外=9√3/4-π
(蒲鉾外1つ=3√3/4-π/3)
2√3(7/8)-3√3/4-蒲鉾㊥=4√3-2π
∴蒲鉾㊥=2π-3√3
(蒲鉾㊥1つ=2π/3-√3)
蒲鉾(π-3√3/4)に対する割合は、
蒲鉾外――41.0040324％
蒲鉾㊥――58.9959676％
6:4てことは3:2
1:1と2:1のあいだぐらいか。なんて穢い比率だ。
仮に4√3-2πが正解の場合、
2√3(7/8)-π+蒲鉾外=4√3-2π
∴蒲鉾外=9√3/4-π
(蒲鉾外1つ=3√3/4-π/3)
2√3(7/8)-3√3/4-蒲鉾㊥=4√3-2π
∴蒲鉾㊥=2π-3√3
(蒲鉾㊥1つ=2π/3-√3)
蒲鉾(π-3√3/4)に対する割合は、
蒲鉾外――41.0040324％
蒲鉾㊥――58.9959676％
6:4てことは3:2
1:1と2:1のあいだぐらいか。なんて穢い比率だ。
長方形ABCD（AB<AC）の∠Aを2等分する半直線をL1とする。
L1上に点Pを、直線PCと対角線BD（線分BD）が交点を持つようにとる。
このとき、以下を示せ。
「PC=BDとなるための必要十分条件は、PCとBDが直交することである。」
L1上に点Pを、直線PCと対角線BD（線分BD）が交点を持つようにとる。
このとき、以下を示せ。
「PC=BDとなるための必要十分条件は、PCとBDが直交することである。」
前>>919高さ1の単位円柱内にある中心角120°の蒲鉾を勾配が2の正四面体側面で切った内側の体積が、この蒲鉾の59％にあたるとして実証する。
正四面体PABC(体積2√3)から、
正四面体PABCのz=1より上の部分(正四面体PABCの1/8)を切り出し、
2√3(7/8)=7√3/4
x^2+y^2＜1の0≦z≦1の円柱(体積π)内部の正三角柱(3√3/4)を切り出し、
7√3/4-3√3/4=√3
高さ1の単位円柱内の蒲鉾㊥3つを切り出し、
求める立体の体積=√3-(π-3√3/4)(59/100)
=(1+1.77/4)√3-0.59π
=(1.4425)(1.7320508)-(0.59)(3.14159265)
=2.4984892-1.8535396
=0.6449496……
≒0.645
正四面体PABC(体積2√3)から、
正四面体PABCのz=1より上の部分(正四面体PABCの1/8)を切り出し、
2√3(7/8)=7√3/4
x^2+y^2＜1の0≦z≦1の円柱(体積π)内部の正三角柱(3√3/4)を切り出し、
7√3/4-3√3/4=√3
高さ1の単位円柱内の蒲鉾㊥3つを切り出し、
求める立体の体積=√3-(π-3√3/4)(59/100)
=(1+1.77/4)√3-0.59π
=(1.4425)(1.7320508)-(0.59)(3.14159265)
=2.4984892-1.8535396
=0.6449496……
≒0.645
集合 A 上の演算を考える。
例えば、2項演算は、 A^2 から A への関数です。
定数は、 A^1 から A への関数なのかと思ったら、 A^0 から A への関数であると書いてありました。
なぜでしょうか？
例えば、2項演算は、 A^2 から A への関数です。
定数は、 A^1 から A への関数なのかと思ったら、 A^0 から A への関数であると書いてありました。
なぜでしょうか？
最初の2行の意味は分かってんの？
(Q, 0, +, <) と (Q^+, 1, ×, <) は同型か否か？
4nπ+8=16を満たすnを求めよ
R_0 := φ
R_{n+1} := P(R_n)
で R_n を定義する。ただし、P(A) は集合 A のすべての部分集合の集合を表す。
R_ω := ∪_{n ∈ N} R_n
とする。
R_ω は帰納的であることを示せ。
R_{n+1} := P(R_n)
で R_n を定義する。ただし、P(A) は集合 A のすべての部分集合の集合を表す。
R_ω := ∪_{n ∈ N} R_n
とする。
R_ω は帰納的であることを示せ。
>>929
この問題の標準的な解答はどんな感じでしょうか？
解答：
(1)
φ ∈ {φ} = R_1 ⊂ R_ω
(2)
次に、数学的帰納法により、すべての自然数 n に対して、
R_n ⊂ R_{n+1}
が成り立つことを以下で示す：
R_0 = φ ⊂ R_1
R_k ⊂ R_{k+1} と仮定する。
x ∈ R_{k+1} とする。
x ⊂ R_k ⊂ R_{k+1}
∴ x ∈ R_{k+2}
よって、 R_{k+1} ⊂ R_{k+2} が成り立つ。
x ∈ R_ω とする。
x ∈ R_n となる 1 以上の自然数 n が存在する。
{x} ⊂ R_n である。
x ⊂ R_{n-1} ⊂ R_n である。
∴ x ∪ {x} ⊂ R_n
∴ x ∪ {x} ∈ R_{n+1} ⊂ R_ω
以上から、 R_ω は帰納的である。
x ∪ {x} ⊂ R_{n-1}
この問題の標準的な解答はどんな感じでしょうか？
解答：
(1)
φ ∈ {φ} = R_1 ⊂ R_ω
(2)
次に、数学的帰納法により、すべての自然数 n に対して、
R_n ⊂ R_{n+1}
が成り立つことを以下で示す：
R_0 = φ ⊂ R_1
R_k ⊂ R_{k+1} と仮定する。
x ∈ R_{k+1} とする。
x ⊂ R_k ⊂ R_{k+1}
∴ x ∈ R_{k+2}
よって、 R_{k+1} ⊂ R_{k+2} が成り立つ。
x ∈ R_ω とする。
x ∈ R_n となる 1 以上の自然数 n が存在する。
{x} ⊂ R_n である。
x ⊂ R_{n-1} ⊂ R_n である。
∴ x ∪ {x} ⊂ R_n
∴ x ∪ {x} ∈ R_{n+1} ⊂ R_ω
以上から、 R_ω は帰納的である。
x ∪ {x} ⊂ R_{n-1}
過程も含めてお願いします
>>933 あまり自信ないけど参考までに
色を c1, c2, ... , c6 と順序づけて区別する
(1) まず c1 で前面を塗り、背面の色は５色の選択が可能 (× 5)
残り４色の中で一番 若い順番の色で 上面を塗る
残り3面の塗り方はそれぞれ異なる塗り方となる (× 3! )
計: 5 * 3! = 30 通り
(2) 5色で6面を塗るので、ある色については 2面で重複塗りとなる (× 5)
重複色で全面/背面を塗る
残り４色の中で一番 若い順番の色で 上面を塗る
下面の塗りを残り3色から選択する (× 3)
残り2面の塗り方は回転対称により同値となる
計: 5 * 3 = 15 通り
(3) 塗り条件により 3面以上での重複色はありえない
4色で6面を塗るので、ある２色ついてそれぞれ２面での重複塗りが発生する (× C{4,2})
その内で若い順番の色を 前/背面に、残りを 上/下面に塗る
残り2面の塗り方は回転対称により同値となる
計: C{4,2} = 6 通り
色を c1, c2, ... , c6 と順序づけて区別する
(1) まず c1 で前面を塗り、背面の色は５色の選択が可能 (× 5)
残り４色の中で一番 若い順番の色で 上面を塗る
残り3面の塗り方はそれぞれ異なる塗り方となる (× 3! )
計: 5 * 3! = 30 通り
(2) 5色で6面を塗るので、ある色については 2面で重複塗りとなる (× 5)
重複色で全面/背面を塗る
残り４色の中で一番 若い順番の色で 上面を塗る
下面の塗りを残り3色から選択する (× 3)
残り2面の塗り方は回転対称により同値となる
計: 5 * 3 = 15 通り
(3) 塗り条件により 3面以上での重複色はありえない
4色で6面を塗るので、ある２色ついてそれぞれ２面での重複塗りが発生する (× C{4,2})
その内で若い順番の色を 前/背面に、残りを 上/下面に塗る
残り2面の塗り方は回転対称により同値となる
計: C{4,2} = 6 通り
年間２００万円からのスタートで年３０万円の昇給と半年ごとに１０万円の昇給では後者の方が得。
（検証）
年３０万円の昇給の場合、ｎ年後の昇給額は、３０ｎ万円。
半年で１０万円ずつの昇給の場合、ｍ回目の昇給は１０ｍ万円。年間２回の昇給だから１年では、１０ｍ＋１０（ｍ＋１）＝２０ｍ+１０万円。
ｍ+１=２ｎなので、半年ごとの昇給のｎ年目の昇給は、２０（２ｎ－１）+１０＝４０ｎ―１０万円。
後者―前者は１０ｎ－１０万円なので、結局同額となるのは１年目だけで、その後は、半年に１回の昇給の方が、昇給は大きくなることが分かる。
半年ごとに10万昇給の計算がおかしいと思うのですが、この検証は合ってますでしょうか？
また、半年ごとに給与が支払われるという前提でもない限り前者の方が有利になると思うのですがどうでしょうか？
ご教示よろしくお願いいたします。
（検証）
年３０万円の昇給の場合、ｎ年後の昇給額は、３０ｎ万円。
半年で１０万円ずつの昇給の場合、ｍ回目の昇給は１０ｍ万円。年間２回の昇給だから１年では、１０ｍ＋１０（ｍ＋１）＝２０ｍ+１０万円。
ｍ+１=２ｎなので、半年ごとの昇給のｎ年目の昇給は、２０（２ｎ－１）+１０＝４０ｎ―１０万円。
後者―前者は１０ｎ－１０万円なので、結局同額となるのは１年目だけで、その後は、半年に１回の昇給の方が、昇給は大きくなることが分かる。
半年ごとに10万昇給の計算がおかしいと思うのですが、この検証は合ってますでしょうか？
また、半年ごとに給与が支払われるという前提でもない限り前者の方が有利になると思うのですがどうでしょうか？
ご教示よろしくお願いいたします。
まぁ感覚的には微小な体積足し合わせるという理解で行けなくはない。
>>935の例2ならrdrdθが底面積。
Δr、Δθだけrとθが変化した時半径r+Δr、中心角Δθの扇型から半径r、中心角Δθの扇型をぬいたものを底面とすると、その底面積はrΔrΔθ。
その地点での円錐の側面までの高さは1-rだから、その柱の体積は(1-r)rΔrΔθ。これを足し合わせると円錐の体積。
でΔrΔθをdrdθと読み替えて>>935の範囲内で積分する。
まずrで積分すれば
∫[0,1](1-r)rdr = 1/6。
これをθで積分して
∫[-π,π] 1/6dθ = π/3
となり底面積×高さ÷3 に一致する。
この程度の理解でほぼ実用上は問題ない。
この方法で四角錐とか色々やってみて実際計算の勘所がわかってからちゃんとした理論を勉強してみるのもアリ。
>>935の例2ならrdrdθが底面積。
Δr、Δθだけrとθが変化した時半径r+Δr、中心角Δθの扇型から半径r、中心角Δθの扇型をぬいたものを底面とすると、その底面積はrΔrΔθ。
その地点での円錐の側面までの高さは1-rだから、その柱の体積は(1-r)rΔrΔθ。これを足し合わせると円錐の体積。
でΔrΔθをdrdθと読み替えて>>935の範囲内で積分する。
まずrで積分すれば
∫[0,1](1-r)rdr = 1/6。
これをθで積分して
∫[-π,π] 1/6dθ = π/3
となり底面積×高さ÷3 に一致する。
この程度の理解でほぼ実用上は問題ない。
この方法で四角錐とか色々やってみて実際計算の勘所がわかってからちゃんとした理論を勉強してみるのもアリ。
a,b,c,x,y,zは全て正の実数として、xyz=1とする。このとき
(ax^2+bx+c)(ay^2+by+c)(az^2+bz+c) ≧(a+b+c)^3 を示せ
よろ
(ax^2+bx+c)(ay^2+by+c)(az^2+bz+c) ≧(a+b+c)^3 を示せ
よろ
座標平面上の(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)を頂点とする正方形Sがある。
Sの周上または内部に、異なる2点A(a,p),B(b,q)が固定されている。
Sと合同な正方形Tを、Tの周上にA,Bがともに乗るように動かす。
このとき、SとTの共通部分の面積が最大となるTの置き方を説明せよ。
Sの周上または内部に、異なる2点A(a,p),B(b,q)が固定されている。
Sと合同な正方形Tを、Tの周上にA,Bがともに乗るように動かす。
このとき、SとTの共通部分の面積が最大となるTの置き方を説明せよ。
前>>936
>>938そのとおり、π/3になりました。が違ってたみたいです。
底面の単位円の外にrをとり(0≦r≦1)、玉葱の皮を足し集めるように、求める体積の1/6を求めたと思いました。
r=0のとき、
半径1の弧の長さはπ/3
玉葱の皮の高さは1
玉葱の皮の面積は、
(π/3)･1･(1/2)=π/6
r=1のとき、
半径2の円弧の長さは0
玉葱の皮の高さも0
玉葱の皮の面積も0
rに対する、
半径1+rの弧の長さは、
中心角θ(0≦θ≦π/3)として、
(1+r)θ
玉葱の皮の高さは1-r
玉葱の皮の面積は、
(1+r)θ(1-r)(1/2)
=(1-r^2)θ/2
求める体積は、
6∬[r=0～1][θ=0～π/3]{π(1-r^2)θ/2}drdθ
=3π(r-r^3/3)θ[r=0～1][θ=0～π/3]
=2πθ[θ=0～π/3]
θはどうすればいいのでしょうか？
>>938そのとおり、π/3になりました。が違ってたみたいです。
底面の単位円の外にrをとり(0≦r≦1)、玉葱の皮を足し集めるように、求める体積の1/6を求めたと思いました。
r=0のとき、
半径1の弧の長さはπ/3
玉葱の皮の高さは1
玉葱の皮の面積は、
(π/3)･1･(1/2)=π/6
r=1のとき、
半径2の円弧の長さは0
玉葱の皮の高さも0
玉葱の皮の面積も0
rに対する、
半径1+rの弧の長さは、
中心角θ(0≦θ≦π/3)として、
(1+r)θ
玉葱の皮の高さは1-r
玉葱の皮の面積は、
(1+r)θ(1-r)(1/2)
=(1-r^2)θ/2
求める体積は、
6∬[r=0～1][θ=0～π/3]{π(1-r^2)θ/2}drdθ
=3π(r-r^3/3)θ[r=0～1][θ=0～π/3]
=2πθ[θ=0～π/3]
θはどうすればいいのでしょうか？
>>939
コーシー(3)を使う。
Xi, Yj, Zk ≧ 0 のとき
(X1 + X2 + ････ + Xn)(Y1 + Y2 + ････ + Yn)(Z1 + Z2 + ････ + Zn) ≧ (G1 + G2 + ････ + Gn)^3,
ただし Gi = (XiYiZi)^(1/3).
(略証1)
(左辺) - (右辺)
= Σ[i≠j] (XiYjZj + XjYiZj + XjYjZi - 3GiGjGj)
+ Σ[i<j<k] (XiYjZk + XiYkZj + XjYiZk + XjYkZi + XkYiZj + XkYjZi - 6GiGjGk)
≧ 0,
(略証2)
コーシー(2)を2回使って
(X1 + X2 + ････ + Xn)(Y1 + Y2 + ････ + Yn)(Z1 + Z2 + ････ + Zn)(G1 + G2 + ････ + Gn)
≧ (G1 + G2 + ････ + Gn)^4,
∵ (XiYiZiGi)^(1/4) = Gi,
コーシー(3)を使う。
Xi, Yj, Zk ≧ 0 のとき
(X1 + X2 + ････ + Xn)(Y1 + Y2 + ････ + Yn)(Z1 + Z2 + ････ + Zn) ≧ (G1 + G2 + ････ + Gn)^3,
ただし Gi = (XiYiZi)^(1/3).
(略証1)
(左辺) - (右辺)
= Σ[i≠j] (XiYjZj + XjYiZj + XjYjZi - 3GiGjGj)
+ Σ[i<j<k] (XiYjZk + XiYkZj + XjYiZk + XjYkZi + XkYiZj + XkYjZi - 6GiGjGk)
≧ 0,
(略証2)
コーシー(2)を2回使って
(X1 + X2 + ････ + Xn)(Y1 + Y2 + ････ + Yn)(Z1 + Z2 + ････ + Zn)(G1 + G2 + ････ + Gn)
≧ (G1 + G2 + ････ + Gn)^4,
∵ (XiYiZiGi)^(1/4) = Gi,
(略証1) で、 いきなり ≧ 0 と評価できる理由も知りたい
自然数の集合が全順序集合であることってどうやって証明するんですか？
あ、数学的帰納法ですね。
慣れが必要ですね。
慣れが必要ですね。
前>>941修正。
求める体積は、
6∬[r=0～1][θ=0～π/3]{π(1-r^2)θ/2}drdθ
=3π(r-r^3/3)[r=0～1]∫[θ=0～π/3]θdθ
=2π･π/3
=2π^2/3
なわけないですよね。
rが増えるとθは減る。
反比例じゃないかと。
それを一つの式の中で掛けあわせてるのがおかしいような。
三角形(1/2)(1+r)rcosθから扇形(1+r)θを引いた断面積(1/2)(1+r)rcosθ-(1+r)θを0から1まで足し集めるほうがいいかも。
6∬[r=0～1][θ=0～π/3]{(1/2)(1+r)rcosθ-(1/2)(1+r)θ(1+r)}drdθ
3∬[r=0～1][θ=0～π/3]{(1+r)rcosθ-(1+r)θ(1+r)}drdθ
変数が2つあるでなぁ。
求める体積は、
6∬[r=0～1][θ=0～π/3]{π(1-r^2)θ/2}drdθ
=3π(r-r^3/3)[r=0～1]∫[θ=0～π/3]θdθ
=2π･π/3
=2π^2/3
なわけないですよね。
rが増えるとθは減る。
反比例じゃないかと。
それを一つの式の中で掛けあわせてるのがおかしいような。
三角形(1/2)(1+r)rcosθから扇形(1+r)θを引いた断面積(1/2)(1+r)rcosθ-(1+r)θを0から1まで足し集めるほうがいいかも。
6∬[r=0～1][θ=0～π/3]{(1/2)(1+r)rcosθ-(1/2)(1+r)θ(1+r)}drdθ
3∬[r=0～1][θ=0～π/3]{(1+r)rcosθ-(1+r)θ(1+r)}drdθ
変数が2つあるでなぁ。
>>868 の続き
矢じり３つの面積は
(3√3){(2-t)/2}^2 - 3cosθsinθ - π + 3θ
= (3√3){(2-t)/2}^2 - (3/4)(2-t)√{t(4-t)} -π + 3arccos((2-t)/2) = S(t)
これを 0～z で積分して
∫[0, z] S(t) dt = (2√3)[1 - {(2-z)/2}^3] - (1/4){z(4-z)}^(3/2) -πz -3(2-z)arccos((2-z)/2) + 3√{z(4-z)},
そこで z=1 とおくと 4√3 - 2π
円内の各点の高さ h(r,θ) を積分した体積3vを V=2√3 から引いた値と一致。 >>829
矢じり３つの面積は
(3√3){(2-t)/2}^2 - 3cosθsinθ - π + 3θ
= (3√3){(2-t)/2}^2 - (3/4)(2-t)√{t(4-t)} -π + 3arccos((2-t)/2) = S(t)
これを 0～z で積分して
∫[0, z] S(t) dt = (2√3)[1 - {(2-z)/2}^3] - (1/4){z(4-z)}^(3/2) -πz -3(2-z)arccos((2-z)/2) + 3√{z(4-z)},
そこで z=1 とおくと 4√3 - 2π
円内の各点の高さ h(r,θ) を積分した体積3vを V=2√3 から引いた値と一致。 >>829
>>944
上の行は
(XiYjZj + XjYiZj + XjYjZi)/3 = AM (相加平均)
GiGjGj = GM (相乗平均)
AM ≧ GM
下の行も同様。
上の行は
(XiYjZj + XjYiZj + XjYjZi)/3 = AM (相加平均)
GiGjGj = GM (相乗平均)
AM ≧ GM
下の行も同様。
すみません、改めてこの問題をお願いします。
長方形ABCD（AB<AD）の内角∠Aの2等分線をLとする。
L上に点Pを、直線PCと対角線BDが交点を持つようにとる。
このとき、以下を示せ。
「PC=BDとなるための必要十分条件は、PCとBDが直交することである。」
長方形ABCD（AB<AD）の内角∠Aの2等分線をLとする。
L上に点Pを、直線PCと対角線BDが交点を持つようにとる。
このとき、以下を示せ。
「PC=BDとなるための必要十分条件は、PCとBDが直交することである。」
もう1題、これもお願いします。
（1）S[n] = Σ[k=1 to n] k! が平方数となるnを全て求めよ。
（2）S[n]-3 についてはどうか。ただし0は平方数として扱う。
（1）S[n] = Σ[k=1 to n] k! が平方数となるnを全て求めよ。
（2）S[n]-3 についてはどうか。ただし0は平方数として扱う。
AB=4,BC=5,CA=6の△ABCにおいて、その外接円をR、CAの中点をM、AからBCに下ろした垂線の足をHとする。
また、Mを通りAHと平行な直線と、劣弧CAとの交点をDとする。
このときADの長さを求めよ。
また、Mを通りAHと平行な直線と、劣弧CAとの交点をDとする。
このときADの長さを求めよ。
領域D: y ≥ |1/(1+e^x)| とする。
D内を半径1の円Cが動くとき、Cが決して通過できない部分が存在する。
その面積を求めよ。
D内を半径1の円Cが動くとき、Cが決して通過できない部分が存在する。
その面積を求めよ。
なぜ絶対値がついているのでしょうか？
定積分I[x] = ∫[1 to x] ln(x) dx に対し、
不等式m < I[n] < m+1を満たす自然数nの個数をa[m]とおく。
mがm=1,2,...と正の整数値をとるとき、
b[m]=a[m+1]/a[m]で定義される数列b[m]について、
その増加、減少、m→∞としたときの極限
をそれぞれ述べよ。
不等式m < I[n] < m+1を満たす自然数nの個数をa[m]とおく。
mがm=1,2,...と正の整数値をとるとき、
b[m]=a[m+1]/a[m]で定義される数列b[m]について、
その増加、減少、m→∞としたときの極限
をそれぞれ述べよ。
ほとんどのa[m] は 0 じゃん。
b[m] ほとんど定義できないのでは？
b[m] ほとんど定義できないのでは？
>>942
コーシー(2)
Xi, Yj ≧ 0 のとき
(X1 + X2 + ････ + Xn)(Y1 + Y2 + ････ + Yn) ≧ (G1 + G2 + ････ + Gn)^2,
ただし Gi = √(XiYi).
(略証)
(左辺) - (右辺) = Σ[i<j] (XiYj + XjYi -2GiGj)
= Σ[i<j] {√(XiYj) - √(XjYi)}^2
≧ 0,
ラグランジュの恒等式とか云うらしい。
等号成立は Xi/Yi = (一定)
コーシー(2)
Xi, Yj ≧ 0 のとき
(X1 + X2 + ････ + Xn)(Y1 + Y2 + ････ + Yn) ≧ (G1 + G2 + ････ + Gn)^2,
ただし Gi = √(XiYi).
(略証)
(左辺) - (右辺) = Σ[i<j] (XiYj + XjYi -2GiGj)
= Σ[i<j] {√(XiYj) - √(XjYi)}^2
≧ 0,
ラグランジュの恒等式とか云うらしい。
等号成立は Xi/Yi = (一定)
cosx/sinx(1+cosx)の積分を誰か教えてください
満州先生からの出題です。
０から１の間で
１ 有理数は何個あるでせうか。
２ 無理数は何個あるでせうか。
３ 実数は何個あるでせうか。
４ 有理数と無理数では、どちらが多いでせうか。
０から１の間で
１ 有理数は何個あるでせうか。
２ 無理数は何個あるでせうか。
３ 実数は何個あるでせうか。
４ 有理数と無理数では、どちらが多いでせうか。
これも満州先生からの出題です。
次のうち、正しいのはどれでせうか。
１ 1/2+1/4＋1/8＋……は１になる。
２ 0.99999……は１である。
３ 0.99999……は0.9＋0.09＋0.009＋……と同じではない。
４ 0.99999……は最初から9が無限桁並んでいる。
５ 有限小数からなる数列の極限値が無限小数である。
６ 有限級数からなる数列の極限値が無限級数である。
７ 無限小数自体が極限値である。
８ 無限級数自体が極限値である。
９ 無限小数は実数である。
10 無限小数は必ず極限値をもつ。
11 実無限が存在する。
12 自然数ｎは∞にはならないが、∞自体は存在する。
13 実数は連続性がある。
14 線は点の集合である。
15 数直線上で実数を示す点の集合は線になる。
16 数直線上に非可算個の実数が存在する。
17 無限集合が存在する。
18 可算無限集合は集合ではない。
19 自然数の無限より実数の無限の方が多い。
20 有界な単調数列は収束する（極限値を持つ）。
21 体積２の正立方体が存在する証拠はない。
次のうち、正しいのはどれでせうか。
１ 1/2+1/4＋1/8＋……は１になる。
２ 0.99999……は１である。
３ 0.99999……は0.9＋0.09＋0.009＋……と同じではない。
４ 0.99999……は最初から9が無限桁並んでいる。
５ 有限小数からなる数列の極限値が無限小数である。
６ 有限級数からなる数列の極限値が無限級数である。
７ 無限小数自体が極限値である。
８ 無限級数自体が極限値である。
９ 無限小数は実数である。
10 無限小数は必ず極限値をもつ。
11 実無限が存在する。
12 自然数ｎは∞にはならないが、∞自体は存在する。
13 実数は連続性がある。
14 線は点の集合である。
15 数直線上で実数を示す点の集合は線になる。
16 数直線上に非可算個の実数が存在する。
17 無限集合が存在する。
18 可算無限集合は集合ではない。
19 自然数の無限より実数の無限の方が多い。
20 有界な単調数列は収束する（極限値を持つ）。
21 体積２の正立方体が存在する証拠はない。
ここはわからない問題を質問する場所ではありません
わからない問題を書く場所です
わからない問題を書く場所です
次スレはタイトルに｢質問｣入れようぜｗ
高校生です
「中心O、半径1の円を底面とし、高さが1の直円錐がある。点Oを通り面と45°の角で交わる面をPとする。Pで分割された円錐の小さい方の体積を求めよ。」
という問題で、Oを原点、O-頂点をz軸、Pをx=zとおいてy=tで切って積分すると、下の積分を求めなければならず、私の脳では詰んでしまいました
模範解答から数値計算するとこの積分までの変形自体は合ってるようなのですが、この積分はどうやったら求められるでしょうか？
（できれば高校範囲まででお願いいたします）
また、Pと平行な面で切って積分すると簡単な計算で求まるようですが、それはなぜで、
どうやったら見抜けるのでしょうか？
「中心O、半径1の円を底面とし、高さが1の直円錐がある。点Oを通り面と45°の角で交わる面をPとする。Pで分割された円錐の小さい方の体積を求めよ。」
という問題で、Oを原点、O-頂点をz軸、Pをx=zとおいてy=tで切って積分すると、下の積分を求めなければならず、私の脳では詰んでしまいました
模範解答から数値計算するとこの積分までの変形自体は合ってるようなのですが、この積分はどうやったら求められるでしょうか？
（できれば高校範囲まででお願いいたします）
また、Pと平行な面で切って積分すると簡単な計算で求まるようですが、それはなぜで、
どうやったら見抜けるのでしょうか？
>>967
1-t^2=aとおくとか、t=sinxとおくとか
あと切断面に円弧が出る場合、逆三角関数を習わない高校数学では積分不可のことが多いから気をつけて
1-t^2=aとおくとか、t=sinxとおくとか
あと切断面に円弧が出る場合、逆三角関数を習わない高校数学では積分不可のことが多いから気をつけて
そりゃ断面積が簡単に求まる方がいい事が多い。
円錐曲線は母線に平行に切った時に放物線になって一番面積求めやすい。
円錐曲線は母線に平行に切った時に放物線になって一番面積求めやすい。
>>950 ありがとうございます。自分でも考えてみました。
一般に N個のベクトル a,…,z が与えられた時
★ 【a,b,…,z】 ≦ ||a||{N}.||b||{N}… || z ||{N}
が成立する. (N=2 がコーシー=シュヴァルツ不等式を与える)
ただしベクトルの成分は全て非負値を取り、
p-ノルム: ||v ||{p} := (v1^p + v2^p +…+ v[n]^p )^{1/p}
内積: 【u,v】 := u1v1 +…+ u[n]v[n]
【u,v,w】 := u1v1w1 +…+ u[n]v[n]w[n] , … etc.
のように定義されているものとします.
( 3つ以上については内積とは言いません. 記法もここだけの記法です. )
証明
N-1 個のベクトルについては成立すると仮定する.
Z=(b1..z1, b2..z2, …, b[n]..z[n] ), 1/N + 1/N’ = 1 と置く.
【a,b,..,z】 = 【a, Z】 ≦ ||a||{N}.||Z||{N’} (∵ ヘルダーの不等式 (関数解析とかの本に載ってる))
b’ = (b[1]^N’,…,b[n]^N’), ..., z’=(z[1]^N’,…,z[n]^N’) と置く.
( ||Z||{N’} )^{N’} =【b’, …, z’】 ≦ ||b’||{N-1}*…*||z’||{N-1} (∵ 仮定)
||b’||{N-1} = ( b[1]^(N’(N-1)) + …)^{1/(N-1)} = ( b[1]^N + …)^{N’/N} = ( ||b||{N} )^{N’}
∴ ||Z||{N’} ≦ ||b||{N}…||z||{N}
数学的帰納法により
【a, b, .., z】 ≦ ||a||{N}.||b||{N}…||z||{N}
が示された.
一般に N個のベクトル a,…,z が与えられた時
★ 【a,b,…,z】 ≦ ||a||{N}.||b||{N}… || z ||{N}
が成立する. (N=2 がコーシー=シュヴァルツ不等式を与える)
ただしベクトルの成分は全て非負値を取り、
p-ノルム: ||v ||{p} := (v1^p + v2^p +…+ v[n]^p )^{1/p}
内積: 【u,v】 := u1v1 +…+ u[n]v[n]
【u,v,w】 := u1v1w1 +…+ u[n]v[n]w[n] , … etc.
のように定義されているものとします.
( 3つ以上については内積とは言いません. 記法もここだけの記法です. )
証明
N-1 個のベクトルについては成立すると仮定する.
Z=(b1..z1, b2..z2, …, b[n]..z[n] ), 1/N + 1/N’ = 1 と置く.
【a,b,..,z】 = 【a, Z】 ≦ ||a||{N}.||Z||{N’} (∵ ヘルダーの不等式 (関数解析とかの本に載ってる))
b’ = (b[1]^N’,…,b[n]^N’), ..., z’=(z[1]^N’,…,z[n]^N’) と置く.
( ||Z||{N’} )^{N’} =【b’, …, z’】 ≦ ||b’||{N-1}*…*||z’||{N-1} (∵ 仮定)
||b’||{N-1} = ( b[1]^(N’(N-1)) + …)^{1/(N-1)} = ( b[1]^N + …)^{N’/N} = ( ||b||{N} )^{N’}
∴ ||Z||{N’} ≦ ||b||{N}…||z||{N}
数学的帰納法により
【a, b, .., z】 ≦ ||a||{N}.||b||{N}…||z||{N}
が示された.
>>968
それらで求まりますか？
変数をそれらを含む色々や、1+√1-t^2と置いたりttを積分して部分積分などはやってみたのですが全く求まらなかったのですが
具体的にどう変形すればいけますかね？
それらで求まりますか？
変数をそれらを含む色々や、1+√1-t^2と置いたりttを積分して部分積分などはやってみたのですが全く求まらなかったのですが
具体的にどう変形すればいけますかね？
>>971
ヨコだけどできるとは思うけどコレどっかの過去問なん？
このレベルがまだ入試で出てるなら日本もまだ捨てたもんじゃないんだけど。
ヨコだけどできるとは思うけどコレどっかの過去問なん？
このレベルがまだ入試で出てるなら日本もまだ捨てたもんじゃないんだけど。
求まりますか、ありがとうございます。どこかで計算ミスしたのだと思います。もう一度試してみます
確か早稲田？だと思います
確か早稲田？だと思います
前>>947
>>829
∠BOC に含まれる扇形部分の体積v
その各点の極座標を (r,θ) とすると 0≦r≦1, -60ﾟ≦θ≦60ﾟ
各点における高さは h(r,θ) = 2(1+y) = 2(1-r･cosθ)
v = ∫[0,1] ∫[-60ﾟ,60ﾟ] h(r,θ) dθ rdr = 2(π-√3)/3
↑
これを∠AOBでやっても値は同じですよね？
その各点における極座標を(r,θ)とすると、
0≦r≦1
0°≦θ≦120°
各点における高さは、
h(r,θ)=2(1-rcosθ)
ここが図で理解できないところです。
v=∫[0,1]∫[0°,120°]h(r,θ)dθrdr
=2(π-√3)/3←これはどうやって出すんですか？
>>829
∠BOC に含まれる扇形部分の体積v
その各点の極座標を (r,θ) とすると 0≦r≦1, -60ﾟ≦θ≦60ﾟ
各点における高さは h(r,θ) = 2(1+y) = 2(1-r･cosθ)
v = ∫[0,1] ∫[-60ﾟ,60ﾟ] h(r,θ) dθ rdr = 2(π-√3)/3
↑
これを∠AOBでやっても値は同じですよね？
その各点における極座標を(r,θ)とすると、
0≦r≦1
0°≦θ≦120°
各点における高さは、
h(r,θ)=2(1-rcosθ)
ここが図で理解できないところです。
v=∫[0,1]∫[0°,120°]h(r,θ)dθrdr
=2(π-√3)/3←これはどうやって出すんですか？
>>974
何年かは不明ですか早稲田でした。
1-t^2=aとおくとかt=sinxとおくとかとても解ける気がしないので具体的な変形を教えて下さい。
何年かは不明ですか早稲田でした。
1-t^2=aとおくとかt=sinxとおくとかとても解ける気がしないので具体的な変形を教えて下さい。
とりあえず強引に立式すれば断面積は
1/2(1-t)^2acos (t/(1-t)) -t√(1-2t)
だと思う。
原理的にはできるけど受験でこの積分するのはオススメできないからやっぱり斜めに切るべきだね。
あるいは立式だけして円柱座標使ってパップスギュルタンの一般化使って
cos(t)(2+cos(t))/(1+cos(t))^2/3
を-π/2～π/2で積分するのが楽ちん。
1/2(1-t)^2acos (t/(1-t)) -t√(1-2t)
だと思う。
原理的にはできるけど受験でこの積分するのはオススメできないからやっぱり斜めに切るべきだね。
あるいは立式だけして円柱座標使ってパップスギュルタンの一般化使って
cos(t)(2+cos(t))/(1+cos(t))^2/3
を-π/2～π/2で積分するのが楽ちん。
Dmg = Atk * (1.00+x1+x2) * (1.00+y1+y2)
・Atk … 武器の基礎ダメージ
・変数 x1,x2 … 装備品Xが持つ補正値 (対象の種族により +0～10% まで)
・変数 y1,y2 … 装備品Yが持つ補正値 (対象の兵装により +0～10% まで)
{0.00 < x1 < 0.10} (x2,y1,y2 も全て同様)
この時、なるべく少ない補正値の装備らの組み合わせで
大きいダメージを出したい。
問い
Atk = 5100 で、6000ダメージ以上を目指すとする。
その1
6000 =< 5100 * (1.00+x1+x2) * (1.00+y1+y2)
最適な (x1,x2,y1,y2) の組み合わせは何か？
その2
Yが +10% の補正値を1つ持つのが確定しており、
y2 = 0.10 と固定できるとする。
この時、最適な (x1,x2,y1) の組み合わせは何か？
・Atk … 武器の基礎ダメージ
・変数 x1,x2 … 装備品Xが持つ補正値 (対象の種族により +0～10% まで)
・変数 y1,y2 … 装備品Yが持つ補正値 (対象の兵装により +0～10% まで)
{0.00 < x1 < 0.10} (x2,y1,y2 も全て同様)
この時、なるべく少ない補正値の装備らの組み合わせで
大きいダメージを出したい。
問い
Atk = 5100 で、6000ダメージ以上を目指すとする。
その1
6000 =< 5100 * (1.00+x1+x2) * (1.00+y1+y2)
最適な (x1,x2,y1,y2) の組み合わせは何か？
その2
Yが +10% の補正値を1つ持つのが確定しており、
y2 = 0.10 と固定できるとする。
この時、最適な (x1,x2,y1) の組み合わせは何か？
東大・早稲田・理科大とかで流行ったよな
>>976
この手の三角関数の有理式ではx=tan(s/2)と置換するのが定石で、ほぼ全て解ける
ただこれは大学で習う置換で、便利だけど高校ではほぼ使わない
納得いかないならこれで計算して
この手の三角関数の有理式ではx=tan(s/2)と置換するのが定石で、ほぼ全て解ける
ただこれは大学で習う置換で、便利だけど高校ではほぼ使わない
納得いかないならこれで計算して
>>982
それは知っていますが、それでうまく行くのは三角多項式の時ではないですか？
これはlogついていますが行けますか？
それは知っていますが、それでうまく行くのは三角多項式の時ではないですか？
これはlogついていますが行けますか？
試した感じ三角関数系の置き換えでは厳しいのではないかという感触を得たのですが
スッキリ解ける方いらしたらお願いしますm(_ _)m
スッキリ解ける方いらしたらお願いしますm(_ _)m
log(多項式)の積分は部分積分で有理関数の積分になるじゃろ
t=sinx で置換したあと部分積分すれば行けるけど…
↑は実数論の一命題をデデキントの切断を使って証明しています。
無茶苦茶ややこしくないですか？
Cantor 式のほうがいいですよね？
あ、これは実数の性質というより有理数の切断の性質ですね。
こんな定理なんで証明しているんですかね？
こんな定理なんで証明しているんですかね？
α = <A, A'>
r ∈ A ⇒ <R, R'> < <A, A'>
r ∈ A' ⇒ <A, A'> ≦ <R, R'>
ということを示しています。
有理数 r と <R, R'> （R = {q ∈ Q | q < r}, R' = {q ∈ Q | r ≦ q}）を同一視するということですけど、
もともとの有理数 r と考えるか切断 <R, R'> と考えるかを都合のいいように決めていいんですか？
r ∈ A ⇒ <R, R'> < <A, A'>
r ∈ A' ⇒ <A, A'> ≦ <R, R'>
ということを示しています。
有理数 r と <R, R'> （R = {q ∈ Q | q < r}, R' = {q ∈ Q | r ≦ q}）を同一視するということですけど、
もともとの有理数 r と考えるか切断 <R, R'> と考えるかを都合のいいように決めていいんですか？
有理数 r と同一視する <R, R'> についてですが、 R = {q ∈ Q | q < r}, R' = {q ∈ Q | r ≦ q} ですから、
オリジナルの有理数を使って定義されています。
こんなことしてもOKなんですか？
例えば、実数 α = <A, A'> の A や A' は有理数の集合です。
A の要素はオリジナルの有理数なのかオリジナルの有理数と同一視された切断なのか？
もし、切断だとするとその切断 = <R, R'> の R や R' を構成する有理数は、
オリジナルの有理数なのかオリジナルの有理数と同一視された切断なのか？
もし、切断だとするとその切断 = <R, R'> の R や R' を構成する有理数は、
オリジナルの有理数なのかオリジナルの有理数と同一視された切断なのか？
…
オリジナルの有理数を使って定義されています。
こんなことしてもOKなんですか？
例えば、実数 α = <A, A'> の A や A' は有理数の集合です。
A の要素はオリジナルの有理数なのかオリジナルの有理数と同一視された切断なのか？
もし、切断だとするとその切断 = <R, R'> の R や R' を構成する有理数は、
オリジナルの有理数なのかオリジナルの有理数と同一視された切断なのか？
もし、切断だとするとその切断 = <R, R'> の R や R' を構成する有理数は、
オリジナルの有理数なのかオリジナルの有理数と同一視された切断なのか？
…
分からない問題はここに書いてね454
http://2chb.net/r/math/1562421561/
http://2chb.net/r/math/1562421561/
>>978
その１
5100*1.08*1.08=5948.64
5100*1.08*1.09=6003.72
なので、{x1+x2,y1+y2}={0.08,0.09}
具体的には、x1,x2,y1,y2 の内三つが0.04で、一つが0.05 というのが、最大補正が最小で済む
その２
y1=0.00の時、x1+x2=0.07 ∵ 5100*1.06*1.10=5946.6、5100*1.07*1.10=6002.7
y1=0.01の時、x1+x2=0.06 ∵ 5100*1.05*1.11=5944.05、5100*1.06*1.11=6000.66
y1=0.02の時、x1+x2=0.06 ∵ 5100*1.05*1.12=5997.6、5100*1.06*1.12=6054.72
y1=0.03の時、x1+x2=0.05 ∵ 5100*1.04*1.13=5993.52、5100*1.05*1.13=6051.15
y1=0.04の時、x1+x2=0.04 ∵ 5100*1.03*1.14=5988.42、5100*1.04*1.14=6046.56
y1=0.05の時、x1+x2=0.03 ∵ 5100*1.02*1.15=5982.3、5100*1.03*1.15=6040.95
...
x1,x2,y1の内一つが0.02で、二つが0.03で というのが、最大補正が最小で済む
その１
5100*1.08*1.08=5948.64
5100*1.08*1.09=6003.72
なので、{x1+x2,y1+y2}={0.08,0.09}
具体的には、x1,x2,y1,y2 の内三つが0.04で、一つが0.05 というのが、最大補正が最小で済む
その２
y1=0.00の時、x1+x2=0.07 ∵ 5100*1.06*1.10=5946.6、5100*1.07*1.10=6002.7
y1=0.01の時、x1+x2=0.06 ∵ 5100*1.05*1.11=5944.05、5100*1.06*1.11=6000.66
y1=0.02の時、x1+x2=0.06 ∵ 5100*1.05*1.12=5997.6、5100*1.06*1.12=6054.72
y1=0.03の時、x1+x2=0.05 ∵ 5100*1.04*1.13=5993.52、5100*1.05*1.13=6051.15
y1=0.04の時、x1+x2=0.04 ∵ 5100*1.03*1.14=5988.42、5100*1.04*1.14=6046.56
y1=0.05の時、x1+x2=0.03 ∵ 5100*1.02*1.15=5982.3、5100*1.03*1.15=6040.95
...
x1,x2,y1の内一つが0.02で、二つが0.03で というのが、最大補正が最小で済む
>>975 >>979
h(r,θ) = 1 - r･cosθ,
を入れると
v = ∫[0,1] ∫[-60ﾟ,60ﾟ] h(r,θ) dθ rdr
= ∫[0,1] ∫[-π/3,π/3] (1-r･cosθ) dθ rdr
= ∫[0,1] rdr･∫[-π/3,π/3] dθ - ∫[0,1] rrdr･∫[-π/3,π/3] cosθ dθ
= (1/2)(4π/3) - (1/3)[ sinθ ](-π/3→π/3)
= (2π-√3)/3,
部分積分しなくても出る。
次スレ
http://2chb.net/r/math/1562421561/
h(r,θ) = 1 - r･cosθ,
を入れると
v = ∫[0,1] ∫[-60ﾟ,60ﾟ] h(r,θ) dθ rdr
= ∫[0,1] ∫[-π/3,π/3] (1-r･cosθ) dθ rdr
= ∫[0,1] rdr･∫[-π/3,π/3] dθ - ∫[0,1] rrdr･∫[-π/3,π/3] cosθ dθ
= (1/2)(4π/3) - (1/3)[ sinθ ](-π/3→π/3)
= (2π-√3)/3,
部分積分しなくても出る。
次スレ
http://2chb.net/r/math/1562421561/
>>960
(1+cos(x))/sin(x) = sin(x)/(1-cos(x))
を使うと
∫(与式) dx = {cos(x)/(1-cos(x))} sin(x)dx
= ∫(1-z)/z dz {z = 1-cos(x)}
= ∫(1/z -1) dz
= log(z) - z + c
= log(1-cos(x)) + cos(x) + c',
(1+cos(x))/sin(x) = sin(x)/(1-cos(x))
を使うと
∫(与式) dx = {cos(x)/(1-cos(x))} sin(x)dx
= ∫(1-z)/z dz {z = 1-cos(x)}
= ∫(1/z -1) dz
= log(z) - z + c
= log(1-cos(x)) + cos(x) + c',
mmp
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